高三数学高考应考宝典三：课本回扣篇数列课件.ppt

第4讲数列1 数列的概念 数列是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应函数的解析式 如 1 已知 n n 则数列 an 的最大项为 2 数列 an 的通项为 其中a b均为正数 则an与an 1的大小关系为 3 已知数列 an 中 an n2 n 且 an 是递增数列 则实数的取值范围是 an an 1 3 2 等差数列的有关概念 1 等差数列的判断方法 定义法an 1 an d d为常数 或an 1 an an an 1 n 2 2 等差数列的通项 an a1 n 1 d或an am n m d 如 等差数列 an 中 a10 30 a20 50 则通项an 首项为 24的等差数列 从第10项起开始为正数 则公差d的取值范围是 3 等差数列的前n项和 如 数列 an 中 n 2 n n 2n 10 前n项和则a1 n 已知数列 an 的前n项和sn 12n n2 求数列 an 的前n项和tn 4 等差中项 若a a b成等差数列 则a叫做a与b的等差中项 且3 等差数列的性质 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是关于n的一次函数 且斜率为公差d 前n项和是关于n的二次函数且常数项为0 3 10 2 若公差d 0 则为递增等差数列 若公差d0 且a11 a10 sn是其前n项和 则下列说法正确的是 a s1 s2 s10都小于0 s11 s12 都大于0b s1 s2 s19都小于0 s20 s21 都大于0c s1 s2 s5都小于0 s6 s7 都大于0d s1 s2 s20都小于0 s21 s22 都大于0 27 b 4 等比数列的有关概念 1 等比数列的判断方法 定义法 q为常数 其中q 0 an 0或 n 2 如一个等比数列 an 共有2n 1项 奇数项之积为100 偶数项之积为120 则an 1为 2 等比数列的通项 an a1qn 1或an amqn m 如设等比数列 an 中 a1 an 66 a2an 1 128 前n项和sn 126 则n 公比q 3 等比数列的前n项和 当q 1时 sn na1 当q 1时 如等比数列中 q 2 s99 77 则a3 a6 a99 6 44 由于等比数列前n项和公式有两种形式 为此在求等比数列前n项和时 首先要判断公比q是否为1 再由q的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比q是否为1时 要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解 4 等比中项 若a a b成等比数列 那么a叫做a与b的等比中项 值得注意的是 不是任何两数都有等比中项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个 如已知两个正数a b a b 的等差中项为a 等比中项为b 则a与b的大小关系为 a b 5 等比数列的性质 1 当m n p q时 则有am an ap aq 特别地 当m n 2p时 则有am an 如 在等比数列 an 中 a3 a8 124 a4a7 512 公比q是整数 则a10 各项均为正数的等比数列 an 中 若a5 a6 9 则log3a1 log3a2 log3a10 2 若 an 是等比数列 则 an kan 成等比数列 若 an bn 成等比数列 则 anbn 成等比数列 若 an 是等比数列 且公比q 1 则数列sn s2n sn s3n s2n 也是等比数列 当q 1且n为偶数时 数列sn s2n sn s3n ap nq p q n 512 10 s2n 是常数数列0 它不是等比数列 如 已知a 0且a 1 设数列 xn 满足 n n 且x1 x2 x100 100 则x101 x102 x200 在等比数列 an 中 sn为其前n项和 若s30 13s10 s10 s30 140 则s20的值为 6 数列的通项的求法 1 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 如已知数列试写出其一个通项公式 logaxn 1 1 logaxn 100a100 40 2 已知sn 即a1 a2 an f n 求an 用作差法 an 如 已知 an 的前n项和满足log2 sn 1 n 1 则an 数列 an 满足则an 3 已知a1 a2 an f n 求an 用作商法 的n 2都有a1a2a3 an n2 则a3 a5 s1 n 1 sn sn 1 n 2 an 如数列 an 中 a1 1 对所 4 若an 1 an f n 求an 用累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 2 如已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2 则an 5 已知求an 用累乘法 a1 n 2 如已知数列 an 中 a1 2 前n项和sn 若sn n2an 则an 6 已知递推关系求an 用构造法 构造等差 等比数列 形如an kan 1 b an kan 1 bn k b为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后 再求an 