2020届广州市荔湾区高三调研测试（二）数学（文）试题（解析版）VIP

2020届广东省广州市荔湾区高三调研测试（二）数学（文）试题一、单选题1已知复数z(其中i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数a等于（ ）A1BC1D【答案】B【解析】根据复数的除法，求出的实部和虚部，由纯虚数的定义，得出关于的方程，即可求解.【详解】，z为纯虚数，解得.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查纯虚数的定义，属于基础题.2设集合A=x|x24x+30，B=x|x29|b|，则a2b2；命题q:xR，都有x2+x+10.下列命题为真命题的是（ ）ApqBpqCpqDpq【答案】A【解析】由不等式的性质可判断命题为真，配方求出最小值，可判断命题为真，根据复合命题的真假关系，可得出结论.【详解】命题：，平方可得，故为真命题；命题：，恒成立，故为真命题.故选:A.【点睛】本题考查复合命题的真假，关键要判断简单命题的真假，属于基础题.4已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )ABCD【答案】A【解析】由等差数列an的公差为成等比数列，列出方程求出a11，由此能求出an的前n项和Sn【详解】等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11，an的前n项和Snn+n2nn22nn（n2）故选：A【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5已知ABC为直角三角形，点D为斜边BC的中点，|，|=1，则等于（ ）AB1CD0【答案】D【解析】|，|=1，,以为基底，将用表示，D为斜边BC的中点，按照向量的数量积运算，即可求解.【详解】，D为斜边BC的中点， .故选:D.【点睛】本题考查向量基本定理，将所求的向量转为基底表示是解题的关键，考查向量的数量积运算，属于基础题.6已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=log2x3x.则f(4)=（ ）A10B10C14D14【答案】A【解析】由已知求出，根据奇函数的对称性，即可求出.【详解】x0时，f(x)是定义在R上的奇函数，.故选:A.【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题.7某人第一年月资为7000元，各种用途占比统计如图的条形图，第二年，他加强了体育锻炼，月工资的各种用途占比统计如图的折线图，已知第二年的月就医费比第一年月就医费少100元，则他第二年的月工资为（ ）A7000元B8500元C9500元D10500元【答案】C【解析】根据条形图求出第一年月就医费用，由已知求出第二年的月就医费用，进而求出第二年的月工资.【详解】由条形图求出第一年月就医费用，依题意第二年月就医费用为，占月工资的，月工资为.故选:C.【点睛】本题考查条形图和折线图的识别，属于基础题.8函数（）的图像不可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】由于函数的解析式中含有参数，因此可考虑对直接进行取值，然后再判断的大致图象即可.【详解】直接利用排除法： 当时，选项B成立；当时，函数的图象类似D；当时，函数的图象类似C；故选A【点睛】本题主要考查函数图象的辨析，难度较易.9函数f(x)=2x+cosx在点(，f()处的切线方程为（ ）A3xy0Bxy0C3xy0Dxy0【答案】B【解析】求，求出切线的斜率，由直线的点斜式方程，求出切线方程.【详解】，在点(，f()处的切线方程为，即为.故选:B.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.10若x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值是（ ）A6B4C2D1【答案】D【解析】做出可行域，根据图像即可求出结论.【详解】做出可行域，如下图所示：联立，解得，由图像可得，当目标函数过点时，取得最小值为1.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.11已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】直线的斜率为，计算，利用余弦定理得到，化简知，得到答案【详解】由题意知直线的斜率为，又，由双曲线定义知，.由余弦定理：，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 .12三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1底面ABC，若球O与三棱柱ABCA1B1C1各侧面底面均相切，则侧棱AA1的长为（ ）A1BC2D2【答案】C【解析】球与上下底面相切，侧棱长为球的直径，球O与三棱柱ABCA1B1C1各侧面，球的半径为底面三角形内切圆的半径，即可求解。【详解】三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1底面ABC，球O与三棱柱ABCA1B1C1各侧面，所以球半径为正内切圆的半径为，球与上下底面相切，侧棱长为球的直径为2.故选:C.【点睛】本题考查多面体与球的接、切问题，要注意数形结合借助棱柱和球的几何特征求解，属于基础题.二、填空题13数列an中，满足2an+1an=0，且a2；则a4=_.