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第二章推理与证明复习小结 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 数学归纳法 间接证明 比较法 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 一 综合法 证 证明 要证只需证只需证只需证只需证因为成立 所以成立 二 分析法 三 反证法 问题一 求证 两条相交直线有且只有一个交点 注 1 结论中的有且只有 有且仅有 形式出现 是唯一性问题 常用反证法2 有且只有的反面包含1 不存在 2 至少两个 问题二 求证一元二次方程至多 有两个不相等的实根 注 所谓至多有两个 就是不可能有三个 要证 至多有两个不相等的实根 只要证明它的反面 有三个不相等的实根 不成立即可 问题 如图 已知l1 l2是异面直线且a b l1 c d l2 求证 ac sd也是异面直线 l1 l2 五 归纳 类比 猜想 证明 例 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n 等于n n 1 2 证 1 当n 2时 两条直线的交点只有1个 又f 2 2 2 1 2 1 因此 当n 2时命题成立 2 假设当n k k 2 时命题成立 就是说 平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f k 等于k k 1 2 以下来考虑平面内有k 1条直线的情况 任取其中的1条直线 记作l 由归纳假设 除l以外的其他k条直线的交点个数f k 等于k k 1 2 另外 因为已知任何两条直线不平行 所以直线l必与平面内其他k条直线都相交 有k个交点 又因为已知任何三条直线不过同一点 所以上面的k个交点两两不相同 且与平面内其他的k k 1 2个交点也两两不相同 从而平面内交点的个数是k k 1 2 k k k 1 2 2 k 1 k 1 1 2 这就是说 当n k 1时 k 1条直线的交点个数为 f k 1 k 1 k 1 1 2 根据 1 2 可知 命题对一切大于1的正整数都成立 说明 用数学归纳法证明几何问题 重难点是处理好当n k 1时利用假设结合几何知识证明命题成立 注 在上例的题设条件下还可以有如下二个结论 1 设这n条直线互相分割成f n 条线段或射线 则 f n n2 2 这n条直线把平面分成 n2 n 2 2个区域 练习1 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线 的条数f n 1 f n n 1 练习2 设有通过一点的k个平面 其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线 这k个平面将空间分成f k 个区域 则k 1个平面将空间分成f k 1 f k 个区域 2k 平面内
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