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人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露高三第一轮复习数学-向量的应用一、教学目标：掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.二、教学重点：向量的性质及相关知识的综合应用.三、教学过程：（一）主要知识：1. 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.（二）例题分析：例1 若点O是三角形ABC所在平面上任意一点，点G是三角形ABC的重心的充要条件是：证明：以O为坐标原点建立坐标系，则O（0，0），设充分性证明：，所以点G是的重心，ABCGOXY同理可证必要性.思维点拔用坐标法来证明平面几何问题有时很方便。AB例2一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从处出发航行到河的正对岸处，船的航行速度为，水流速度为. (1)试求的夹角(精确到),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到); (2)要使船到达对岸所用时间最少, 的夹角应为多少?解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以,的夹角满足,故的夹角；船垂直到达对岸所用的时间.（2）设的夹角为（如图），在竖直方向上的分速度的和为，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为，从而所AB用的时间为，显然，当时，最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为.思维点拔 理解物理意义，用向量的知识解决.例3（2002年高考天津）已知两点，且点使成公差小于的等差数列.（1）点的轨迹是什么曲线？（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求.解：(1)设，则,由题设得,故点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆在轴的右侧部分.(2) ， 故 ，.思维点拔正确熟练地应用向量的运算性质，同时要善于运用其他数学知识解题.CABOxy例4（1999全国高考理科）如图，给出定点 和直线，是直线上的动点，的平分线交于点，求点的轨迹方程.解：设，由平分，可得：，当时有， （*）又由三点共线得，与（*）联立消去，可得：，即，若，则也满足上式，故点的轨迹方程为.思维点拔.由角相等想到余弦相等，从而可用向量数量积的性质.ABMO例5（2000春季高考）如图，设点为抛物线上非原点的两个动点，已知，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：设，所以有，由，易得 又由 再由将两式代入式并化简整理，得为点的轨迹方程，它表示以点为圆心，以为半径的圆（除去原点）.思维点拔.已知条件中有两处“垂直”，由此转化为向量垂直. 四、小结：1进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解
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