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排列 组合习题课 一 排列 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 通常用表示 特别地 当m n时 称为一个全排列 n 这里 且 注意 第一公式用于计算 第二个公式用于证明 规定 0 1 全排列数 知识回顾 组合 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 记作 注意 第一公式用于计算 第二个公式用于证明 这里 且 性质1 性质2 组合数性质 排列与组合的概念 它们的共同点和不同点 共同点 都要 从n个不同元素中任取m个元素 不同点 对于所取出的元素 排列要 按照一定的顺序排成一列 而组合却是 不管怎样的顺序并成一组 排列与元素的顺序有关 而组合则与元素的顺序无关 种 种 种 解 种 例1有6本不同的书 按下列要求分配 有多少种分法 l 甲得1本 乙得2本 丙得3本 2 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 甲得2本 乙得2本 丙得2本 4 平均分成三组 每组2本 5 把6本不同的书分成三组 一组4本 另二组各1本 每人得2本 4 注意 平均分组问题 一般地 若n个不同元素能平均分成k组 每组m个 则不同的分法有 种 例1有6本不同的书 按下列要求分配 有多少种分法 l 甲得1本 乙得2本 丙得3本 2 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 甲得2本 乙得2本 丙得2本 4 平均分成三组 每组2本 5 把6本不同的书分成三组 一组4本 另二组各1本 种 种 种 解 种 种 每人得2本 例2四个不同的小球 全部放入编号为1 2 3 4的四个盒子中 1 共有多少种放法 2 四个盒都不空的放法有多少种 3 恰有一个空盒的放法有多少种 4 恰有两个空盒的放法有多少种 解 1 一个球一个球地放入盒子 每个小球都有4种放法 2 将四个小球放入四个编号盒子 放法总数是种 将三组小球放入三个编号盒子 共有 3 由题意 分三步完成 种 选出三个盒子 将四个小球分成三组 4 由题意 分三步完成 故放法总数是 选出两个盒子 将四个小球分成两组 将两组小球放入两个编号盒子 种 故放法总数是 种 例3空间10个点 其中有5点在同一个平面内且无三点共线 其余5点无三点共线 无四点共面 问以这些点为顶点 最多可构成多少个四面体 解 可以按共面的点取0个 1个 2个 3个进行分类 得到所有的取法总数为 方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况 得到所
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