2020届深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先计算，再计算得到答案.【详解】，故故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2若在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（ ）ABC2D【答案】A【解析】根据得到，再根据对应的点位于第四象限得到答案.【详解】，解得在复平面内，z所对应的点位于第四象限，故，故选：A.【点睛】本题考查了复数模的计算，复数对应的点，意在考查学生的计算能力.3已知函数的图象关于原点对称，当时，则（ ）ABC3D-3【答案】D【解析】根据奇函数性质得到，代入计算得到答案.【详解】函数为奇函数，故故选：D.【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】求导得到，代入数据计算斜率得到答案.【详解】，故切线斜率故所求切线方程为，即故选：A.【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.52019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）附：男性运动员女性运动员对主办方表示满意200220对主办方表示不满意50300.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A0B1C2D3【答案】B【解析】依次判断每个选项：计算概率为得到错误；计算得到错，对得到答案.【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，故错误；，故错，对故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.6已知向量，若共线且方向相反，则（ ）A-840B-900C-360D-288【答案】C【解析】根据平行得到，再根据方向相反得到，代入计算得到答案.【详解】，解得，因为方向相反，故，则故选：C.【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.7在直三棱柱中，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图所示，连接，交于O，再连接OC，证明平面，则即为直线与平面所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，交于O，再连接OC，且平面，故即为直线与平面所成角所以.故选：D.【点睛】本题查看了线面夹角，确定即为直线与平面所成角是解题的关键.8运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为258.则n的值为（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，；第五次，此时要输出S的值故选：B.【点睛】本题考查了根据程序框图的输出结果计算输入值，意在考查学生的理解能力.9已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）A或B或C或D或【答案】C【解析】设切线，联立，根据得到，计算或，再计算圆方程得到答案.【详解】，设切线，联立，故，解得，故，则或故以MN为直径的圆的方程为或故选：C.【点睛】本题考查了圆方程，抛物线的切线，意在考查学生的综合应用能力.10已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.则外接圆的半径为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据正弦定理得到，再利用余弦定理得到，最后计算半径得到答案.【详解】，整理得，所以，因为，所以，故所求外接圆半径.故选：【点睛】本题考查了利用正弦定理，余弦定理计算外接圆半径，意在考查学生的计算能力.11函数的图象向右移动个单位后关于y轴对称，则的值不可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】化简得到，根据是偶函数得到，对比选项得到答案.【详解】，故故，解得当时，；当，；当时，；，不成立；故选：【点睛】本题考查了三角函数的平移和奇偶性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12设函数，若函数有5个零点，则实数m的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示，画出函数的图像，令，解得，根据有5个解对比图像得到答案.【详解】如图所示：画出函数的图像，令，解得则，解得，故选：A.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题13若，则_.【答案】【解析】根据展开化简得到答案.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.14已知实数x，y满足，则的最大值为_.【答案】9【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】画出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点A时，z有最大值，联立，解得，即时z有最大值为9.故答案为： 【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.15“方锥”，在九章算术卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”，其中，SA与平面ABCD所成角的正切值为，则此“方锥”的外接球表面积为_.【答案】【解析】如图所示，连接AC，BD相交于O，连接SO，计算得到，在中，利用勾股定理计算半径，代入球的表面积公式得到答案.【详解】如图所示：连接AC，BD相交于O，连接SO，故平面ABCD则，解得易知四棱锥的外接球球心在直线SO上设外接球半径为R，则在中，解得，故所求外接球表面积.故答案为：【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16已知双曲线的左、右焦点分别为，点M满足，若点N是双曲线虚轴的一个顶点，且的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C的渐近线方程为_.【答案】【解析】，而，的周长，计算得到答案.【详解】，而，故的周长为，当且仅当M，N，共线且M在N，之间时，取得最小值，且，结合得.故，故所求渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题17随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.（1）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）（2）现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行投资调查，求恰有1人年龄在的概率.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先利用频率和为1计算，再求中位数得到答案.（2）年龄在的投资者抽取3人，记为A，B，C，年龄在的投资者抽取2人.记为，b，列出所有情况，统计满足条件的情况，相除得到答案.【详解】（1）依题意，解得，故所求中位数为.（2）年龄在的投资者抽取3人，记为A，B，C，年龄在的投资者抽取2人.记为，b，则任取2人，所有的情况为：，共10种，满足条件的为，共6种，故所求概率.【点睛】本题考查了中位数的计算，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.18记数列的前n项和为，且.递增的等比数列满足，记数列的前n项和为.（1）求数列与的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值.【答案】（1），；（2）6【解析】（1）当时，解得；时，利用得到；再计算得到答案.（2）计算，故，则，计算得到答案.【详解】（1）当时，解得；当时，两式相减，可得，故，故，.则，记数列的公比为q，则，则或，而数列递增，故舍去，故.（2）依题意，而，故，则，因为，且，故满足的最大正整数n的值为6.【点睛】本题考查了数列的通项公式，解数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19四棱锥中，.（1）求证：；（2）若，AB与平面AEC所成的角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据题意，得到平面AEC，得到证明.（2）确定AB与平面AEC所成的角即为，计算得到，再利用得到答案.【详解】（1）因为，故，又，故，又，而，故平面AEC，即平面AEC，因为平面AEC，故.（2）因为，由（1）可知，平面AEC，所以平面AEC，故AB与平面AEC所成的角即为，在中，所以故，故故，故.【点睛】本题考查了线线垂直和求三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点M满足.（1）若点，求直线的方程；（2）若直线l过点且不与x轴重合，过点M作垂直于l的直线与y轴交于点，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则，相减得到，计算得到直线方程.（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，联立方程根据韦达定理得到，计算得到，根据的范围计算得到答案.【详解】（1）设，则，两式相减可得，因为，则，故直线l的方程为，即.（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，设，由消去y得，则，所以，因为的方程为，令，得，当时，；当时，则，当l的斜率不存在时，显然，综上.t的取值范围是.【点睛】本题考查了点差法求直线方程，参数的取值范围，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.21已知函数.（1）当时，证明：在上恒成立；（2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）求导得到，得到函数的单调区间，计算最小值为，得到答案.（2）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的最值得到答案.【详解】（1），故当时，故函数在上单调递增，故，即在上恒成立.（2）依题意，当时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；当时，令，解得，故当时，当时，故，（）当，即时，故符合题意；（）当，即时，因为，且，故，故存在，使得，故不符合题意；（）当，即时，因为，设，则，故，所以单调递增，即，故，又，所以，故存在，使得，所以不符合题意.综上所述，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数恒成立问题，函数的零点问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.22已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程；（2）若直线与直线l交于M，与曲线C交于O，N，若，求的面积.【答案】（1），；（2）【解析】（1）化简得到，利用极坐标公式得到答案， （2）设，代入计算得到，再计算点到直线的距离得到答案.【详解】（1）曲线，即，故，即；直线，则故直线.（2）直线的极坐标方程为，设，则，解得，又，故，则点A到直线l的距离，故的面积为.【点睛】本题考查了普通方程，参数方程，极坐标方程的转化，利用极坐标方程计算面积，意在考查学生的计算能力.23已知函