化归与转化策略在解题中的运用 新课标 人教

化归与转化策略在解题中的运用http:/www.DearEDU.com江苏省江阴长泾中学：张义红如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵力就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而对于一名中学生来说所掌握的数学基础知识和数学基本方法基本相似，可以说他们的“兵力”和“兵器”不分伯仲，关键的差别在于他们如何调动他们的数学知识和运用数学基本方法进行解题，不妨称之为“兵法”。“兵法”妙以“少”胜“多”，“兵法”不当不“战”而“败”。“兵法”的重要性是不言而喻，本文选了众“兵法”中“化归与转化”这一有名的方法谈一谈它在解题中的重要运用。所谓化归与转化，就是研究与解决问题时，采用某种手段，将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的目的。一般总是将复杂问题转化为简单问题，陌生问题转化为熟悉问题，未解决问题转化为已解决问题，等等。一、首先我们结合几个例子来谈谈化归的思想方法在解题中的重要作用。例1、 已知a0,b0且求的最小值。分析：这道题的难度较大，如果不创设一些特定的解题背景进行化归求解则很难下手。分析已知等式中的，易想到化归为二次函数或一元二次方程这样的知识背景。标准答案是这样的：令,由于a0,b0,则所以, 二次函数的图象是一条开口向下且与轴有两个不同的交点A（x,0）,B(x,0)的抛物线。因为,不妨设,则称轴,于是 .故所以.当a=-1,b=0,c=1时等号成立.因此的最小值为4.这个解决方法首先构造一个二次函数并已知条件分析函数图象的性质，最终解决问题。但该方法对学生数形结合的能力提出了较高要求。如果该题能化归为一元二次方程，那么解题难度将进一步大大的降低解法如下：已知条件可变为这表明二次方程有实根代回方程，得ac=b-1,乘以-4后,两边加上得.当b=0,从而ac=-1时, 取最小值4.以上例子告诉我们巧妙化归的重要性，并且选择不同的知识背景进行化归，对我们解题也有着相当大的影响，越好的知识背景对我们解题越有帮助。例2、如果实数x,y满足求（1） 的最大值（2）y-x的最小值分析：该题如果用消元法求最值, 则比较麻烦也比较难，这里我们运用数形结合法，创造解题情境，进行化归求解。（1） 由得即点P(x,y)在以(2,0)为圆心, 为（2） 半径的圆周上,令表示点P与O点连线的斜率，结合图形，即的最大值为。（3） 令y-x=t即y=x+t表示斜率为1的直线,t为直线在y轴上的截距,联立由=0,即y-x的最小值为. 我们通过化归方法将问题化归为直线中的斜率和截距，从而大大地降低了解题难度，也减少了思维量，使问题很轻松的得到解决。AB例3、某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）（1） 图中共有多少个矩形？（2） 从A点走向B点最短的走法有多少种？分析：该题也可创设排列组合这一解题情境即（1） 在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有种（2） 每条东西向的街道被分为6段，每条南北向的街道被分为4段，从A到B的最短走法一定包括10段，6段东西，4段南北，每种走法即从10段中选出6段为走东西方向的，共有种这个比较的抽象、新颖的题目，我们通过化归，运用已知的排列组合知识解决的巧妙而轻松。以后解题中碰到新颖或难度较大的题目，一定要巧创一定的解题情境，化归为用已知知识可以解决的问题。二、其次，我再看看转化的思想方法在解题中的运用。例4、设0a1,定义求证：对于一切正整数n,有分析：显然,但若仅假设,则很难由递推公式推出,这是因为这里的出现在分母上,为得到即得到，即要求将问题转化为更强的命题：即证明对于一切正整数n,有证明：(1)当n=1时,由知,又所以.(2)假设,则所以即当n=k+1时命题成立。根据（1）、（2）可知对于一切正整数n,原命题成立。在此例中，原命题很难下手，因此采取了转化为证明等价命题的策略，将问题作形式的转化，证明了另一个强化命题，从而使问题顺利解决。例5、设若方程中的cosx有两个不同的符号,求实数k的取值范围。分析：令cosx=t,则由得方程中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设,则原问题又等价于, 由此可得在此例中，原表述让人有曲折难懂之感，因此采取了转化问题表述的策略，将问题作等价形式的转化，从而使问题思路明朗化