分形几何与斐波那契数列的对比.doc

石家庄经济学院本科生毕业论文摘要分形是美籍法国应用数学家蒙德布罗特所提出的，它和英文中的fracture(断裂）和fraction（分数）有一定联系，体现出蒙德布罗特创立这个新的几何思想。分形几何作为一门新兴的交义学科，正在被越来越多的人所认识和学习。据美国科学家情报所调查，八十年代，全世界有1257种重要学术刊物所发表的论文中，有37.5%与分形有关。美国著名的物理学家Wheeler说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”。传统的欧式几何主要研究对象是规则图形和光滑曲线，对自然景物的描述却显得无能为力。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的几何现象和事物的，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘得以实现，这也是分形几何得到高度重视的原因之一。斐波那契数列产生于一个关于兔子繁殖后代的问题：某人有一对兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？斐波那契数列从问世到现在，不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。如今，斐波那契数列渗透到了数学的各个分支中。同时，在自然界和现实生活中斐波那契数列也得到了广泛的应用。如一些花草长出的枝条会出现斐波那契数列现象，大多数植物的花的花瓣数都恰是斐波那契数列等等。斐波那契数列又被称为是黄金分割数列，而黄金分割本身就是一种分形的例子。二者都可以解决一些传统数学所不能解决的问题，所不同的是分形几何是通过几何的角度来解决问题，而斐波那契数列则是通过代数的角度来解决实际问题。作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义，研究两者的对比关系，探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题，具有重要意义。 关键字：斐波那契数列；分形几何；应用；对比ABSTRACTFractal is first put forward by French-American applied mathematician Mandelbrot. It relates to the words “fracture” and “fraction”, reflecting Mandelbrots opinion on creating the new definition. As a rising interdiscipline subject, Fractal is being understood and learned by more and more people. According to the survey of American Scientist Information Institution, in the 1980s, among all the papers published on worldwide 1257 important academic journal, 37.5% is related to Fractal. American famous physicist Wheeler said: “ I am confident that who is unfamiliar with Fractal, who will not be considered as the science intellectual in the future.” Traditional European-style geometry takes norm graph and smooth curve as the main researching object, and seems helpless to natural features. The foundation of Fractal is to describe the phenomenon and features that European-style geometry cannot, and so Fractal is honored as “geometry of the nature”. Being able to describe the nature features is one of the reasons that Fractal