21　直线与圆锥曲线【精品教案】

21直线与圆锥曲线【精品教案】 专题（二）直线与圆锥曲线主干知识整合直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.经典真题感悟1.（江西卷15）过抛物线2 (0)xpy p?2的焦点F作倾角为30?的直线，与抛物AF?线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则FB132(xx年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l与曲线22 (2)1xy?有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.3,3?B.(3,3)?C.33,33?D.33(,)33?3(xx年海南-宁夏卷)设双曲线221916xy?的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为_.热点考点探究考点一直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C2x (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.解 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并得(2k(2y2=2与点P(1，2)2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0*)()当2k2=0,即k=2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k2时=2(k22k)24(2k2)(k3时，方程(2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=2*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k2*)有两不等实根，l与C有两个交点.3时，方程(3,又k2,故当k2或2k2或2k23时，方程(当0，即k2*)无解，l与C无交点.综上知当k=2,或k=23，或k不存在时，l与C只有一个交点；当2k23,或2k2,或k2时，l与C有两个交点；当k23时，l与C没有交点. (2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x1两式相减得2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y12y12=2,2x22y22=2即kAB=2121xxyy?=2但渐近线斜率为2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.考点二圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。 1?kxy和双曲线x0,2?）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。 1?yx消去y得(k例2直线m122?y的左支交于A、B两点，直线l过P（解由)1(122?xkxy022)1?22?kxx，由题意，有?2?010120)1(8422122122kxxkkxxkk2k1?x?xk设M（00,yx），则?1?2?xx210111kkxykx由P（0,2?）、M（2211,1kkk?）、Q（12?b,0）三点共线，可求得2222?kkb设22)(2?kkkf817)4(2?k，则)(kf在)2,1(上为减函数。 所以)1(f)()2(kff?，且0)(?kf所以1)()22(?kf所以)22(?b或2?b考点三弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.例3.如图所示，抛物线y?的直线l与线段OA相交(不经过点O2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.解由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组?2xymxy4,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m24m2=16(1m)0,2,|MN|=4)1(2m?.点A到直线l的距离为d=25m?.S=2(5+m)m?1,从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2(35522mmm?)3=128.S82,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为82.考点4圆锥曲线关于直线对称问题例4.已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为 (4)?,(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求?的取值范围.【解析】(I)设椭圆的方程为22221 (0)xyabab?由条件知2222,acac?且所以,2224bac?故椭圆的方程是221 (4)4xy?(II)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是 (1)yk x?,设点F(2,0)关于直线l的对称点为/00(,)F x y,则000xx022 (1)2212121yxkxkkykyxk?解得因为/00(,)F x y在椭圆上,所以222222()()11?14kk?k?即422 (4)2(?6)(?4)0kk?故2kt?,则22 (4)2(?6)(?4)0tt?因为2(?4)4,0 (4)?所以于是,当且仅当232(?6)4(?4)0,2(?6)0, (4)?(*)上述方程存在正实根,即直线l存在.解(*)得16,3164346?所以即?的取值范围是1643?规律总结1.判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程220.axbx?当当点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2.“设而不求”的方法00a?a?时,若有时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共0?,则l与C相交;若0?,则l与C相切;若0?,则l与C相离.若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A(11,x y)、B(22,x y),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3.韦达定理与弦长公式斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(11,xy),B(22,xy)则2|1?2|1ABxxk?21|1y?2|1 (0)ykk?,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练 一、选择题1.斜率为1的直线l与椭圆42x+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A.2B.554C.5104D.51082.抛物线y=axx1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=02与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为B.x1x2=x1x3+x2x31.解析弦长|AB|=55422t?5104.答案C2.解析解方程组?bkxyaxy2,得ax2kxb=0,可知x1+x2=ak,x1x2=ab,x3=kb,代入验证即可.答案B3.斜率为2的直线l过双曲线22221(0,0)xyabab?的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是(D)A.2e?B.13e?C.15e?D.5e?4.过点A(4,0)的直线与抛物线24yx?交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是(C) 二、填空题A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定5.已知两点M(1，45)、N(4，45)，给出下列曲线方程4x+2y1=0,x2+y2=3,22x+y2=1,22xy2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_.解析点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线yABCD的面积为_.7.在抛物线y_.6解析设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案18或507.解析设所求直线与yy12=x上，则正方形2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得2=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).2=16x1,y2即?21212116yyxxyykAB=8.故所求直线方程为y=8x15.答案8xy15=0 三、解答题8.已知抛物线y交于不同的两点A、B，且|AB|2p. (1)求a的取值范围. (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线9.已知中心在原点，顶点A 1、A2在x轴上，离心率e=321的双曲线过点P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l过点A，斜率为k,当0k1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.11.已知过双曲线方程22142xy? (1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程; (2)是否存在直线l,使1(1,)2N为l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8解 (1)设直线l的方程为y=xa,代入抛物线方程得(xa)2(a+p)x+a2=2px,即x22=0|AB|=224)(42apa?2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a4p. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由 (1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,xx?则有x=222,2212121axxyyypa?=p.线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0）apa22点N到AB的距离为p|2|?从而SNAB=2222224)(4221papppapa?当a有最大值4p时，S有最大值为2p2.9.解 (1)如图，设双曲线方程为2222byax?=1.由已知得321,16622222222?a?baeba,解得a2=9,b2=12.所以所求双曲线方程为12922yx?=1. (2)P、A 1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有3491244108912108912?2121212122222121?xxyyyyxxyxyx，kl=34l的方程为y=34(x2)+2,由?)2(3410891222xyyx,消去y,得x24x+28=0.=164280,所求直线l不存在.10.解 (1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=1|2|2?kk=1,解得k=1.即渐近线为y=x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，2).a=2=b,所求双曲线C的方程为x2y2=2. (2)设直线l y=k(x2)(0k1),依题意B点在平行的直线l上，且l与l间的距离为2.设直线ly=kx+m,应有21|2|2?kmk,化简得m2+22km=2.把l代入双曲线方程得(k由=4m21)x2+2mkx+m22=0,2+2k2k24(k21)(m22)=0.可得m2=2、两式相减得k=2m,代入得m2=52,解设m=510,k=552,此时x=2212?kmk,y=10.故B(22,10).11.解析 (1)设1122(,A xy),(B xy,),则1212(,)22xxyyM?则有2121142xy?.2222142xy?.-得12121212()()2()()0xxxxyyyy?12122,2xxyy?121212AByykxx?11 (1)2AByx?直线方程为210xy?双曲线的一条渐近线方程为22yx?,而1222?,210xy?直线与双曲线交于两点.210xy?为所求. (2)假设过N