如 已知a1 1 an 3an 1 2 则an 已知a1 1 an 3an 1 2n 则an 形如的递推数列都可以用倒数法求通项 如 已知a1 1 则an 2 3n 1 1 5 3n 1 2n 1 7 数列求和的常用方法 1 公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别提示 运用等比数列求和公式 务必检查其公比与1的关系 必要时需分类讨论 常用公式 1 2 3 n n 1 12 22 2n 1 13 23 33 n3 如等比数列 an 的前n项和sn 2n 1 则 n2 n 1 2 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式 中 同类项 先合并在一起 再运用公式法求和 如求 1 3 5 7 1 n 2n 1 3 倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联 则常可考虑选用倒序相加法 发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前n项和公式的推导方法 如已知则f 1 f 2 f 3 f 4 1 n n 4 错位相减法 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成 那么常选用错位相减法 这也是等比数列前n和公式的推导方法 如设 an 为等比数列 tn na1 n 1 a2 2an 1 an 已知t1 1 t2 4 求数列 an 的首项和公比 求数列 tn 的通项公式 5 裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关联 那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有 如求和 1 2009 安徽文 5 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则a20等于 a 1b 1c 3d 7解析由已知得a1 a3 a5 3a3 105 a2 a4 a6 3a4 99 a3 35 a4 33 d 2 a20 a3 17d 35 2 17 1 b 2 设等差数列 an 的公差d不为0 a1 9d 若ak是a1与a2k的等比中项 则k等于 a 2b 4c 6d 8解析由题意得 a1 a2k即 9d k 1 d 2 9d 9d 2k 1 d 得k 4 b 3 2009 陕西文 12 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 则x1 x2 xn等于 a b c d 1解析y n 1 xn 曲线在点 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 令y 0 得则x1 x2 b 4 2008 广东理 2 记等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 20 则s6等于 a 16b 24c 36d 48解析 s4 2 6d 20 d 3 故s6 3 15d 48 d 5 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln则an等于 a 2 lnnb 2 n 1 lnnc 2 nlnnd 1 n lnn解析 an 1 an ln an 1 an ln ln ln n 1 lnn 又a1 2 an a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 2 ln2 ln1 ln3 ln2 ln4 ln3 lnn ln n 1 2 lnn ln1 2 lnn a 6 2009 浙江理 11 设等比数列 an 的公比前n项和为sn 则 解析 15 7 对正整数n 设抛物线y2 2 2n 1 x 过p 2n 0 任作直线l交抛物线于an bn两点 则数列的前2009项和是 解析设直线方程为x ty 2n 代入抛物线方程得y2 2 2n 1 ty 4n 2n 1 0 设anyn2 则 yn1 yn2 4n2 用根与系数的关系代入得 4n 2n 1 t2 1 4n 2n 1 t2 4n2 4n2 4n 故故数列的前n项和是故其前2009项的和是 xn1 yn1 bn xn2 xn1xn2 yn1yn2 t2 1 yn1yn2 2nt 8 已知集合将a b的元素按照从小到大的顺序排列成一个数列 an 则a3 数列 an 的通项公式为 解析由3p 4k 1得取p 2 4 6 得a1 9 a2 81 a3 729 归纳猜想得当p 2n n n 时k为正整数 所以an 32n 9n a x x 3n n n b x x 4n 1 n n 729 an 9n 9 已知数列 an 对任意的p q n 满足ap q ap aq且a2 6 那么a10 解析由ap q ap aq a2 6 得a4 a2 a2 12 同理a8 a4 a4 24 所以a10 a8 a2 24 6 30 30 10 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1 a2 2 an 0 bn n n 且 bn 是以q为公比的等比数列 1 证明 an 2 anq2 2 若cn a2n 1 2a2n 证明数列 cn 是等比数列