is highly valued.Fibonacci Series comes from the problem of rabbits raising: a man has a couple rabbits raised within walls, if they give birth to a couple rabbits each month, and the new born will give birth to a couple rabbits in the next month, after one year, how many rabbits will be there within the walls? From established to today, Fibonacci Series continues to show its importance in mathematical theory and application. Nowadays, Fibonacci Series have permeated to each branches of mathematic. Meanwhile Fibonacci Series extensively applies to nature and real life. For example, flowers and plants branches appear Fibonacci Series phenomenon, and most plants peal is exactly Fibonacci Series.Fibonacci Series is also named as Golden Section Sequence， and golden section itself is an example of fractal. Both of them can solve some problems that traditional mathematic cannot. The difference between them is that Fractal solve problems according to geometrical perspective, and Fibonacci Series according to algebraic perspective.Two definitions as a new reality have an important influence on the real life, the study of contrast relationship between Fractal and Fibonacci Series and discussion of how to use the two definition to solve problems in real life has great significance.Key words: the Fibonacci series; Fractal geometry; Application; contrastI目录1 前言11.1 分形几何的由来与发展11.2 斐波那契数列的由来与发展22 分形几何的定义与应用42.1 分形几何的定义42.2 分形几何的应用42.2.1 分形几何的数学实例-康托集合42.2.2 DNA复制的分形性质53 斐波那契数列的定义与应用63.1 斐波那契数列的定义63.2 斐波那契数列的应用63.2.1 拉姆定理的证明63.2.2 数学游戏（拼图）与斐波那契数列83.2.3 斐波那契数列与象棋马步94 分形几何与斐波那契数列的关系104.1 分形几何与黄金分割的联系104.2 斐波那契数列与黄金分割115 结论13致 谢15参 考 文 献16分形几何与“斐波那契数列”的比较现如今几何分形与斐波那契数列都处在一个新兴的阶段，国内外大多数的研究都只是停留在两个独立的概念上，只是在研究他们分别的性质和应用，比如研究斐波那契数列在股票市场、动物繁殖、排列组合上的应用，研究几何分形在数论、动力系统、物理、复变函数的迭代等方面的应用。还没有给出过两者之间的对比关系的报告。传统的欧式几何主要研究规则图形和光滑曲线，对自然景物的描述却显得无能为力。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的几何现象和物体，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘成为了可能。斐波那契数列自从问世以来，不断地显示出来它在数学理论和应用上的重要作用。