高三数学高考应考宝典三：课本回扣篇解析几何课件.ppt

1 直线的倾斜角 1 定义 2 倾斜角的范围 0 如 直线的倾斜角的范围是 过点p 1 q 0 m 的直线的倾斜角的范围 那么m值的范围是 2 直线的斜率 1 定义 倾斜角不是90 的直线 它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k 即k tan 90 倾斜角为90 的直线没有斜率 第8讲解析几何 2 斜率公式 经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 的直线的斜率为 3 直线的方向向量a 1 k 4 应用 证明三点共线 kab kbc 如 两条直线斜率相等是这两条直线平行的条件 实数x y满足3x 2y 5 0 1 x 3 则的最大值 最小值分别为 3 直线的方程 1 点斜式 已知直线过点 x0 y0 其斜率为k 则直线方程为y y0 k x x0 它不包括垂直于x轴的直线 2 斜截式 已知直线在y轴上的截距为b 斜率为k 则直线方程为y kx b 它不包括垂直于x轴的直线 既不充分也不必要 3 两点式 已知直线经过p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点 则直线方程为 它不包括垂直于坐标轴的直线 4 截距式 已知直线在x轴和y轴上的截距为a b 则直线方程为 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 5 一般式 任何直线均可写成ax by c 0 a b不同时为0 的形式 如 经过 2 1 且方向向量为的直线的点斜式方程是 直线 m 2 x 2m 1 y 3m 4 0 不管m怎样变化恒过点 若曲线y a x 与y x a a 0 有两个公共点 则a的取值范围是 1 2 a 1 注意 1 直线方程的各种形式都有局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 还有截距式呢 2 直线在坐标轴上的截距可正 可负 也可为0 直线两截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点 例如过点a 1 4 且纵横截距的绝对值相等的直线共有3条 4 点到直线的距离及两平行直线间的距离 1 点p x0 y0 到直线ax by c 0的距离为 2 两平行线l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0间的距离为5 直线l1 a1x b1y c1 0与直线l2 a2x b2y c2 0的位置关系 1 平行 a1b2 a2b1 0 斜率 且b1c2 b2c1 0 在y轴上截距 2 相交 a1b2 a2b1 0 3 重合 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 注意 1 仅是两直线平行 相交 重合的充分不必要条件 2 在解析几何中 研究两条直线的位置关系时 有可能这两条直线重合 而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线 3 直线l1 a1x b1y c1 0与直线l2 a2x b2y c2 0垂直 a1a2 b1b2 0 如 设直线l1 x my 6 0和l2 m 2 x 3y 2m 0 当m 时 l1 l2 当m 时l1 l2 当时l1与l2相交 当m 时l1与l2重合 1 3 已知直线l的方程为3x 4y 12 0 则与l平行 且过点 1 3 的直线方程是 两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限 则实数a的取值范围是 6 对称 中心对称和轴对称 问题 代入法 如 1 已知点m a b 与点n关于x轴对称 点p与点n关于y轴对称 点q与点p关于直线x y 0对称 则点q的坐标为 2 点a 4 5 关于直线l的对称点为b 2 7 则l的方程是 3 已知一束光线通过点a 3 5 经直线l 3x 4y 4 0反射 如果反射光线通过点b 2 15 则反射光线所在直线的方程是 3x 4y 9 0 1 a 2 18x y 51 0 y 3x 3 b a 7 圆的方程 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 2 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 只有当d2 e2 4f 0时 方程x2 y2 dx ey f 0才表示圆心为 半径为的圆 二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是什么 a c 0 且b 0且d2 e2 4af 0 如 圆c与圆 x 1 2 y2 1关于直线y x对称 则圆c的方程为 圆心在直线2x y 3上 且与两坐标均相切的圆的标准方程是 x 3 3 y 3 2 9或 x 1 2 y 1 2 1 x2 y 1 2 1 8 点与圆的位置关系 已知点m x0 y0 及圆c x a 2 y b 2 r2 r 0 1 点m在圆c外 cm r x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点m在圆c内 cm 0 有相交 相离 相切 可从代数和几何两个方面来判断 1 代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 0 相交 r 相离 d r 相切 如 圆2x2 2y2 1与直线xsin y 1 0的位置关系为 若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点p 1 2 则ab的值 直线x 2y 0被曲线x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 相离 2 10 圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为o1 o2 半径分别为r1 r2 则 1 当 o1o2 r1 r2时 两圆外离 2 当 o1o2 r1 r2时 两圆外切 3 当r1 r2 o1o2 r1 r2时 两圆相交 4 当 o1o2 r1 r2 时 两圆内切 5 当0 o1o2 r1 r2 时 两圆内含 如双曲线的左焦点为f1 顶点为a1 a2 p是双曲线右支上任意一点 则分别以线段pf1 a1a2为直径的两圆位置关系为 内切 11 圆的切线与弦长 1 切线 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 圆的切线方程是 xx0 yy0 r2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 圆的切线方程是 x0 a y b y0 b r2 从圆外一点引圆的切线一定有两条 可先设切线方程 再根据相切的条件 运用几何方法来求 过两切点的直线 即 切点弦 方程的求法 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆 该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程 