2018-2019学年北京市朝阳区高二第一学期期末质量检测数学试题（解析版）

2018-2019学年北京市朝阳区高二第一学期期末质量检测数学试题一、单选题1若a，b，c，dR，且ab，cd，则下列结论正确的是（）Aa+cb+dBacbdCacbdD【答案】A【解析】设a，b，c，dR，且ab，cd，根据同向不等式的可加性可判断A；取特殊值可判断B、C、D的正误.【详解】对于A，设a，b，c，dR，且ab，cd，根据同向不等式的可加性知a+cb+d，故A正确；对于B、C，令，可知B、C不正确；对于D，令，可知D不正确； 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质，需熟记性质，属于基础题.2抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由抛物线标准方程知p2，可得抛物线准线方程【详解】抛物线y24x的焦点在x轴上，且2p=4,=1，抛物线的准线方程是x1故选C【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题3在等比数列an中，a11，a48，则an的前5项和是（）A2B8C15D31【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】设等比数列an的公比为，a11，a48，解得，则前5项和.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及前项和公式，需熟记公式，属于基础题.4正方体中，则异面直线与所成的角是 A30B45C60D90【答案】C【解析】连接A，易知：平行 A，异面直线与所成的角即异面直线与A所成的角，连接，易知为等边三角形，异面直线与所成的角是60故选C5“m0，n0，且mn”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据椭圆的方程以及充分和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若方程表示的曲线为椭圆，则m0，n0，且mn，反之，若m0，n0，且mn，则方程表示的曲线为椭圆.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的方程以及充分不要条件的定义，属于基础题.6如图，在四棱锥ABCDE中，AD平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DEBC，CDE90，BC3，CDDE2，AD4则点E到平面ABC的距离为（）ABCD2【答案】C【解析】连接，设点E到平面ABC的距离为，利用等体法即可求解.【详解】由题意可得 连接，设点E到平面ABC的距离为，由，即 所以即，解得.故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式以及等体法求点到面的距离，需熟记公式，属于基础题.7已知数列满足若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】分别保证在每一段上都是单调递增的函数；由于，可知临界状态时，所得结果取交集得到取值范围.【详解】单调递增 单调递增 又 或综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求解参数范围的问题，涉及到数列通项的问题，关键是能够分别保证每一段上的单调性后，确保临界值的大小关系.8已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A4+2B1CD【答案】D【解析】根据已知边MF1的中点在双曲线C上，于是有，由于三角形MF1F2是以线段F1F2为边的正三角形，从而进一步得到，代入中即可求解.【详解】 MF1的中点在双曲线C上，正三角形MF1F2 边长都是，故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.9我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，.第二步：将数列的各项乘以，得数列（记为），,，.则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】ak=n2时，ak1ak=n2（）a1a2+a2a3+an1an=n2（1）+（）+（）=n2（1）=n（n1）故选：A10在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】设正方体的边长为，以、分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，再求出平面A1BC1 的一个法向量，直线OE与平面A1BC1所成角为，利用空间向量的数量积，由即可求解.【详解】设正方体的边长为，以、分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则，设平面A1BC1 的一个法向量为，则，可得 ，令，则，所以，设直线OE与平面A1BC1所成角为，则，当时，取最大值为，当或时，取最小值为，故直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了空间直角坐标系求线面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.二、填空题11设命题p：x0，xlnx则p为_【答案】x00，x0lnx0.【解析】利用全称命题的否定变换形式即可求解.【详解】命题p：x0，xlnx则p为：x00，x0lnx0.故答案为：x00，x0lnx0.【点睛】本题考查了全称命题的否定形式，需熟记含有一个全称量词命题的否定变换形式，属于基础题.12双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知：双曲线的焦点在横轴上,所以双曲线的渐近线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键.13设数列an的前n项和为Sn，如果a15，an+1an+2，nN，那么S1，S2，S3，S4中最小的为_【答案】S3【解析】根据递推关系式可得数列an为等差数列，再利用等差数列的前项和公式即可求出.【详解】 ，即数列an以为首项，为公差的等差数列，由，则，即时，,故答案为：S3【点睛】本题考查了等差数列的定义以及等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.14若x0，y0，且x+2y1，则xy的最大值为_【答案】【解析】利用基本不等式即可求解.【详解】由x0，y0，且x+2y1，所以，解得，当且仅当，即，时，等号成立，所以xy的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值，应用基本不等式注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15已知数列an中，a11，前n项和（nN），那么a2的值为_，数列an的通项公式为_【答案】3. an 【解析】令，代入，即可求出a2的值；根据与的关系可求出，然后再利用叠乘即可求解.【详解】由a11，前n项和（nN），令，则，所以；，整理可得，即，所以，所以，即.