如今，斐波那契数列渗透了数学的各个分支中。同时，在自然界和现实生活中也得到了广泛的应用。所以，作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义，研究两者的对比关系，探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题，具有重要意义。1 前言1.1 分形几何的由来与发展恩格斯给数学下了这样的定义：研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。其中的空间形式所指的就是几何学。传统的欧几里得几何学所研究的对象从二次曲面到多边形都是连续、规则而光滑的几何构型，尽管现代数学有长足的进步，用微积分做工具可以讨论“任意”形状的曲线和曲面，但事实上，仍仅限于在几乎处处连续可微的情形下。然而自然界的真实形态并非如此光滑、规则，如：弯弯曲曲的海岸线，充满空隙的宇宙空间，九曲回肠的河流，起伏不平的地貌，纵横交错的大地皱纹、裂缝，流体的湍流，相变点附近的涨落花斑，结晶体的分支，地下水和石油的渗流，静电传输误差，生物体的形态与结构，股票市场的变化它们都不是欧式几何意义下的光滑、规则形体。根据研究问题的需求，光滑、规则的形态不仅不能较好地近似它们，有的甚至连一级近似也做不出来。19世纪的数学家也凭借想象创造出来了一些不够光滑、不够规则的形体（空间形式），如康托集合、维尔斯特拉斯曲线、科契曲线、谢尔品斯基地毯、皮亚洛曲线等等。但是长期以来，它们被视为是“病态”的或称为“数学怪物”。通常只是作为传统数学教科书中的反例，起着对正则结构的点缀和陪衬作用，很少对它们进行较详细的研究。对自然界和科学实验中出现的凹凸不平，粗糙不光滑，破碎不连续的构型，在它们面前传统的几何语言是无能为力的，即使进行了数学描述，所进行的抽象也是错误的。例如在微积分中一条曲线可求长度，是认为每一段可用直线段近似，其前提是假定曲线上每一点都存在唯一确定的切线方向。而高度不光滑的曲线则是“处处不可微的”。因此美籍法国应用数学家蒙德布洛特提出了分形一词，他最早是应用在解决海岸线长度的问题上。蒙德布罗特通过自己的不断研究与思考，1967年在美国的科学杂志上发表了题为：“英国海岸线有多长？”的论文。海岸线的弯曲程度大到几百公里，小到几米，用不同的尺度测量会得到不同的结果，尺度越小，测得的长度就越长，它的复杂性就在于“在每一种尺度上都有复杂的细节”。蒙德布罗特认为自然界中许多事物诸如海岸线、河流、山脉都非常曲折复杂的，用任何尺度来测量都要忽略掉许多细节，因此用传统的度量是不可能得到准确的结果。蒙德布罗特对海岸线的本质的独特分析震惊了科学界。如果说这篇论文还只是分型概念的萌芽，那么，1973年蒙德布罗特在法兰西学院讲学期间就正式提出了分形几何的思想，认为这是一种可以描述自然界中那些极不规则的构型的几何，将会成为研究许多物理现象的有力工具。1977年蒙德布罗特出版了奠基性的著作：分形：形、机遇和维数提出了分形的三要素，即构型、机遇和维数。1982年又出版了自然界的分形几何这也这是标志着分形几何迈入现代新兴学科之林。1.2 斐波那契数列的由来与发展根据高德纳的计算机程序设计艺术，1150年印度数学家 Gopala 和 Hemachandra 在研究箱子包装物件长宽刚好为和的可行方法数目时，首先描述了斐波那契数列。而在西方，最先研究斐波那契数列的人是意大利数学家列奥纳多斐波那契。十三世纪初，意大利数学家斐波那契在一本叫做算盘书的著作里面提出一个很有趣的问题：假设有一对大兔子，一个月以后生产出一对小兔子（一雌一雄），而小兔子两个月以后又生产一对小兔子（一雌一雄），问一直这样下去，一年后一共有多少对兔子（假设兔子都不死）？一对可以繁殖的兔子一对不能繁殖的兔子如上图，可以做简单推算第一个月：1对；第二个月：1对；第三个月：2对；第四个月：3对；如此推算下去，我们不难得出下面的结果：月份数12345678910111213兔子数（对）1123581321345589144233从表中可知，一年后就是第十三个月有233对。用这种办法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越使人觉得复杂。有无简单办法推算？我们把上表中下面一列数用表示，下标表示月份数，兔子数可视为月份数的函数，则它们被称为Fibonacci数列，记称为斐波那契数。大概过了近400年，数学家齐腊特发现斐波那契数列之间有如下递推关系：由于这一发现，生小兔子问题引起了人们的极大兴趣，首先计算这个数列很方便；再者，由于人们继续研究这个数列，又发现了许多奇特的性质。