广东省深圳市高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理

1 深圳市高级中学深圳市高级中学 20182018 20192019 学年第一学期期中测试学年第一学期期中测试 高二理科数学高二理科数学 本试卷由两部分组成 第一部分 高二数学第一学期前的基础知识和能力考查 共 47 分 选择题包含第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 7 题 第 11 题共 25 分 填空题包含第 14 题 第 15 题共 10 分 解答题包含第 19 题共 12 分 第二部分 高二数学第一学期的基础知识和能力考查 共 103 分 选择题包含第 1 题 第 2 题 第 6 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 12 题共 35 分 填空题包含第 13 题 第 16 题共 10 分 解答题包含第 17 题 第 18 题 第 20 题 第 21 题 第 22 题 共 58 分 全卷共 22 题 共计 150 分 考试时间为 120 分钟 注意事项 1 答第一卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动用橡皮擦 干净后 再涂其它答案 不能答在试题卷上 3 考试结束 监考人员将答题卡按座位号 页码顺序收回 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的一项 1 已知为实数 则 是 的 a b22 ab lnlnab a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也 不必要条件 2 若方程表示焦点在y轴上的椭圆 则实数k的取值范围为 22 2xky a b c d 0 0 2 1 0 1 3 已知向量 13 22 ba uu v 3 1 22 bc uu u v 则abc a 300 b 450 c 600 d 1200 2 4 已知实数 则的大小关系为 ln ln ln ln 2abc a b c a b c d abc acb bac cab 5 若变量满足约束条件 则的取值范围是 x y2 6 xy yx xy 2zxy a b c d 6 3 3 6 6 设直线与圆 22 1 2 4xy 相交于a b两点 且弦ab的长为10 xky 2 3 则实数k 的值是 a b c d 3 3 3 3 3 3 7 函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称 3sin 2 3 f xx 0 m m 则的m 最小值是 a b c 6 3 2 3 d 5 6 8 已知在平行六面体中 过顶点 a 的三条棱所在直线两两夹角均为 1111 abcdabc d 60 且三条棱长均为 1 则此平行六面体的对角线的长为 1 ac a b c 325 d 6 9 已知是双曲线的右焦点 若点关于双曲线的一条渐近线对f 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x f 称的点恰好 3 落在双曲线的左支上 则双曲线的离心率为 a b c d 235 6 10 已知直三棱柱中 底面边长和侧棱长都相等 则异面直线与所 111 abcabc 1 ab 1 bc 成的角的 余弦值为 a b c d 1 2 1 8 1 4 3 4 11 在中 角的对边分别为 且 则abc a b c a b c 1 cos 9 c coscos2abba 面积的最大值为abc a b c d 5 5 2 4 5 9 8 5 9 12 已知是椭圆的右焦点 点在椭圆上 f 22 22 1 0 xy cab ab pc 线段与圆相切于点 其中为椭圆的半焦距 pf 2 2 2 39 cb xy qc 且 则椭圆的离心率为2pqqf c a b c 5 3 5 2 1 3 d 1 2 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知三点 共线 那么 1 5 2 a 2 4 1 b 3 2 c ab ab 14 等差数列的公差为 若 成等比数列 则数列的前项 n a2 2 a 4 a 8 a n an n s 4 15 在中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知 则abc 85bc 2cb cosc 16 已知抛物线的焦点为 准线为 过点的直线交拋物线于两 2 20ypx p flf a b 点 过点作准线 的垂线 垂足为 当点坐标为时 为正三角形 alea 0 3 yaef 则此时的面积为oab 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知命题 方程表示焦点在轴上的椭圆 命题 方程p 22 1 21 xy mm yq 表示离心率的双曲线 若为真命题 为假命题 求实数 22 1 5 yx m 1 2 e pq pq 的取值范围 m 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 底面是边长为的菱形 pabcd abcd260abc papb 2pc 求证 平面平面 pab abcd 若 求二面角的余弦值 papb apcd 19 本小题满分 12 分 已知在 abc 中 内角 a b c 的对边分别为a b c 且 cos2cos2 cos acca bb p a d c b 5 求的值 若 求 abc 的面积 s sin sin c a 1 cos 4 b 2b 20 本小题满分 12 分 已知在平面直角坐标系xoy中 经过点 02 且斜率为k的直线l 与椭圆 2 2 1 2 x y 有两个不同的交点p和q 求k的取值范围 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为ab 是否存在常数k 使得向量 opoq 与ab 共线 如果存在 求k值 如果不存在 请说明理由 21 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面为菱形 平面 p abcdabcdpa abcd2 ab 分别是的中点 0 60abc ef bcpc 证明 aepd 设为线段上的动点 若线段长的hpdeh 最小值为 求二面角的余弦值 5 e af c 22 本小题满分 12 分 已知点是圆 上任意一点 点与圆心关于原点对称 线段cf 2 2 116xy ff 的中垂线与 交于点 cfcfp 求动点的轨迹方程 pe 设点 若直线轴且与曲线交于另一点 