高二〈10.3 组合应用问题〉课件2.ppt

组合的应用问题 前面我们研究了排列应用题 组合应用题的解法与排列应用题的解法类似 首先要审题 看能不能把这个问题归结为组合问题来解 如果能够的话 就要考虑 这里的元素是指什么 每一种组合对应的是什么事情 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 内容回顾 排列与组合的共同点与不同点 说明 取出不同元素 只取不排 无序性 相同组合 元素相同 相同点 都是从n个元素中取出m个不同的元素 不同点 排列与元素的顺序有关 而组合与元素的顺序无关 这是它的根本区别 组合数的定义及其公式 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合 combination 的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 组合数的两个性质 例题讲解 平面内有10个点 1 以其中每2个点为端点的线段共有多少条 2 以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条 解 1 以每2个点为端点的线段的条数 就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数 即 2 由于有向线段的两个端点中一个是起点 一个是终点 以每2个点为端点的有向线段的条数 就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数 即 说明 区别排列与组合的关键是看元素有无顺序 若不考虑线段两个端点的顺序 则是组合问题 若考虑线段两个端点的顺序 则是排列问题 例题讲解 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 1 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 2 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 3 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解 1 从口袋内的8个球中取出3个球 取法种数是 2 从口袋内取出3个球有1个是黑球 于是还要从7个白球中再取出2个 取法种数是 3 由于所取出的3个球中不含黑球 也就是要从7个白球中取出3个球 取法种数是 3 第一步 从2件次品中抽出一件 方法为 种 例题讲解 100件产品中 有98件合格品 2件次品 从这100件产品中任意抽出3件 1 一共有多少种不同的抽法 2 抽出的3件都不是次品的抽法有多少种 3 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 4 抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种 解 1 从100件产品中抽出3件 取法总数为 2 抽出的都不是次品 即从98件合格的产品抽出3件 取法总数为 第二步 从98件合格产品抽出2件 方法为 种 所以 由分步计数原理 总的方法 例题讲解 100件产品中 有98件合格品 2件次品 从这100件产品中任意抽出3件 1 一共有多少种不同的抽法 2 抽出的3件都不是次品的抽法有多少种 3 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 4 抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种 4 解法一 直接法 至少一件次品 包括1件次品和2件次品这两种情况 所以 一件次品的抽法有 2件次品的抽法有 由分类计数原理 至少含1件次品的抽法总数是 解法二 间接法 至少有1件次品的抽法总数 也就是100件产品抽出3件 减去抽出3件都是合格的产品的总数 即 例题讲解 现有8名青年 其中有5名能胜任英语翻译工作 有4名青年能胜任德语翻译工作 现在要从中挑选5名青年承担一项任务 其中3名从事英语翻译工作 2名从事德语翻译工作 则有多少种不同的选法 解 我们可以分成3类 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作 有 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作 有 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作 有 由分类计数原理 总的方法一共有 种 说明 从特殊的元素 两者都能 入手进行分析 则解题变得简单 例题讲解 甲 乙 丙三人值日 从周一至周六 每人值两天 但甲不值周一 乙不值周六 问可以排出多少种不同的值周表 解法一 分为两类 一类为甲不值周一 也不值周六 有 另一类为甲不值周一 但值周六 有 解法二 排除法 说明 从特殊的位置 周一 周六 入手进行分析 则解题变得简单 例题讲解 6本不同的书全部送给5人 每人至少1本 有多少种不同的送书方法 解 第一步 从6本不同的书中任取2本 捆绑 在一起看成一个元素有种方法 第二步 将5个 不同元素 书 分给5个人有种方法 根据分步计数原理 一共有 种 说明 解含有排列 组合的综合应用问题时 一般是先组合在排列 而排列问题就是先组合后全排列 练习 1 有5双不同型号的鞋子 1 从其中任取4只有多少种不同的取法 2 所取的4只中没有同号的取法有多少种 3 所取的4只中有一双是同号的取法又有多少种 2 有11个工人 其中5人只会当钳工 4人只会当车工 还有2人既会当钳工又会当车工 现在要从这11人中选出4人当钳工 4人当车工 一共有多少种选法 3 某乒乓球队有9名队员 其中2名是种子选手 现要挑选5名队员参加比赛 种子选手有且仅有一个在内 那么不同的选法共有多少种 答案 1 210 80 120 2 185 3 70 练习 课本103页4 5 6 小结 一个问题是排列问题还是组合问题 在于取出的元素之间有没有顺序 交换其中两个元素是否改变所得的结果 组合问题的解法与排列问题类似 除注意两个计数原理的运用外 还要恰当地选择直接法或间接法 排列 组合问题解题方法比较灵活 问