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空间几何知识点总结(加例题) 空间几何知识点总结2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.4.空间线面的位置关系共面平行没有公共点 (1)直线与直线相交有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行没有公共点(直线在平面外)相交有且只有一公共点 (3)平面与平面相交有一条公共直线(无数个公共点)平行没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行的判定 (1)两直线平行的判定定义在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a,a=b,则ab.平行于同一直线的两直线平行，即若ab,bc,则ac.垂直于同一平面的两直线平行，即若a，b，则ab两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若,=b,则ab如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则ab. (3)直线与平面平行的判定定义若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a?,b?，ab,则a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若,l?，则l.如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l?，则l.在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A?，B?，A、B在同侧，且A、B到等距，则AB.两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a?，a?，a，则.如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a,b?，ba，则b.如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若ab,a,b(或b?) (5)两平面平行的判定定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点?.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b?，ab=P,a,b,则.垂直于同一直线的两平面平行.即若a,a,则.平行于同一平面的两平面平行.即若,则.一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b?,c,d?,ab=P,ac,bd,则.7.直线在平面内的判定 (1)利用公理1一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若,A，AB，则AB?. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若Aa,ab，A,b，则a?. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P?，P，Pa,a，则a?. (5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a,A，Ab,ba,则b?.8.存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个； (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个； (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.12.二面角及二面角的平面角13.空间的各种距离14.直线和平面的距离15.平行平面的距离16.异面直线的距离空间向量与立体几何(B)班级姓名学号成绩 一、选择题:本大题共有8小题,每小题5分,共40分题号12345678答案1已知a=(2,1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是(A)65.(B)265.(C)4.(D)8.2.已知a a=(3，2，3)，b b=（1，x1，1），且a a与b b的夹角为钝角，则x的取值范围是A（2，+）B（2，53）（53，+）C（，-2）D（53，+）3.下列各组向量中,向量a,b,c共面的一组是(A)a=(4,2,1),b=(1,2,2),c=(1,1;5).(B)a=(1,2,3),b=(2,4,6),c=(1,0;5).(C)a=(0,0,1),b=(1,0,0),c=(0,1;0).(D)a=(2,3,1),b=(3,2,2),c=(1,0;2).4.已知1F=i+2j+3k，2F=2i+3jk，3F=3i4j+5k，若1F，2F，3F共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1,2,1)移到点M2(3,1,2)，则合力所作的功为（A）10（B）12（C）14（D）165.已知AB=(1,5,2)，BC=(3,1,z)，若ABBC，BP=(x1,y,3)且BP平面ABC，则BP=（A）(407,157,4)（B）(407,157,3)（C）(337,157,4)（D）(337,157,3)6已知)32,2,2(?b a?，)0,2,0(?b a?，则?b a?,cos等于(A)36(B)66(C)31(D)617.设空间两个不同的单位向量a a=(m，n，0)，b b=（p，q，0）与向量（1，1，1）的夹角都为450,则mnp q?的值为A2B3C1D 18、已知A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点，且13ACAB?，则点C的坐标为A715(,)222?B.8(,3,2)3?C107(,1,)33?D573(,)222? 二、填空题9.已知空间三点(1,1,1),(1,0,4),(2,2,3),A B C?则向量AB与CA的夹角?的大小是10同时垂直向量(2,2,1),(4,5,3)a b?的单位向量是11已知向量(1,1,1),(2,)a t t btt?，则b a?的最小值为12.已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BDxAB yACzAS?，则xyz13空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，用基底?OA，?OB，?OC表示向量?OG.14.