如：1) ，用数学归纳法很好证明的，但是不知道是谁最先发现的；2) 1680年，数学家卡西尼发现了如下关系式：。这也可以用数学归纳法证明的，但是有很巧妙的证明方法，可由矩阵来证明：,其中表示的矩阵。根据上面的关系可以发现,互质，也就是说，因此上面的关系式可以推广成：3) 上面三个关系都十分优美，但还是没有得到Fibonacci数列的通项表达，于是到大概18世纪初期的时候，数学家棣莫佛在其所著分析集锦中给出了斐波那契数列的通项表达（又称为“封闭形式”，但不是唯一存在的）：。这个公式又叫做比内公式，因为他是由数学家比内证明的。这个式子是一个十分耐人寻味的等式，因为等式左边是一个正整数，但是右边却是无理数运算。这个公式也可以用数学归纳法证明的；4) 到1753年，希姆松发现是一个连分数；5) 1884年，法国数学家拉姆用斐波那契数列证明：应用辗转相除法的步数不大于较小的那个数的位数的5倍（这是斐波那契数列第一次有价值的应用）；后来科学家斐波那契数列不只是在生兔子问题中才会遇到，它也出现在自然界、生活中，如：植物叶序、菠萝鳞片、树枝生长、蜂进蜂房、上楼方式、钢琴键盘、几何、代数、概率中的费氏数列。2 分形几何的定义与应用2.1 分形几何的定义分形一词到目前为止还没有严格精确的定义。通常情况下，一个集合如果具有以下所有或大部分性质，我们即称之为分形：（1）具有精细的结构，即有任意小的比例的性质。（2）通常有某种自相似的，可能是近似的或是统计的。（3）是不规则的，以至于无论它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述。（4）一般 “分形维数”（以某种方式定义）通常严格大于它的拓扑维数，且一般不是整数。（5）具有非常简单的，可能是由迭代给出的定义。（6）通常有“自然”的外貌。分形造型的方法有很多, 使用确定性自相似分形几何构造方法生成三维分形植物。确定性自相似分形几何构造,开始于一个指定的几何形状, 称为初始元。然后使用一种模型代替初始元的每个部分, 该模型称为生成元, 代替过程不断进行下去生成分形图形。这种表现可以由植物的分枝模式来描述。分形方法是根据植物的形态结构, 实现分形几何建模的方法主要包括迭代函数系统(Iterated Function System, IFS)、分枝矩阵(Ramification Matrix) 、粒子系统(Partial System) 、正规文法方法、A 系统(A-system)以及Oppenheimer 提出的特定的分形方法等。2.2 分形几何的应用2.2.1 分形几何的数学实例-康托集合1872年，集合论创始人、德国数学家康托为了讨论三角级数的唯一性这一问题，构造了一个被称为三分康托集的奇异集合。其构造如下：从单位区间出发，去掉中间的得到的集合记为，他包含两个子区间和。接着去掉的两个子区间各自中间的一段得到。设已做出，他由个长度为的小区间组成。从每个小区间出发，去掉中间的得到。作为点集，显然，其极限集就是三分康托集。它由区间中可以展开成以为底的幂级数形式的数组成，或。这是由于从得时要去掉每个小区间的中间，因此就去掉了那些使的数。三分康托集有许多奇怪的性质。从拓扑学上看，它是紧致的、完全不连通的完备集，而且具有连续统的基数；但是它的长度为。因此，在传统数学中它被看作数学怪物。当时，人们认为三分康托集在传统数学的研究中是可以忽略的，但康托的研究结果表明，这类集合在研究像三角级数的唯一性这样重要的问题时不但不能忽略，而且起着非常重要的作用。在描述自然界的几何形态时，它更是必需的。正如曼德尔洛特所说：“我不想声称这些集合如此美妙以致一定会派上用场。我只是想要人们承认，正是使康托不连续统是病态的那些性质到头来却是间歇现象的现实模型中必不可少的东西。”与科契曲线类似，不难看出，三分康托集具有下述典型的几何性质:（1）是自相似的。即的每一个充分小的局部与是几何相似的。的两个区间内的部分与相似，相似比为，将每一部分放大3倍就得到；的每个区间内的部分也与相似，相似比为，将每一部分放大9倍就得到因此，中包含无穷多个不同比例的与相似的样本。（2）有精细结构。它包含有任意小比例的细节，用越来越大的倍数观察，间歇就越来越清楚。（3）的定义简单明了，是一个简单图形（单位直线段）通过迭代产生的，即是不断地去掉中间的而得到的。迭代的步骤越大，越接近。（4）的几何性质难以用传统的术语描述。它既不是满足某个方程的解集，也不是满足某些简单条件的点的轨迹。（5）的局部性质也难以用传统的数学语言描述。在它的每点附近都有大量被各种不同间歇分开的其他点。虽然是不可数无穷集，但的勒贝格测度为。事实上，的长度为，当时，的长度为。因此，勒贝格测度不能对给出好的描述。因为按拓扑维数的定义，。