【答案】【解析】由已知可得为公比为的等比数列，再由，即可求解.【详解】，且a2，为公比为的等比数列，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的判断，以及等比数列基本量的运算，属于基础题.14执行如图的程序框图，若输出的y值等于输入的x值，则这样的x的值是_.【答案】【解析】根据条件结构语句可得出，关于的函数为，分类讨论求出的解，即可求出结论.【详解】当时，由，解得，当时，由，方程无实根， 故满足条件的.故答案为:.【点睛】本题考查程序框图输入值和输出值，读懂程序功能是解题的关键，属于基础题.15已知点A(5，0)，过抛物线y2=8x上一点P作直线x=2的垂线，垂足为B.若|PB|=|PA|，则P的横坐标为_.【答案】【解析】直线x=2抛物线的准线，抛物线的焦点，由条件和抛物线的定义可得，可得出的横坐标为线段中点的横坐标，即可求出结论.【详解】直线x=2是抛物线的准线，抛物线的焦点，依题意可得，过作轴的垂线，垂足为的中点，所以P的横坐标为.故答案为;.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键点判断出已知的直线为抛物线的准线，属于基础题.16已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将ADM沿DM折起，得到四棱锥A1DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题:BN平面A1DM；三棱锥NDMC的最大体积为；在翻折过程中，存在某个位置，使得DMA1C.其中正确命题的序号为_.【答案】【解析】分别延长DM，CB交于H，连接A1H，可证B为CH的中点，因此有BNA1H，可得为正确；要使三棱锥NDMC的体积最大，只需N到平面DMBC的距离最大，当平面A1DM平面DMBC时满足，可求得此时体积为，正确；DM=CM=2，CD=4，可得DMMC，若DMA1C，可证DMA1M，与已知DM为斜边矛盾，错误.【详解】对于，分别延长DM，CB交于H，连接A1H，如图所示;由已知得，可得B为CH的中点，可得BN为A1CH的中位线，可得BNA1H， BN平面A1DM，A1H平面A1DM，可得BN平面A1DM正确；对于，当平面A1DM平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，且为，此时N到平面DMBC的距离最大，且为，DMC的面积为24=4，可得三棱锥NDMC的最大体积为4，正确；对于，若DMA1C，又DM=CM=2，CD=4，可得DMMC，则DM平面A1CM，即有DMA1M，这与DM为斜边矛盾，错误；综上，以上正确命题的序号为.故答案为:.【点睛】本题以图形翻折为背景，考查空间平行、垂直的判定和体积的最值，要注意翻折前后不变量合理地运用，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17某高中三年级有AB两个班，各有50名同学，这两个班参加能力测试，成绩统计结果如表：AB班成绩的频数分布表分组50，60)60，70)70，80)80，90)90，100A班频数482396B班频数71213108（1）试估计AB两个班的平均分；（2）统计学中常用M值作为衡量总体水平的一种指标，已知M与分数t的关系式为：M.分别求这两个班学生成绩的M总值，并据此对这两个班的总体水平作简单评价.【答案】(1)A=76，B=75 (2)见解析【解析】（1）取每组区间的中值作为该组的成绩，求出成绩总和，即可得出结论；（2）分别统计出两个班在50，60)，60，80) ，80，100的人数，结合与分数的关系，即可求解.【详解】(1)估计A班平均分为：(455+865+2375+985+695)=76， B班平均分为：(755+1265+1375+1085+895)=75.(2)A班学生成绩的M总值为： MA=24+2(8+23)+4(9+6)=114， B班学生成绩的M总值为： MB=27+2(12+13)+4(10+8)=108，MAMB，A班总体水平好于B班.【点睛】本题考查由频率分布表求平均数，理解分段函数的意义，考查计算能力，属于基础题.18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos6.（1）求ABC的面积；（2）若c=2，求sinB的值.【答案】(1) 4 (2)【解析】（1）由，利用二倍角公式求出，进而求出，求出，由三角形的面积公式，即可求解；（2）由（1）得bc=10，已知c=2，得到b=5，根据余弦定理可求出，再由正弦定理，即可求出.【详解】(1)，.(2)由(1)知，bc=10，且c=2，b=5，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA=25+412=17，在ABC中，由正弦定理得：，解得.【点睛】本题考查利用二倍角公式、向量的数量积求三角形面积，考查正弦定理、余项定理解三角形，属于基础题.19如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B是菱形，侧面AA1C1C是矩形，平面AA1C1C平面AA1B1B，BAA1，AA1=2AC=2，O为AA1的中点.（1）求证:OCBC1；（2）求点C1到平面ABC的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】（1）连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，可得 ，可证 ，侧面AA1B1B是菱形，有，结合平面AA1C1C平面AA1B1B，可证平面AA1C1C，可得，进而有平面，即可证明结论；（2），可证平面，点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，由（1）平面AA1C1C，求出的面积，用等体积法，即可求解.