历高考数学真题考点归纳第五章平面向量、解三角形第一节平面向量

1 历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20102010 年年 第五章第五章 平面向量 解三角形平面向量 解三角形 第一节第一节 平面向量平面向量 一 选择题 1 1 20102010 湖南文 湖南文 6 若非零向量 a b 满足 2 0ababb 则 a 与 b 的夹角为 A 300 B 600 C 1200 D 1500 答案 C 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 答案 B 命题意图 本试题主要考查向量的基本运算 考查角平分线定理 解析 因为CD平分ACB 由角平分线定理得 ADCA2 DBCB1 所以 D 为 AB 的三等分 点 且 22 ADAB CBCA 33 所以 2121 CDCA ADCBCAab 3333 故 选 B 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 8 平面上 O A B三点不共线 设 OAa OBb 则OAB 的面积等 于 A 22 2 aba b B 22 2 aba b C 22 2 1 2 aba b D 22 2 1 2 aba b 答案 C 解析 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 2 aba b 2 4 4 20102010 辽宁理 辽宁理 8 平面上 O A B 三点不共线 设 OA a OBb 则 OAB 的面积等于 A 222 aba b A B 222 aba b A C 222 1 2 aba b A D 222 1 2 aba b A 答案 C 命题立意 本题考查了三角形面积的向量表示 考查了向量的内积以及同角三角函数的基 本关系 解析 三角形的面积 S 1 2 a b sin 而 2222222 11 cos 22 ababababa b 2 11 1 cos sin 22 a ba ba ba b 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CB a CA b a 1 b 2 则CD A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 答案 B 解析解析 B B 本题考查了平面向量的基础知识 本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 6 6 20102010 安徽文 安徽文 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b A C ab D ab 与b垂直 答案 D 解析 11 22 ab 0ab b A 所以 ab与b垂直 规律总结 根据向量是坐标运算 直接代入求解 判断即可得出结论 3 7 7 20102010 重庆文 重庆文 3 若向量 3 am 2 1 b 0a b A 则实数m的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 6 答案 D 解析 60a bm A 所以m 6 8 8 20102010 重庆理 重庆理 2 已知向量 a b 满足0 1 2 a bab 则2ab A 0 B 2 2 C 4 D 8 答案 B 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 9 9 20102010 山东文 山东文 12 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的 am n bp q 令abmqnp A 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则0ab A B abba AA C 对任意的R 有 abab AA D 2222 aba bab A 答案 B 10 10 20102010 四川理 四川理 5 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16 BCABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 答案 C 11 11 20102010 天津文 天津文 9 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则 4 AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 温馨提示 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强 平面向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 12 12 20102010 广东文 广东文 13 13 20102010 福建文 福建文 14 14 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两 切点 那么PA PB 的最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 5 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 1 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 解析 2 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 解析 3 建系 园的方程为 22 1xy 设 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 15 15 20102010 四川文 四川文 6 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16BC ABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 P A B O 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 6 答案 C 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 16 16 20102010 湖北文 湖北文 8 已知ABC 和点 M 满足0MAMBMC 若存在实m使得 AMACmAM 成立 则m A 2B 3C 4D 5 17 17 20102010 山东理 山东理 12 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的a m n bp q 令ab mq np A 下面说法错误的是 A 若a 与b 共线 则ab 0 A B ab ba AA C 对任意的R 有a b A ab A D 2222 ab ab a b A 答案 B 解析 若a 与b 共线 则有ab mq np 0 A 故 A 正确 因为bapn qm A 而 ab mq np A 所以有abba AA 故选项 B 错误 故选 B 命题意图 本题在平面向量的基础上 加以创新 属创新题型 考查平面向量的基础知识 以及分析问题 解决问题的能力 18 18 20102010 湖南理 湖南理 4 在Rt ABC 中 C 90 AC 4 则AB AC uu u r uuu r 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 7 19 201019 2010 年安徽理年安徽理 20 20 20102010 湖北理 湖北理 5 已知ABC 和点 M 满足0MA MB MC 若存在实数 m 使得 AB ACAMm 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的 点P 若 1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 4ab 1 解析 因为1 2 1 e 2 2 1 e 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为xy 2 1 又1 2 5 bac 双曲线方程为1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe 22 baba 8 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 2 2 20102010 浙江理 浙江理 16 已知平面向量 0 满足1 且 与 的夹 角为 120 则 的取值范围是 解析 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中 即可迎刃而解 本题主要考察了平面向 量的四则运算及其几何意义 突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力 属中档题 3 3 20102010 陕西文 陕西文 12 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则 m 答案 1 解析 0 1 1 21 1 1 mcbamba得由 所以 m 1 4 4 20102010 江西理 江西理 13 已知向量a b 满足1a 2b a 与b 的 夹角为 60 则ab 答案 3 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余 弦定理等知识 如图 aOA bOB abOAOBBA 由余弦定 理得 3ab 5 5 20102010 浙江文 浙江文 17 在平行四边形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交点 P Q M N 分别是线 段 OA OB OC OD 的中点 在 APMC 中任取一点记为 E 在 B Q N D 中任取一点记为 F 设 G 为满足向量OGOE OF 的点 则在上述的点 G 组成的集合中的点 落在平行四边形 ABCD 外 不含边界 的概率为 9 答案 3 4 6 6 20102010 浙江文 浙江文 13 已知平面向量 1 2 2 则2a 的值是 答案 10 7 7 20102010 天津理 天津理 15 如图 在ABCA中 ADAB 3BCBD 1AD 则AC AD A 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 解析 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平面 向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 8 8 20102010 广东理 广东理 10 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x 答案 2 2 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 解得2x 10 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一 方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4