直线与直线交 4 0apqx eqaqpf 于点 b 证明 点恒在曲线上 并求面积的最大值 bepab a bc d p e f 6 深圳市高级中学 2018 2019 学年第一学期期中测试 高二理科数学 答案 一 选择题 题号 123456789101112 答案 bdaacdbdccba 二 填空题 13 1 14 15 16 1 nn 7 25 4 3 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知命题 方程表示焦点在轴上的椭圆 命题 方程p 22 1 21 xy mm yq 表示离心率的双曲线 若为真命题 为假命题 求实数 22 1 5 yx m 1 2 e pq pq 的取值范围 m 解 若命题为真命题 则 解得 p 10 20 12 m m mm 1 0 3 m 若命题为真命题 则 解得 q 0 5 14 5 m m 015m 若为真命题 为假命题 则和有且只有 1 个为真命题 pq pq pq 若为真命题 为假命题 则 无解 pq 1 0 3 015 m mm 或 若为假命题 为真命题 则 解得 pq 1 0 3 015 mm m 或1 15 3 m 综上所述 实数的取值范围为m 1 15 3 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 底面是边长为的菱形 pabcd abcd260abc p a d c b 7 papb 2pc 求证 平面平面 pab abcd 若 求二面角的余弦值 papb apcd 解 1 取中点 连接 aboaccopo 四边形是边长为的菱形 abcd22abbc 是等边三角形 60abc abc coab 3oc papb 1 1 2 poab 2pc 222 opocpc copo 平面 abpoo co pab 平面 平面平面 co abcdpab abcd 2 222222 11 2 opoapa poao 由 1 知 平面平面 平面 pab abcdpo abcd 直线两两垂直 以为原点建立空间直角坐标系 如图 oc ob opooxyz 则 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 3 2 0 0 0 1 oabcdp 0 1 1 3 0 1 0 2 0 appcdc 设平面的法向量为 apc x y z m 由 得 取 得 0 0 ap pc m m 0 30 yz xz 1x 1 3 3 m 设平面的法向量为 由 得 取 pcd x y z n 0 0 pc dc n n 30 20 xz y 1x 得 10 分 1 0 3 n 2 7 cos 7 m n m n mn 由图可知二面角为锐二面角 二面角的的余弦值为 apcd apcd 2 7 7 19 本小题满分 12 分 已知在 abc 中 内角 a b c 的对边分别为a b c 且 cos2cos2 cos acca bb oy x z b c d a p 8 求的值 若 求 abc 的面积 s sin sin c a 1 cos 4 b 2b 解 由正弦定理得 sin sinsin abc abc 则 cos2cos2sinsin cossin acca bb 整理得 又 sin 2sin abbc abcp 即 sin2sinca sin 2 sin c a 由余弦定理可知 222 1 cos 24 acb b ac 由 可知 sin 2 sin cc aa 再由 解得 2b 2 1ca 115 sin1 164 b 115 sin 24 sacb 20 本小题满分 12 分 已知在平面直角坐标系xoy中 经过点 02 且斜率为k的直线l 与椭圆 2 2 1 2 x y 有两个不同的交点p和q i 求k的取值范围 ii 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为ab 是否存在常数k 使得向量 opoq 与ab 共线 如果存在 求k值 如果不存在 请说明理由 解 由已知条件 直线l的方程为2ykx 代入椭圆方程 得 2 2 2 1 2 x kx 整理得 22 1 2 210 2 kxkx 9 直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于 222 1 84420 2 kkk 解得 2 2 k 或 2 2 k 即k的取值范围为 22 22 设 1122 p xyq xy 则 1212 opoqxxyy 由方程 12 2 4 2 12 k xx k 又 1212 2 2yyk xx 而 2 0 01 21 abab 所以opoq 与ab 共线等价于 1212 2 xxyy 将 代入上式 解得 2 2 k 由 知 2 2 k 或 2 2 k 故没有符合题意的常数k 21 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面为菱形 平面 p abcdabcdpa abcd2 ab 分别是的中点 0 60abc ef bcpc 1 证明 aepd 2 设为线段上的动点 若线段长的hpdeh 最小值为 求二面角的余弦值 5eafc 1 证明 底面为菱形 abcd 0 60abc 三角形 abc 为等边三角形 是 bc 的中点 e 即 aebc aead 平面 平面 pa abcdae abcd paae a bc d p e f 10 2 22 本小题满分 12 分 11 已知点是圆 上任意一点 点与圆心关于原点对称 线段cf 2 2 116xy ff 的中垂线与 交于点 cfcfp 1 求动点的轨迹方程 pe 2 设点 若直线轴且与曲线交于另一点 直线与直线交于 4 0apqx eqaqpf 点 b 证明 点恒在曲线上 并求面积的最大值 bepab 解 1 由题意得 点坐标为 因为为中垂线上的点 所以 f 1 0p cf pfpc 又 所以 4pcpf 4 2pfpfff 由椭圆的定义知动点的轨迹为椭圆 和为两个焦点 且 pf f24a 1c 所以动点的轨迹方程 pe 22 1 43 xy 2 证明 设点坐标为 则点的坐标为 且 p 0m nn q mn 22 3412mn 所以直线 即 qa 4 4 n yx m 440nxm yn 直线 即 pf 1 1 n yx m 10nxmyn 联立方程组 解得 则 440 10 nxm yn nxmyn 58 25 b m x m 3 25 b n y m 22 22 22 583 43 4 253 25 bb mnxy mm 22 2 25806436 4 25 mmn m 2 2 1680100 1 4 25 mm m 所以点恒在椭圆上 be 设直线 pf1xty 11 p x y