但是的初次构造中的两个特征量：相似比和与原图形相似的新图形的个数可构成新的特征量，即相似维数或豪斯道夫维数虽然是非整数，却对集合的复杂程度和占据空间的规模给出了好的描述。它使得集合既能够区别于可列点集又能区别于区间。2.2.2 DNA复制的分形性质DNA的复制过程符合通向混沌的倍数周期规律。 其中是在某复制阶段时的DNA数目，是复制级数或分叉级数。复制过程形成的分叉树在直线上的投影是一个典型的康托集，其分维。从信息和功能分形的观点来看，DNA是一个分形体，内部包含着不同层次的“DNA”。复制仅仅是信息和功能分形的显现，相当于把一个具有无穷层次的DNA分形体进行“分解”或“放大”。信息分形的含义是体系的局部包含着整体的主要信息。而功能分形意味着体系的一个相对独立部分的功能与整体的功能基本相似。DNA复制形成的分形树，具有良好地自相似性。从其中任取一个独立的小枝来观察，其形态和功能都与整体相似。因此，DNA复制是生物体相似的基本原因。基因是DNA分子长链中的一个片段，包括许多对核苷酸。研究表明，在一个基因区段里，还可划分出若干个亚单位，而亚单位也有一定程度的独立性。从功能和信息的角度来看，DNA、基因和亚单位之间存在着许多的共性。基本组成并不复杂的DNA却能显现复杂的性质，这正是分形体的奇特之处和具有诱惑力的地方。细胞也有和DNA相似的复制特征。无论是有丝分裂还是减数分裂，最初都是“一分为二”的，由此而形成分叉树。细胞的这种分裂，为生物体的分形提供了条件和保障，使得DNA复制上升到高一级层次并向整体过渡。这里，细胞的全能性起着重要作用。所谓细胞的全能性是指单个分化细胞在适宜的条件下表达全部遗传信息并发育成为完好无缺和充分分化的有机体的能力。自从1958年用胡萝卜的单个体细胞和小细胞团在离体组织培养时获得新植株以来，迄今已有200多种植物在组织培养中诱导分化成植株。动物细胞的全能性研究也取得了一些可喜的成就。人类的一个受精卵在母体乃至试管中可以发育成一个完整的人；将青蛙肠上的皮细胞移植到去核的受精卵中发育成了正常的青蛙；从水母的伞上只取小片横纹肌，在下进行离体培养，7日后形成垂管水母的性与摄食器官，从横纹肌再生以来的垂管，几乎含有构成明横纹肌细胞具有和受精卵细胞差不多的发育能力。因此，从分形的定义来看，细胞的全能性就是分形性，生物体是由细胞这种分形元所构成的分形体。3 斐波那契数列的定义与应用3.1 斐波那契数列的定义斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契。（Leonardo Fibonacci， 生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理（Liber Abacci) 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。斐波那契数列指的是这样一个数列：这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式是。3.2 斐波那契数列的应用3.2.1 拉姆定理的证明假设是一对整数，且，又它们的辗转相除中含有步。下面讨论：当固定时，的最小值是什么？现在设辗转相除过程的个步骤表为：其中，均为自然数，故它们都不小于。特别的应该指出：，否则由有，这与前式中的假设相矛盾，故。这样，我们按照上述诸表达式相继推去有：当时，这里均是以最小的来计算的，容易看出：，这里为斐波那契数列的第项，由斐波那契数列的性质：，我们不难证明：事实上，时，结论显然直接计算可得，当时，我们有又此即说：至少比多一位数。我们知道：当时，是一位数，由上结论：当时，至少是两位数，当时，至少是三位数，当时，至少是四位数，当时，至少是位数，对任何自然数，必有整数使或，这样至少是位数，于是的位数的倍至少是，从而。3.2.2 数学游戏（拼图）与斐波那契数列把一个边长为的正方形按如图方式剪裁，然后拼成下图的矩形， 拼后你会发现：原来正方形面积为：；而矩形的面积是。这分明多出一个面积单位来，因为什么呢？当然你若是真的动手去剪拼，会发现其中的结症：矩形中间是又逢的（有时或许会有重叠）。注意到正方形和矩形边长数字恰好是斐波那契数列中相邻的三项，由斐波那契数列的性质： 。在上面的剪拼问题里，是正方形的面积，是剪拼后矩形的面积。那么，按照上面的剪切拼成矩形，要求面积不变，要如何剪切呢？如下图，我们可有： 要使，即，所以有，解得：。我们注意到为黄金分割数。所以实现完全剪拼的充要条件是。3.2.3 斐波那契数列与象棋马步有这样一个问题：考虑一个能每步横跳、纵跳格的马，称为广义马，在格点平面上，广义马从到的最少步数问题，有学者给出如下结论：1、 对马，从到可用步到达。