【详解】(1)证明：连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，因为侧面AA1B1B是菱形，所以为等边三角形，O为AA1的中点，所以，平面AA1C1C平面AA1B1B，平面AA1C1C平面AA1B1B平面AA1B1B，所以平面AA1C1C，同理可证平面AA1B1B，平面AA1C1C，所以， 平面，所以平面，因为平面，所以；（2）因为侧面AA1C1C是矩形，所以，平面，平面，所以平面，点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，设C1到平面ABC的距离为，由（1）得平面AA1C1C，平面AA1B1B，所以， ，所以点C1到平面ABC的距离为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间垂直之间的转换是解题的关键，考查等体积法求点到面的距离，属于中档题.20已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆C上一点，且AF2F1F2，且|AF2|.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线 l1，l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k0)与l1，l2交于M，N两点，试探究是否为定值，并说明理由.【答案】(1) (2)是，理由见解析【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知可得点的横坐标为，将代入椭圆可得，可得，再由离心率，结合，求出，即可求解；（2）由（1）得l1:x=2，l2:x=2，直线l方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，求出关系，求出直线l1，l2与直线l的交点坐标，求出，即可求出结论.【详解】(1) 设椭圆的焦距为，根据题意， A为椭圆C上一点，且AF2F1F2，点的横坐标为，将代入椭圆可得，且|AF2|，所以解得a=2，b，椭圆的方程为：；(2)由题设知l1:x=2，l2:x=2，直线l:y=kx+m，联立，消去y，得，故， l与11，l2联立得M(2，2k+m)，N(2，2k+m)，又F2(1，0)，所以(3，2km)(1，2km)=3(2km)(2k+m)=34k2+m2=0，故为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及定值问题，考查计算能力，属于中档题.21设函数f(x)(mR).（1）当m=1时，求函数的单调区间；（2）若函数F(x)=f(x)+xm+2有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】(1) 递增区间为(0，e)，递减区间为(e，+) (2) (，2e).【解析】（1）时，求出，求出的解，即可得出结论；（2）求出整理，有两个零点，转化为函数 有两个零点，求，求出极值点，分析函数值的变化趋势，只需g(x)的极小值g()0方程有两个零点，解不等式g()0，f(x)，令f(x)=0，得1lnx=0，x=e，随的变化变化如下表：x(0，e)e(e，+)f(x)+0f(x)递增极大值递减函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，+)；(2)F(x)xm+2，定义域为(0，+)，F(x)xm+2，设g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x，函数F(x)=f(x)+xm+2有两个零点，函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，g(x)，令g(x)=0得，x，函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，函数g(x)在(0，+)上不单调，0，m0，随的变化变化如下表：x(0，)(，+)g(x)0+g(x)递减极小值递增函数g(x)的极小值为g()，当x0时，g(x)+；当x+时，g(x)+，若函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，则函数g(x)的极小值g()0，即4mln()+4m24m4m0，mln()m0，又m1，e，m2e，实数m的取值范围为：(，2e).【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调区间、极值点、零点，解题的关键要合理构造函数，考查等价转化思想，属于中档题.22已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两直线l1，l2相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点(不同于点O)，且l1的倾斜角为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l2的直角坐标方程；（2）求OAB的面积.【答案】(1) C的极坐标方程cos2=2sin，l2的直