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三角函数模型的简单应用 例1 如图 某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 1 求这一天的最大温差 2 写出这段曲线的函数解析式 解 1 观察图象可知 这段时间的最大温差是20 c 2 从图中可以看出 从6时到14时的图象是函数y asin x b的半个周期的图象 所以 因为点 6 10 是五点法作图中的第四点 故 故 所求函数解析式为 例2 如图 设地球表面某地正午太阳高度角为 为此时太阳直射纬度 为该地的纬度值 那么这三个量之间的关系是 90 当地夏半年 取正值 冬半年 取负值 如果在北京地区 纬度数约为北纬40 的一幢高为h的楼房北面盖一新楼 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 两楼的距离不应小于多少 太阳光 解 如图 a b c分别太阳直射北回归线 赤道 南回归线时 楼顶在地面上的投影点 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 应取太阳直射南回归线的情况考虑 此时的太阳直射纬度为 23 26 依题意两楼的间距应不小于mc 根据太阳高度角的定义 有 c 90 40 23 26 26 34 所以 即在盖楼时 为使后楼不被前楼遮挡 要留出相当于楼高两倍的间距 例4 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近船坞 卸货后 在落潮时返回海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出整点时的水深的近似数值 精确到0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4米 安全条例规定至少要有1 5米的安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1 5米 该船在2 00开始卸货 吃水深度以每小时0 3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 1 以时间为横坐标 水深为纵坐标 在直角坐标系中画出散点图 根据图象 可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系 从数据和图象可以得出 a 2 5 h 5 t 12 0 由 得 所以 这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 解 2 货船需要的安全水深为4 1 5 5 5 米 所以当y 5 5时就可以进港 令化简得 由计算器计算可得 解得 因为 所以有函数周期性易得 因此 货船可以在凌晨零时30分左右进港 早晨5时30分左右出港 或在中午12时30分左右进港 下午17时30分左右出港 每次可以在港口停留5小时左右 解 解 3 设在时刻x船舶的安全水深为y 那么y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象 可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点 通过计算可得在6时的水深约为5米 此时船舶的安全水深约为4 3米 6 5时的水深约为4 2米 此时船舶的安全水深约
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