2、 若相邻两斐波那契数一奇一偶，则马可用步从跳到。下面我们证明一下结论。1) 若为偶，为奇，则由，再构造的线路：a) 正向跳马步：；b) 反向跳马步：；c) 跳步马，其中对第二个分量反向跳；对第一个分量正、反向各跳步（是偶数），从而第一个分量不变，于是。若，命题得证。否则，适当变化一下上述三步的正反向跳跃即可使。上面的三步总步数为：2) 若为奇，为偶，由，再构造的线路：a) 跳步马，第一个分量正向，第二个分量反向，有：；b) 跳步马，第一个分量反向，第二个分量正向，有： ；c) 跳步马，对第一个分量正、反各跳步，第二个分量反向，有：；d) 跳步马，对第一个分量跳正、反各步，第二个分量跳正向有：与前面类似可适当变化步法，使。上述跳法总步数为：，由于，即互质，则为最小者。4分形几何与斐波那契数列的关系4.1分形几何与黄金分割的联系首先我们要介绍取格法（盒子维度）这种方法适用于各种复杂不规则的分形图形，但是一种近似的数值方法。其思想类似于有限元分析，将分形所在的平面分割成众多的小格子，令整个大平面维单位平面，为小格子边长，为，分形图案占据的小格子数。那么分形维度的计算公式为：随着的减小，即格点数选取的越多， 越接近于分形实际的分数维度。如果是一维线段，则显而易见随着格点数目的增加线段占据格点数于的比趋近于零，趋近于。如果图形占据了所有小格子，那么它自然占据了所有平面，是二维。一个分形结构自然不会占据平面内所有小格，随着格子取得越小，与的比会趋近某一个特定值。科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段连接上它的黄金分割线段排列，再连接，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为 乘上黄金分数，即。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。如下图，这种长边与短边比值是黄金数的矩形称为黄金矩形，是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正方形内的圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。 （图1）如图，黄金螺旋便是一个典型的一维分形，我们大致计算一下它的分形维度。用上节提到的取格法，将黄金矩形分成个小的黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格，因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得，因此有一定粗细的黄金螺旋分形维度为，很接近黄金数1.618。生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花和果实表面排列等等。4.2斐波那契数列与黄金分割我们通过斐波那契数列的通项公式可以得出以下关系： 。由内比公式改写一下，可以得到：，这样就有：。于是我们可推得斐波那契数列与黄金数之间的一些关系式。1 .； 及 又 故2 .由结论，有，当分别取奇、偶数时有：类似地有所以因为，故上式右边大于，从而同理3 .黄金数恒位于两相邻分数和之间，且更靠近后一个分数，即证明：只需注意到相邻的两个分数、总有一个处于分数列的奇数位，而另一个则处于偶数位，但位于它们之间。由结论可知，又，所以结论得证。4 .在所有分母小于或等于的分数中，以最接近于。 证明：用反证法设比更靠近，即因为又位于和之间所以，即又，故，而上式左边为一非负整数，所以即，而是既约分数（因为互质）所以有，与条件矛盾。定理得证。5结论通过本文对分形几何与斐波那契数列的初步了解，我们发现分形几何和斐波那契数列都与黄金分割有着紧密的联系：“黄金分割”本身就是一种分形，而这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果，目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡等等，都是黄金螺旋分形。而分形大多以黄金分割为原则这是自然界的重要现象；而通过对斐波那契数列的研究我们发现，斐波那契数列的大多数性质都与黄金分割有关，所以斐波那契数列与黄金分割相互联系、密不可分，有着完美的统一。致谢时光荏苒，岁月如梭，四年的大学生活转眼已接近尾声。在这宝贵的四年里，数理学院的各位领导、老师和同学给予了我无微不至的关怀、指导和帮助，使我在四年的大学生活中收获颇多，受益匪浅。在写作论文的这四个月中，我在我的指导老师彭建平老师的悉心指导下，在学院其他老师的热心帮助