2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第2讲函数与方程学案.doc

第2讲函数与方程考情考向分析求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，故有两个不同的解u1，u2，又u1u2f()f()4，所以不等实根的个数为3.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定(2)零点个数的确定(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解跟踪演练1(1)定义在r上的函数f(x)，满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数f(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()a3个 b2个 c1个 d0个答案b解析由f(x1)f(x1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，图中，g(3)3log231f(3)，g(5)3log250)有两个不同的交点即可，由exa，得ex2ax10，a24e0，解得a2或a0，a0.综上所述，a2.(2)(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()a1,0) b0，)c1，) d1，)答案c解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选c.思维升华(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)已知函数f(x)(ar)，若函数f(x)在r上有两个零点，则a的取值范围是()a(0,1 b1，)c(0,1)(1,2) d(，1)答案a解析函数f(x)(ar)在r上有两个零点，且x是函数f(x)的一个零点，方程2xa0在(，0上有一个解，再根据当x(，0时，02x201，可得00时，f(x)，则f(x)(x0)，故f(1)为f(x)在(0，)上的最大值设tf(x)，t2(m1)t1m0 有两个根t1，t2，由图可知，对应两个x值的t值只有一个，故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值情况为或当属于第一种情况时，将0代入方程得m1，此时二次方程t2(m1)t1m0的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，即m0，xr)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，所以，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2(kz)，即k(kz)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或.2(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_答案(0,13，)解析设f(x)(mx1)2，g(x)m，在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)3(2017江苏)设f(x)是定义在r上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合d，则方程f(x)lg x0的解的个数是_答案8解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10的情况，在此范围内，当xq，且xz时，设x，p，qn*，p2且p，q互质若lg xq，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nn*，m2且m，n互质因此，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾因此lg xq，因此lg x不可能与每个周期内xd对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xd部分的交点，画出函数草图图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内xd部分，且x1处(lg x)g，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()a1,1) b0,2c(2,2 d1,2)押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案d解析g(x)f(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a2.所以实数a的取值范围是1,2)，故选d.3已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当0x2时，f(x)minx22x,2x，若方程f(x)mx0恰有两个实根，则m的取值范围是()a.b.c.d.押题依据在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解答案c解析当0x1时，x22x2x，当1x2时，x22x2x，所以f(x)又因为f(x)是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f(x)的图象(图略)，直线ymx与yx22x的图象相切时，m2，直线ymx经过点(3,1)时，与函数f(x)的图象有三个交点，此时m，故x0时，要使方程f(x)mx0恰有两个实根，则m2，由对称性知x0时，要使方程f(x)mx0恰有两个实根，则2m0，f0，f0，ff0，所以函数f(x)在区间内必有零点，故选b.2(2018绍兴市柯桥区模拟)已知x0是函数f(x)ex的零点，若x1(0，x0)，x2(x0,2)，则()af(x1)0，f(x2)0bf(x1)0cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案c解析函数f(x)的定义域为x|x2，又ex0，且x2时，0，故f(x)的零点x0(，2)，求导得f(x)ex0，则函数f(x)在区间(，2)，(2，)上单调递减，由0x1x0x2f(x0)f(x2)，即f(x1)0，f(x2)0时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()a2 b3 c4 d5答案b解析由于函数f(x)是定义在r上的奇函数，故f(0)0.由于ff(2)0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x0时，也有1个零点故一共有3个零点4已知函数f(x)x22x(x0)与g(x)x2log2(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()a(，) b(，)c. d.答案b解析f(x)x22x(x0时，x0)，所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)f(x)x22x(x0)，由题意得x22xx2log2(xa)在x0时有解，作出函数的图象如图所示，当a0时，函数y2x与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交点，符合题意，若a0，若两函数在(0，)上有交点，则log2a，解得0a，综上可知，实数a的取值范围是(，)5(2018湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f(x)|x1|x|x1|，则方程f(2x1)f(x)所有根的和是()a. b1 c. d2答案c解析由题意得f(2x1)|2x2|2x1|2x|，f(2x1)f(x)|2x2|2x1|2x|x1|x|x1|，即|x1|x|2x1|x1|0，设g(x)|x1|x|2x1|x1|，则g(x)令g(x)0，解得x或x1，所以方程f(2x1)f(x)所有根的和是1，故选c.6已知函数f(x)则方程f(f(x)20的实根个数为()a6 b5 c4 d3答案c解析令tf(x)，则方程f(f(x)20等价于f(t)2t0，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y2x的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)2t0的两根分别为t10和1t22，当t1f(x)0时，解得x2，当t2f(x)(1,2)时，f(x)有3个不等实根，综上所述，方程f(f(x)20的实根个数为4.7定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在区间0，2 019上的零点个数是_答案605解析因为f(x)f(x5)16，所以f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以该函数的周期是t10.由于函数yf(x)在(1,4上有3个零点，因此在区间(1,9上只有3个零点，且在(1,0)上有1个零点，在0,9上有2个零点且不在区间端点处而2 019201109，故在区间0,2 019上共有20132605(个)零点8已知函数f(x)g(x)f(x)kx(kr)当k1时，函数g(x)有_个零点；若函数g(x)有3个零点，则k的取值范围是_答案1解析当k1时，g(x)0，即f(x)x，当0x0)，最多有1个解，即有x，解得0k，又0x时，xsin xkx，即为sin xk有2个解，则0k1，综上可得0k.9对于函数f(x)与g(x)，若存在xr|f(x)0，xr|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_答案3,4解析由题意知，函数f(x)的零点为x2，设g(x)满足|2|1的零点为，因为|2|1，解得13.因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间1,3上，则需满足g(1)g(3)0或解得a4或3a，得3a4.故实数a的取值范围为3,410(2018浙江)已知r，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_答案(1,4)(1,3(4，)解析当2时，f(x)其图象如图(1)由图知f(x)0的解集为(1,4)f(x)恰有2个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点在同一平面直角坐标系中画出y1x4与y2x24x3的图象，如图(2)，平移直线x，可得(1,3(4，)b组能力提高11定义在r上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)若关于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和为1，则实数a的值为()a. b. c. d.答案b解析因为函数f(x)为奇函数，所以当x(1,0时，f(x)f(x)(x1)log2(1x)；当x(，1时，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)f(x)a，函数g(x)的零点即为函数yf(x)与ya的交点，如图所示，共5个当x(，1时，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，当x(1,0)时，令log2(1x)a，解得x312a；当x1，)时，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零点之和为x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12若函数f(x)axln x有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析函数f(x)axln x有3个不同的零点，等价于a，x(0，)有3个不同解，令g(x)，x(0，)，则g(x)，当x(0，)时，令y2xln x，则y2，当x时，y0，y单调递增，则ymin1ln1ln 20，则当x(0，)时，恒有2xln x0，令g(x)0，得x1或xe，且x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；x时，g(x)0，g(x)单调递减，则g(x)的极小值为g(1)1，g(x)的极大值为g(e)，当x0时，g(x)，当x时，g(x)1.结合函数图象(图略)可得，当1a时，ya 与g(x)的图象有3个不同的交点，即方程a，x(0，)有3个不同解，即函数f(x)axln x有3个不同的零点，所以a的取值范围是.13已知函数f(x)|x|(2x)，关于x的方程f(x)m(mr)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为_答案(1，0)解析f(x)|x|(2x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数yf(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，由对称性知，x2x32,0x2x321；当x0时，由x22x1，得x1，所以1x10，即0x11，所以0x1x2x31，即1x1x2x30.14已知函数f(x)(e为