反函数教学的研究性设计人教

反函数教学的研究性设计http:/www.DearEDU.com数学给人的印象是深奥莫测；数学发展到现在已是那么地完整严密；看来在数学学科内进行研究性学习是非常困难的但是；仔细找找；还是存有机会的例如；如何根据反函数的定义；根据反函数图象对称性的定理；考察有哪些函数；它们的反函数就是原来的函数；就是一个合适的课题 关于反函数图象对称性的定理是：“函数y f的图象与它的反函数yf1（x）的图象是以直线yx为对称轴的轴对称图形”这条定理直观性很强，高一学生比较容易掌握学习了这条定理后，便可以引导学生通过观察，进行研究 第一步提出问题 函数的图象与反函数的图象关于直线yx对称， 有没有这样的函数， 它的反函数的图象就是它的图象？ 第二步学生初探 学生会很容易想到图1和图2这两种图象然后要引导他门利用初中二次函数中学到过的平移法稍作变化；得到这两种图象的发展图3和图4 第三步学生再探 接着引导学生全面考虑问题，不要遗漏其它重要情形，如图5及其发展图6，还有yx本身 第四步寻找联系 有了这些图象，那么它们的解析式是什么呢？ 与第二、第四象限的角平分线yx平行的直线的解析式已经写出：yxb（bR） 位于第一、第三象限的反比例函数y（k0）；及其顶点在直线yx上移动后得到的解析式ya（k0）， 可整理为y（k0）位于第二、第四象限的反比例函数y（k0），及其对称中心在直线yx上移动后得到的解析式ya（k0）；可整理为y（k0）这些解析式，即（1） yx；（2）y x b，（3） （k0）， （4） （k0）之间有什么联系？能不能统一起来呢？（3）、（4） 两式可统一成y此式与（2） 式又可统一成y其中c0时y这个式子和yx能否进一步统一呢？看来是不行的所以到高一为止，我们就得到了两类函数；它们的函数就是它们本身；一类是 其中c0时成了yx+b 型直线，c 0时为关于直线yx对称的双曲线； 另一类是特例；即对称轴yx本身 第五步深入探索 能不能再深入一步呢？这时要考虑到函数的定义和反函数的定义：“在函数yf（x）中， 对应法则f使定义域内的每个x；有唯一确定的y与它对应”“对于函数yf（x），设它的定义域为D， 值域为A如果对于A中任意一个值y， 在D中只有唯一确定的x值与之对应， 使yf（x）， 这样得到的关于y的函数叫做yf（x）的反函数”主要的是要考虑到符合下面这种要求；如图7在新坐标系中，图象要关于第一、第三象限角平分线对称；也就是图象不但关于直线yx对称；还要在坐标系中；要么位于的第二、第四象限；要么位于它的第一象限或第三象限；（当然；同时还要符合函数的定义和反函数的定义）这样又可画出以下类型：（1）折线型：如图8和图9（2）圆型：如图10到图13（3）椭圆型：如图14和图15 至于它们的表达式；有的比较难写，如折线型，有的还没有学过；仅提供给少数学生进一步开展研究性学习 第六步检查成效 出示测试题：为什么函数y的图象上任意两点的连线不平行于x轴？ 设想通过这样的教学；加深学生对反函数知识的理解；拓宽学生考虑问题