与圆有关的最值研究（一）.doc

西安高新逸翠园学校“3+1学习共同体”增殖教学研讨课教学设计教师穆银生班级九年级2班授课类型专题研究课题与圆有关的最值问题（一）版本2011年新课标版授课时间2017年2月28日课时安排1课时一、学情分析 学生通过九年级下册第三章圆的学习已经掌握了圆的一些基本概念和定理，如：垂径定理、圆的对称性、切线的性质、圆心角、圆周角等。但综合运用这些知识解决问题的能力还有待提高。最值问题是中考必考技能，学生在学完三角形、四边形等相关知识后已经掌握了一些利用对称，旋转、全等、相似等方法解决最值问题的方法技巧，但圆有其自身的特殊性，解决与圆有关的最值问题必然要利用圆的这些特殊性。通过本节学习希望能够达到这一目标。二、教材分析 本课是专题研究课，没有现成的教材，教师根据以往学生掌握的求最值的一些技能与方法，结合九年级下册第三章圆的相关知识，研究圆所具有的特殊性，并由这些特殊性，通过小练习探究，总结出一些几个与圆有关的线段最值。重点是综合应用这几个结论与以往知识解决一些隐藏较深的与圆有关的最值问题。三、教学目标知识与能力1、理解并掌握：圆内一点与圆上各点的连线中，线段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。2、理解并掌握：圆外一点与圆上各点的连线中，线段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。3、理解并掌握：直径是圆内最长的弦。4、运用以上结论，并结合圆的相关知识方法解决与圆有关的最值问题。过程与方法1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.情感态度价值观在合作讨论，探索交流中，发展从图中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法通过对实际问题的分析与解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。四、教学重难点教学重点掌握两种与圆有关的最值问题解题思路与分析方法。教学难点学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。五、思维品质培养目标与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点变化过程中，变量之间不变的关系与维系条件，分析变与不变的辩证关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！六、教学方法与手段采取变式教学、类比运用、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。七、教学过程设计教师活动预设学生行为探究一：通过以下两个小练习探究：练习1：如图1：点A是O内一点，且OA=2，圆的半径R=5，点M是圆上的一点，则线段AM的最大值为 ； 线段AM的最小值为 。 图1 图2练习2： 如图2：点A是O外一点，且OA=9，圆的半径R=5，点M是圆上的一点，则线段AM的最大值为 ； 线段AM的最小值为 。结论：圆内一点与圆上各点的连线中， 最长； 最短。圆外一点与圆上各点的连线中， 最长； 最短。变式应用：例1：RtABC中，ABC=30，AC=2cm，D是BC中点。ABC的外接圆上有一点E，则线段DE的最大值为 ；最小值为 。对应练习：ABC是等腰直角三角形，斜边BC=2，以AC为直径的圆上有一动点D（如右图）。则线段BD的最大值为 ；最小值为 。两个小练习学生很容易通过直观观察得到正确答案由小练习得到结论也不难，但如何证明结论需要认真思考。变式应用的例题与练习学生小组内互助完成。教师活动预设学生行为七、教学过程设计探究二：通过下面的练习3探究：练习3：如右图，点A是O内一点，且OA=1，圆的半径R=2，则：过点A的弦MN的最大值为 ；最小值为 。结论： 是圆内最长的弦。变式应用：例2：如图，O的半径为7cm，ABC内接于圆。其中A=30度，E、F分别是AB、AC边的中点。直线EF交O于G、H两点。当弦BC不动，点A在O上运动时，则GE+FH的最大值为 。对应练习：RtABC中，BAC=30，BC=4。圆O是ABC的外接圆，点E在优弧ABC上的动点，EDC也是直角三角形，且边ED过点A。求EDC的最大面积拓展应用：1、如图6，定长弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 图62、 如图7，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 图7探究小练习3的最大值学生很容易想到，只是最小值会有一定的难度。教师需要在学生讨论时给予相应的指导与鼓励，并使学生能理解并接受。为什么MN与OA垂直时MN最短。例2有两个要点：1、 如何由圆的半径和圆周角30度，算出弦BC的长。2、 要使GE+FH最大，则HG要最大。为什么？对应练习的难点在于分析出点E在圆上运动时，角D的度数总等于30度。这就意味着，CD的长度与CE的长度比为。学生只要经过探索找到这一关系，再结合直径是圆中最长的弦就可以得到正确的解题图径。两道拓展应用题相对前面的题来说难度增大。1、 要结合的知识点更多。2、 方法更灵活多变。3、 学生不容易把辅助线，知识点有机的联系起来。4、 方法的迁移对学生来说不很大难度。这两道拓展应用题不要求所有学生都掌握。建议学生课后积极思考，交流思考方法，最终找到解决问题的途径。八、作业设计1如图1，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 2如图2，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4），则当x= 时，PDCD的值最大，且最大值是为 . （图1） （图2） （图3） 3如图3，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边ACD和等边BCE，O外接于CDE，则O半径的最小值为( ). A.4 B. C. D. 2九、板书设计专题研究；与圆有关的最值问题（一）探险究一结论：圆内一点与圆上各点的连线中，线段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。圆外一点与圆上各点的连线中，线段过圆心时最长；线段延长线过圆心时最短。探险究二结论：直径是圆中最长的弦。例题分析与对应练习： 例1：