若A(3cos,3sin,1)，B(2cos,2sin,1)，则|AB|的取值范围是。 三、解答题15.在棱长为1的正方体中ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD 1、BD的中点，G在CD上，且CGCD/4，H为C1G的中点，求证EFB1C；求EF与C1G所成角的余弦值；求FH的长。 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30（PD和其在底面上的射影所成的角）。 若AEPD，垂足为E，求证BEPD；求异面直线AE与CD所成角的大小。 17.正三棱柱111ABC ABC?的所有棱长均为，是侧棱1AA上任意一点（）求证直线1B P不可能与平面11ACC A垂直；（II）当11BC B P?时，求二面角11C B P C?的大小A1C1B1P A C BxyzHGFEABCDA1B1C1D1zyXE PDC BA18如图，在四棱锥ABCD P?中，底面ABCD是正方形，侧棱?PD底面ABCD，DC PD?，E是PC的中点，作PB EF?交PB于点F. （1）证明PA平面EDB； （2）证明?PB平面EFD； （3）求二面角D-PB-C的大小19（14分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点A1到平面AED的距离.20如图，正四棱柱ABCD ABCD?中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC?、DD?上的点，且CF=2GD=2.求 （1）C?到面EFG的距离； （2）DA与面EFG所成的角； （3）在直线BB?上是否存在点P，使得DP/面EFG?,若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678答案C BBCD AD C 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）91xx122122(,)(,)333333?或1121312013.?OG=61?OA+31?OB+31?OC14.1,5 三、解答题（本大题共6小题，总80分）15.（13分）解以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，由题意知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),G(0,3/4,0),).1,0,1(),21,21,21(1?C BEF?C BEF1?即EFB1C11(0,1)4CG?22211170()144C G?由知830)21(4321021,23)21()21()21(|1222?G CEF EFFGEDBACC DABxyzHGFEABCDA1B1C1D11751|,cos111?G CEFG CEFG CEF，故EF与C1G所成角的余弦值为1751。 H为C1G的中点，H(0,7/8.1/2),又F(1/2,1/2,0),841)021()2187()210(|222?FH即FH84116.（13分）解以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)证明PD在底面上的射影是DA，且PD与底面成30，PDA30，),332,0,0(a P?AEPD，)23,21,0(,|21|a a E aAD AE?),332,2,0(),23,21,(a a PD a a aBE?PD BEaaaaa PDBE?,0)32 (2322)(0，即BEPD。 解由知,2),0,(),23,2,0(2aCD AEa a CDa aAE?又42|,cos,2|,|?CD AECD AECDAEaCDa AE，异面直线AE与CD所成角的大小为aros.4217.（13分）证明（）如图建立空间坐标系O xyz?，设AP a?则1,AC B P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a?1(0,2,0),(3,1,2)AC BPa?120AC BP?，1B P?不垂直AC?直线1BP不可能与平面11ACC A垂直7分（II）1(3,1,2)BC?，由11BC BP?，得110BC BP?即22 (2)0a?1a?又11BC BC?11BC CB P?面?1(3,1,2)BC?是面1CBP的法向量设面11C BP的法向量为(1,)n yz?，由11100BPnBC n?得(1,3,23)n?,设二面角11C BP C?的大小为?则116cos4|BC nBCn?二面角11CBP C?的大小为6aros413分18（13分）解如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设.DC a? (1)证明连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得(,0,0),(0,0,),(0,)22a aAaPaEA1C1B1P ACBzyXE PDCBA底面ABCD是正方形，G?是此正方形的中心，故点G的坐标为(,0)22a a且(,0,),(,0,).22a aPAa aEG?2PA EG?.这表明EG PA.而EG?平面EDB且PA?平面EDB，PA?平面EDB。 (2)证明依题意得(,0),(,)B a a PBa a a?。 又(0,),22a aDE?故022022?a aDEPB PBDE?,由已知EF PB?，且,EF DEE?所以PB?平面EFD. (3)解设点F的坐标为000(,),x yz PFPB?则000(,)(,)x yz a a a a?从而000, (1).x ay az a?所以00011(,)(,(),().2222a aFEx yz a a a?由条件EF PB?知，0?PB PE即22211()()0,22a aa?解得13?。 ?点F的坐标为2(,),333aaa且2(,),(,).366333aaaaa aFEFD?03233222?aa aFD PB,即PB FD?，故EFD?是二面角C PBD?的平面角.691892222aaaaFDPE?且aa aaFD aaa aPE369499,6636369222222?2.16cos.2|66.63aFE FDEFDFEFDa a?3EFD?,所以，二面角CPCD的大小为.3?19(14分)解 （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）A1（2a，0，2）E（a，a，1）G（31,32,32aa）.)1,2,0(),32,3,3(a BDaaGE?，032322?a BDGE，解得a=1.),31,34,32(),2,2,2(1