2015届高考数学（文）《2-3函数的奇偶性与周期性》能力提升及答案

A组基础演练能力提升一、选择题1函数f(x)lg是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：易知函数的定义域为(1,1)，又f(x)f(x)lglglg 10，故f(x)为奇函数答案：A2下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项B是偶函数但单调性不符合，只有选项C符合要求答案：C3若函数f(x)(k为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为()A1B1C1D0解析：依题意，f(x)，即(2xk2x)(2xk2x)(2xk2x)(2xk2x)，k21，k1，选C.来源:答案：C4已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)()A. B. C. D.解析：由于1log232，则f(2log23)f(2log231)f(3log23)3log233log232log232log2，故选A.答案：A5(2014年宁夏三市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()来源:A6 B7 C8 D9解析：由f(x)0，x0,2)可得x0或x1，即在一个周期内，函数的周象与x轴有两个交点，在区间0,6)上共有6个交点，当x6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点答案：B6偶函数f(x)在0，)上为增函数，若不等式f(ax1)f(2x2)恒成立，则实数a的取值范围是()A(2，2) B(2,2)C(2，2) D(2,2)解析：由题意可知，f(|ax1|)f(2x2)，所以|ax1|2x2恒成立设m(x)|ax1|，n(x)2x2，其临界位置的图象如图所示：来源:数理化网下面求出相切情形下的a的大小：如左图，设切点坐标为(x0，y0)，则n(x)2x0a，切点可表示为，所以a，得a2；如右图，同理可求得a2.综上可知a(2,2)答案：B二、填空题7若函数f(x)ln(x2ax1)是偶函数，则实数a的值为_解析：由题意知，f(x)ln(x2ax1)为偶函数，即ln(x2ax1)ln(x2ax1)，即x2ax1x2ax1，显然a0.答案：08(2013年高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)5的解集是_来源:解析：当x0时，f(x)x24x5的解集为0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)5的解集为(5,5)所以f(x2)5的解集为(7,3)答案：(7,3)9(2014年银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28来源:以上命题中所有正确命题的序号为_解析：令x2，得f(2)f(2)f(2)，即f(2)0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)0，正确；根据f(2)0可得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)的图象的一条对称轴，正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，故如果方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则4，即x1x28，正确故正确命题的序号为.答案：三、解答题10已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解析：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,311已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，求实数a的取值范围解析：由于f(x)为偶函数，且在0，)上为增函数，则在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则|ax1|x2|.又x，故|x2|2x，即x2ax12x.1a1在上恒成立来源:min0，max2，2a0.12(能力提升)设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积解析：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f()f14f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，来源:即f(1x)f(1x)来源:来源:故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an