高考数学二轮复习数列2.ppt

2020 4 8 1 2009年高考第二轮复习 数列 数列的通项与数列中的不等式 2020 4 8 2 考试背景 求数列的通项 再解答与不等式相关的综合性数学命题在近几年高考中占有相当大的权重 如 不完全统计 年 福建 湖北 湖南 江西 全国理 上海 重庆等 年 广东 湖北 湖南 江西 辽宁 全国理 与理 山东 陕西 天津 浙江 重庆等 年 安徽 福建 湖北 湖南 江西 辽宁 全国理 与理 陕西 上海 四川 天津 浙江 重庆等 2020 4 8 3 一 基础知识 1 不完全归纳法归纳通项 2 数学归纳法证明与自然数n有有关的命题 第一步 验证初始状态 即 n n0时命题成立 第二步 假设推理 即 假设n k k n0 时命题成立 由此出发 推得n k 1时命题也成立 3 均值不等式 4 放缩法 注意放缩的度 不能太小或太大 实当即可 5 函数的单调性 2020 4 8 4 二 例析 2020 4 8 5 解 1 由a1 2 an 1 an2 nan 1得 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 由此猜想an n 1 n 1 2 用数学归纳法证明 当n 1时 a1 3 1 2 不等式成立 假设当n k时 不等式成立 即ak k 2 那么 ak 1 ak ak k 1 k 2 k 2 k 1 k 3 也就是说 当n k 1时 ak 1 k 1 2 由 和 得 对于所有n 1 有an n 2 2020 4 8 6 2020 4 8 7 说明 在证明 2 中的 时 注意到分母的特点 利用 2 中 的结果 对于所有n 1 有an n 2 就能得到an 1 n 1 2020 4 8 8 解 2020 4 8 9 2020 4 8 10 说明 1 数列 an 中第n项an 前n项和sn 前n 1项和sn 1之间的关系an sn sn 1在求通项公式中经常用到 2 具有递推公式an man 1 krn形式数列通项公的解法是要化成一个等比数列来求解 见第二轮复习数列 2020 4 8 11 解 2020 4 8 12 分析1 作差法 是比较大小的基本方法 从已知条件看到 bn由an的平方根给出 故可用bn与bn 1平方差的正负来比较bn与bn 1的大小 证明1 2020 4 8 13 分析2 均值不等式是证明不等式的基本工具 由 2020 4 8 14 证明1 2020 4 8 15 证明 2020 4 8 16 证明 用数学归纳法证明 i 当n 1时 0 a1 1 a1lna1 0 a2 f a1 a1 a1lna1 a1 由函数f x 在区间 0 1 上是增函数 且f x 在x 1处连续 则函数f x 在区间 0 1 上是增函数 a2 f a1 a1 a1lna1 a1 1 lna1 即a1 a2 1 假设当x k k n 时 ak ak 1成立 即0 a1 ak ak 1 1 那么当n k 1时 由f x 在区间 0 1 是增函数 0 a1 ak ak 1 1得 ak 1 ak 2 1 也就是说当n k 1时 an an 1 1也成立 根据 可得对任意的正整数n an an 1 1恒成立 2020 4 8 17 证明 2020 4 8 18 评析 1 在 的证明中 要注意当0 lna2 0 2 在 的证明中 要注意第二步的由ak到ak 1递推的推理特点 3 在 的证明中 要注意 循环叠代方法 的运用 也就是 4 在 的证明中 要注意 放缩变换 的灵活运用 如由 2020 4 8 19 三 小结 1 证明与自然数n有关的命题时常选用 数学归纳法 作差法 是证明不等式的首选方法 放缩法 是证明不等式的一种重要方法 具有递推关系的数列不等式 循环叠代法 能使问题逐步达到明朗 研究透已知条件和待证目标 进行有目的的变形 是证题的关键中的关键 函数的单调性和相关性质是进行放缩变形的一大工具 不等式的性质在证题中要灵活运用 有时绝对值的性质在证题时也会起到重要作用 如例 的