专题22-圆的基本性质

教学内容一、【中考要求】理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系；探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，了解三角形的外心。二、【三年中考】1如图O中，ABC40，则AOC_度解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍答案：802如图O的半径为5，弦AB8，OCAB于C，则OC的长等于_解析：连结OA，根据垂径定理ACAB4，OC3.答案：33下列命题中，正确的是()顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等()A B C D解析：根据圆周角定理及其推论可判断是正确的答案：B4如图，已知O的直径AB弦CD于点E，下列结论中一定正确的是()AAEOE BCEDECOECE DAOC60解析：根据垂径定理当ABCD时，AB平分弦CD，即CEDE.答案：B5已知O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是()A3 B4 C6 D8解析：数形结合法，考查垂径定理答案：D6如图，AB是O的直径，C是BD的中点，CEAB于E，BD交CE于点F.(1)求证：CFBF；(2)若CD6，AC8，则O的半径为_，CE的长是_证明：(1)AB是O的直径，ACB90.又CEAB，CEB90.290CBAA.又C是弧BD的中点，1DA.12，CFBF.(2)O的半径为5，CE的长是.三、【考点知识梳理】（一）圆的定义及其性质1圆的定义有两种方式(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2圆的对称性(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性（二）垂径定理及其推论1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧温馨提示：1. 注意平分弦的直径不一定垂直于弦；2. 等弧是指能够完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定是等弧。3. 过圆心；平分弦；垂直于弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由得时，被平分的弦不是直径。（三） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等2推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立（四）圆心角与圆周角1定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角2性质(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半；(3)同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（五）圆的性质的应用1垂径定理的应用用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的2圆心角、圆周角性质的应用3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用温馨提示：借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换。四、【中考典例精析】类型一 圆的定义及其性质、定理(1)如图，点A、B、C在O上，若BAC24，则BOC_.第(1)题第(2)题 (2)如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CD1，则弦AB的长是_(3)如图是一条直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深处为_米第(3)题 第(4)题(4)如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是_AAD BCEDECACB90 DCEBD【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题【解答】(1)48 在O中，BOC2BAC22448.(2)6连结OA，在RtOAD中，AD3，AB2AD6.(3)0.4关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形(4)D注意仔细审题，选的是“不成立”的类型二 垂径定理、圆周角定理的应用(1)如图，A、B、C是O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点C不同的一点，若BOC是直角三角形，则BAC必是() A等腰三角形B锐角三角形C有一个角是30的三角形D有一个角是45的三角形(2)如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD6 cm.求直径AB的长【点拨】(1)考查圆周角、圆心角关系定理(2)考查垂径定理【解答】(1)D在O中，BACBOC9045，其余结论依据条件证不出来(2)连结OC、BC，则OCOB.弦CD垂直平分OB，OCBC，OCOBBC.BOC为等边三角形，BOC60.由垂径定理，得CPCD3.在RtPOC中，tanCOP，OP，AB2OB4OP4(cm)方法总结：（1） 用垂径定理进行证明或计算，常做出圆心到弦的垂线段，再利用弦心距和半径组成直角三角形来求解。（2） 辅助线作法：常作直径的90度的圆周角考虑作它所对的直径。五、【易错题探究】1AB是O的弦，AOB88，则弦AB所对的圆周角是_【解析】在O中，弦AB所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所以弦AB所对的圆周角是44或136.【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是做题的关键2O的半径为13 cm，弦ABCD，AB10 cm，CD24 cm，求AB与CD之间的距离【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图)；圆心在两平行弦同侧(如图)如图，过点O作ONAB，垂足为N，延长NO交CD于M.ABCD，OMCD.ANBN5 cm，CMDM12 cm.在RtOMD和RtONB中，根据勾股定理得ON12 cm，OM5 cm，MN12517(cm)同理，如图所示，MNONOM1257(cm)AB与CD间的距离为17 cm或7 cm.【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论六、【课堂基础检测】1如图，已知 CD为O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若D的度数为50，则C的度数是()A25 B40 C30 D50答案：A2如图，O是ABC的外接圆，已知ABO50，则ACB的大小为()A40 B30 C45 D50答案：A3如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30，O的半径为 cm，则弦CD的长为()A. cm B3 cm C2 cm D9 cm答案：B4如图，AB是O的直径，点C、D在O上，BOC110，ADOC，则AOD_.()A70 B60 C50 D40答案：D5如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为_答案：(6,0)6如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP，求O的直径解：(1)证明：BDBD，CP.又1C，1P，即CBPD.(2)如图，连结AC.AB为O的直径，ACB90.又CDAB，BCBD.AP，sinAsinP.在RtABC中，sinA.sinP又BC3，AB5，即O的直径为5.七、【课后达标练习】一、选择题1如图，A、B、C是O上的三点，已知O 60，则C()A20 B25 C30 D45解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，CO6030.答案：C2如图，ABC内接于O，A40，则BOC的度数为()A20 B40 C60 D80解析：BOC2A24080.答案：D3如图，O的直径CDAB，AOC50，则CDB大小为()A25 B30 C40 D50解析：CDAB，ACBC，CDBAOC5025.答案：A4如图，点B、C在O上，且BOBC，则BAC等于()A60 B50 C40 D30解析：BOBC，OBOC，OBOCBC，BOC60，BACBOC6030.答案：D5如图，AB是O的弦，半径OA2，AOB120，则弦AB的长是()A2 B2 C. D3解析：过O作OEAB于点E，则AOEAOB60，AB2AE.在RtAOE中，AEOAsin60，AB2.答案：B6如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB等于()A30 B45 C60 D90解析：APBAOB9045.答案：B7如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径若O的半径为，AC2，则sinB的值是()A. B. C. D.解析：常见辅助线：构造直径所对的90圆周角，连结CD，则ACD90，在RtACD中，sinD，又BD，sinB.答案：A8如图，在O中，AB、AC是弦，O在BAC的内部，ABO，ACO，BOC.则下列关系中，正确的是()AB22C180D360解析：连结AO并延长交O于点E，BOEBBAE2，COECCAE2，BOC22.答案：B9如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm2，则该半圆的半径为()A(4) cm B9 cmC4 cm D6 cm解析：设大正方形的边长为2x，则半径为 x，易得x，x14，x22(舍去)，x4.答案：C二、填空题10如图，O是ABC的外接圆，已知ABO40，则ACB的度数是_解析：OAOB，OABABO40，AOB100，ACBAOB10050.答案：5011如图，点A、B、C在O上，ABOC，B22，则A_.解析：因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故O2B44.ABCO，AO44.答案：4412如图，O中，MAN的度数为320，则圆周角MAN_.解析：MAN的度数为320，MN的度数为40，MAN4020.答案：2013如图，ABC是O的内接三角形，点D是BC的中点，已知AOB98，COB120，则ABD的度数是_解析：连结OD，OBOD，BODBOC60，OBD60.又AOB98，OAOB，OBA41.ABDOBAOBD41