北京四中不等式的性质

北京四中不等式的性质一、实数的运算性质与实数大小顺序间的关系： 设a、bR.则有： （*） 这是研究不等式有关问题的基础。它把比较两实数的大小顺序问题与实数运算的符号法则联系起来（*）中，重要的是a-b值的符号，而不是其值）。它是不等式证明与解法的主要依据。二、不等式的基本性质：不等式的基本性质可以分为两类：1. 不等式本身的性质 定理1.（对称性或称为反身性）;定理2.（传递性）若ab且bc 则ac. 证明这两个定理的依据就要利用实数大小的比较与实数运算的符号法则。2不等式的运算性质 定理3若ab，cR，则a+cb+c.它是移项法则(a+bcac-b)的依据。（注意：定理3并不是移项法则）。 定理3的推论若ab且cd，则a+cb+d. 该性质还可推广到：任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.如：若a1b1,a2b2,anbn，其中nN且n1，则有a1+a2+anb1+b2+bn. 定理4若ab且c0，则acbc;若ab且c0, 则acb0且cd0，则有acbd. 该性质也可推广到：任意有限个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向。如：若a1b10, a2b20,anbn0，nN且n1，则a1a2anb1b2bn. 当上式中a1=a2=an, b1=b2=bn时，即得到下面的推论2：若ab0, nN且n1，则anbn. 定理5若ab0, nN且n1，则。 以上各定理中，定理1-4都是利用比较实数大小的方法（即实数运算性质与实数大小关系）来进行证明的，且其中只有定理1是可逆的，其余均不可逆，应用中不容忽视。 定理5（实际上是定理4的推论2的逆命题，其共同的前提是ab0,nN且n1）其证明方法是反证法。值得注意的是的反面有两种情况：。证明时，应将它们都给予否定，而不可遗漏。三、例题例1已知a,bR，试比较下列各式值的大小。(1)2a2-4ab+4b2与4b-4;(2)与1-a(3)a3-b3与ab(a-b)解：(1)(2a2-4ab+4b2)-(4b-4) =2a2-4ab+4b2-4b+4 =a2-4ab+4b2+2(a-2b)+1+(a2-2a+1)+2 =(a-2b)2+2(a-2b)+1+(a-1)2+2 =(a-2b+1)2+(a-1)2+2 (a-2b+1)20, (a-1)20, 20 (a-2b+1)2+(a-1)2+20 故 2a2-4ab+4b24b-4.(2)-(1-a) 当a+10且a0，即a-1且a0时，； 当a+10即ab时，a3-b3ab(a-b); 当a=b时，a3-b3=ab(a-b); 当ab时，a3-b3b且cd，则a-cb-d.(2)若ab且cd，则acbd.(3)若ab0且cd0，则解：(1)为假命题 如：10, 且0-2，则1-00-(-2)(2)为假命题 如：21, -2-3, 则2(-2)1(-3).(3)为假命题 如：32, 21,则。 说明：判断命题真假的依据，只能是前面所给出的实数运算性质与实数大小的关系及不等式的基本性质。值得注意的是每个性质的前提条件以及除定理1外，不等式的其它性质都是不可逆的。例3已知4x15，2y3，试求x+y, x-2y及的取值范围。解：(1) 由同向不等式相加的性质得6x+y18.(2) 由(2)得 -6-2y-4.(3) (1)与(3)两个同向不同式相加，得 -2x-2y11.(3) 由(2)可得.(3) (1)和(3)均为正数范围内的同向不等式。 ， 即。 注意：同向不等式之间不能做减法或除法。例4已知-1a+2b7, -2a-b3, 求4a+5b的范围。解： 4a+5b=3(a+2b)+(a-b) 由已知 -33(a+2b)21.(1) -2a-b3.(2) (1),(2)均为同向不等式，(1)+(2)得-54a+5b24.说明：(1)解决此类问题时，应将4a+5b用a+2b和a-b来表示，进而利用不等式性质可求得结果。 (2)有时不易表示时，需用