切线长 过圆x2 y2 dx ey f 0 x a 2 y b 2 r2 外一点p x0 y0 所引圆的切线的长为 如设a为圆 x 1 2 y2 1上动点 pa是圆的切线 且 pa 1 则p点的轨迹方程是 2 弦长问题 圆的弦长的计算 常用弦心距d 弦长一半及圆的半径r所构成的直角三角形来解 过两圆c1 f x y 0 c2 g x y 0交点的圆 公共弦 系为f x y g x y 0 当 1时 方程f x y g x y 0为两圆公共弦所在直线方程 12 椭圆及其性质 1 定义 mf1 mf2 2a 2a 2c f1f2 2 标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上 3 性质 范围 顶点 对称性 离心率 如已知定点f1 3 0 f2 3 0 在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭圆的是 a pf1 pf2 4b pf1 pf2 6c pf1 pf2 10d pf1 2 pf2 2 12 c 13 双曲线及其性质 1 定义 mf1 mf2 2a 2a 2c f1f2 2 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 3 性质 范围 顶点 对称性 离心率 渐近线 4 与双曲线具有共同渐近线的双曲线系为如方程表示的曲线是 双曲线的左支 14 抛物线及其性质 1 定义 mf d 2 标准方程 3 性质 范围 顶点 对称性 离心率 如设a 0 a r 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 15 直线与圆锥曲线 1 直线与圆锥曲线的位置关系可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断 设直线l的方程为ax by c 0 圆锥曲线方程为f x y 0 由消元如消去y后得ax2 bx c 0 若a 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线l与双曲线的渐近线平行或重合 当圆锥曲线是抛物线时 直线l与抛物线的对称轴平行 或重合 若a 0 设 b2 4ac 0时 直线和圆锥曲线相交于不同两点 0时 直线和圆锥曲线相切于一点 0时 直线和圆锥曲线没有公共点 2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 则所得弦长 如 过点 2 4 作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点 这样的直线有条 过点 0 2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于a b两点 若 ab 4 则满足条件的直线l有条 对于抛物线c y2 4x 我们称满足的点m x0 y0 在抛物线的内部 若点m x0 y0 在抛物线的内部 则直线l y0y 2 x x0 与抛物线c的位置关系是 过抛物线y2 4x的焦点f作一直线交抛物线于p q两点 若线段pf与fq的长分别是p q 则 3 2 相离 1 1 2009 陕西理 4 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 a b 2c d 解析过原点且倾斜角为60 的直线方程为 圆x2 y 2 2 4的圆心 0 2 到直线的距离为 d 2 若rt abc的三个顶点都在给定的抛物线y2 2px p 0 上 斜边ab平行于y轴 则ab边上的高 cd 的值为 a b c d 解析依题意 由抛物线y2 2px 可设不妨设a 0 且由点c是直角三角形的顶点知 c a 则于是 c 3 2009 重庆理 1 直线y x 1与圆x2 y2 1的位置关系是 a 相切b 相交但直线不过圆心c 直线过圆心d 相离解析圆心到直线的距离 d r且d 0 直线与圆相交但不过圆心 b 4 设椭圆c1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 a b c d 解析由题意知2a 26 a 13 e c 5 c2为双曲线 2a 8 a 4 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同 故c 5 b 3 故其方程为 a 5 双曲线的方程为 是 双曲线的准线方程为 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析当双曲线方程为时 该双曲线方程的准线方程为 而反之不成立 例如双曲线的准线方程为 a 6 2009 上海理 9 已知f1 f2是椭圆c 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 解析由题意 得 3 7 如图所示 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一定点 a b是圆上的两个动点 且满足 apb 90 则ab的中点r的轨迹方程是 解析设ab的中点r的坐标为 x y 则在rt abp中 ar pr 又点r是弦ab的中点 在rt aro中 ar 2 ao 2 or 2 36 x2 y2 又 ar pr x 4 2 y2 36 x2 y2 即x2 y2 4x 10 0 8 2009 宁夏 13 已知抛物线c的顶点在坐标原点 焦点为f 1 0 直线l与抛物线c相交于a b两点 若ab的中点为 2 2 则直线l的方程为 解析因为抛物线顶点在原点 焦点f 1 0 故抛物线方程为y2 4x 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 则 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 直线ab的方程为y 2 x 2 即y x 9 已知m r 直线l mx m2 1 y 4m和圆c x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线l斜率的取值范围 2 直线l能否将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧 为什么 解 1 直线l的方程可化为直线l的斜率当且仅当 m 1时等号成立 所以斜率k的取值范围是 2 不能 由 1 知l的方程为y k x 4 其中圆c的圆心为c 4 2 半径r 2 圆心c到直线l的距离从而 若l与圆c相交 则圆c截直线l所得的弦所对的圆心角小于 所以l不能将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧 10 在平面直角坐标系xoy中 已知圆心在第二象限 半径为2的圆c与直线y x相切于坐标原点o 椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 1 求圆c的方程 2 试探究圆c上是否存在异于原点的点q 使q到椭圆右焦点f的距离等于线段of的长 若存在 请求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 因椭圆与圆c的一个交点到椭圆的两