故答案为：3，【点睛】本题考查了与的关系、叠乘法求数列的通项公式，属于基础题.16已知O是坐标原点，M，N是抛物线yx2上不同于O的两点，OMON，有下列四个结论：|OM|ON|2；直线MN过抛物线yx2的焦点；O到直线MN的距离小于等于1其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程yx2，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线过定点，即可判断结论.【详解】设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程yx2，可得，则， ，于是直线方程为，该直线过定点，故不正确；到直线方程的距离，故正确； 当时，取得最小值，故正确；由基本不等式可得，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、直线过定点、基本不等式，属于中档题.三、解答题17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PAAB，PAAD（）求证：PA平面ABCD；（）已知PAAD，点E在PD上，且PE：ED2：1（）若点F在棱PA上，且PF：FA2：1，求证：EF平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值【答案】（）证明见解析；（）（）证明见解析，（）【解析】（）利用线面垂直的判定定理即可证出.（）（）利用线面平行的判定定理即可证出；（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACE的一个法向量以及平面ADC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出.【详解】证明：（）PAAB，PAAD，ABADA，PA平面ABCD（）（）PAAD，点E在PD上，且PE：ED2：1点F在棱PA上，且PF：FA2：1，EFAD，EF平面ABCD，AD平面ABCD，EF平面ABCD解：（）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PAAB，PAAD，PAAD，点E在PD上，且PE：ED2：1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PAAD3，则A（0，0，0），C（3，3，0），E（0，2，1）（3，3，0），（0，2，1），设平面ACE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，2），平面ADC的法向量（0，0，1），设二面角DACE的平面角为，则cos二面角DACE的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及空间向量法求面面角，属于基础题.18已知函数f（x）ax2+ax1（aR）（）当a1时，求f（x）0的解集；（）对于任意xR，不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）求关于x的不等式f（x）0的解集【答案】（）x|x或x；（）（4，0；（）答案不唯一，详见解析【解析】（）将a1代入，解一元二次不等式即可求解.（）讨论a0或，根据二次函数的图象与性质即可求解. （）讨论的取值，根据含参的一元二次不等式的解法即可求解.【详解】（）当a1时，f（x）x2+x10，解得x或xf（x）0的解集为x|x或x（）f（x）ax2+ax1（aR）对于任意xR，不等式f（x）0恒成立，a0或，解得4a0，a的取值范围是（4，0（）（i）a0时，f（x）10，不等式的解集是R，（ii）a0时，f（x）ax2+ax1，a2+4a0，令f（x）0，解得：x，故f（x）0的解集是：（，），（iii）a0时，a2+4a，a4时，0，令f（x）0，解得：x，故f（x）0的解集是：（，）（，+），a4时，0，f（x）0的解集是x|x，4a0时，0，f（x）0的解集是R【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.19已知椭圆C：1（ab0），其右焦点为F（1，0），离心率为（）求椭圆C的方程；（）过点F作倾斜角为的直线l，与椭圆C交于P，Q两点（）当时，求OPQ（O为坐标原点）的面积；（）随着的变化，试猜想|PQ|的取值范围，并证明你的猜想【答案】（）1；（）（i），（ii）3，4），证明见解析.【解析】（）根据题意可得c1，由离心率，以及b2a2c2即可求解.（）（i）利用点斜式求出直线l的方程为xy+1，将直线l的方程与椭圆联立，根据韦达定理求出y1+y2，y1y2，进而求出，利用三角形的面积公式即可求解；（ii）设直线l的方程为xmy+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式可求出，设m2+1t，t1，再利用基本不等式即可求解.【详解】（）由题意可的c1，又，则a2，则b2a2c23，椭圆方程为1，（）（i）设直线l的方程为xy+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消x可得5y2+2y90，y1+y2，y1y2，则|y1y2|SOPQ|OF|y1y2|1，（ii）当时，设直线l的方程为xmy+1，则tan，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消x可得（3m2+4）y2+6my90y1+y2，y1y2，|PQ|，设m2+1t，t1，t1，（0，1），（3，4），|PQ|（3，4），当m0时，此时，此时直线方程为x1，则1，解得y，|PQ|3，综上所述随着的变化，|PQ|的取值范围为3，4）【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式，综合性比较强，考查了学生的计算能力，属于中档题20已知数列an的首项为1，若对任意的nN，数列an满足an+13an2，则称数列an具有性质L（）判断下面两个数列是否具有性质L：1，3，5，7，9，；1，4，16，64，256，；（）若an是等差数列且具有性质L，其前n项和Sn满足Sn2n2+2n（nN），求数列an的公差d的取值范围；（）若an是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设bnan（nN），且数列bn不具有性质L，求数列an的通项公式【答案】（）1，3，5，7，9，具有性质L，理由见解析；（）0，4）；（）.【解析】（）根据题意利用an+13an2，验证即可（）利用等差数列的通项公式以及前项和公式，代入不等式即可求解. （）利用等比数列的通项公式求出数列an的公比，bn不具有性质L，只需存在正整数m，使得bm+13bm2，进而可确定，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】（）1，3，5，7，9，具有性质L理由如下：对于数列1，3，5，7，9，其通项公式为an2n1，nN，an+13an2n+13（2n1）44n2，1，3，5，7，9，具有性质L1，4，16，64，256，不具有性质L理由如下：对于数列1，4，16，64，256，a33a2163442，1，4，16，64，256，不具有性质L（）等差数列an具有性质L，an+13an2，即1+nd31+（n1）d2对nN均成立，（32n）d4对nN均成立，当n1时，d4，当n2时，d恒成立，而0，（n2，nN），d0，0d4，a11，得，由题意n2n2+2n对nN均成立，当n1时