用数学建模解分数乘除法应用题

用数学建模解分数乘除法应用题 2011 新数学课程标准把数学教学中的 双基 发展为 四基 即除了 基本数学知识 和 基本数学技能 之外 加上 基本数学思想 以及 基本数学活动经验 数学方法是数学思 想在数学活动中的反映和体现 它贯穿在知识的汲取 储存 加工 运用的全过程 小学 数学中重要的数学思想有 建模的思想 转化与化归的思想 数形结合思想 分类的思想 方程与函数的思想等 课标指出 数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象 数学课程应体现 问题情 境 建立数学模型 理解 应用与拓展 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型 并进行解释与应用的过程 进而使学生获得对数学理解的同时 在思维能力 情感 态度 与价值观等多方面得到进步和发展 数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律 并对 现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断 同时为人们交流信息提供了一种 有效 简捷的手段 数学建模就是运用数学思想 方法和知识解决实际问题的过程 已经成为不同层次数 学教育重要和基本的内容 数学建模是数学学习的一种新的方式 它为学生提供了自主学 习的空间 有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用 体验数学与日常生活和 其他学科的联系 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程 增强应用意识 有助于 激发学生学习数学的兴趣 发展学生的创新意识和实践能力 与传统应用题相比 数学建 模所解决的问题往往呈现一种 混沌 状态 没有明显的数据和关系可用 所给的条件也 不一定有用 得出的结论往往不唯一 建立的数学模型也要在实践中反复修改验证 由于 具有这些特点 数学建模是学习 数学应用 的最佳方式之一 能让学生更好地体验数学 是怎样运用于实际的过程 形成他们的数学经验 在人教版小学数学六年级上册教科书中 分数乘除法应用题既是重点也是难点 令不 少同学感到头疼 往往很容易混淆类型 但是如果我们能建立一个解题模型 这类问题就 引刃而解了 利用分析单位一 找到分数乘除法之间的区别与联系 建立数学模型 在例题教学中建立模型 在例题教学中建立模型 例一 小红有 72 枚邮票 小明的邮票是小红的 小明有多少枚邮票 8 7 1 找单位一 谁的 小红邮票数量的 小红邮票数量就是单位一 记着 是谁的几分 8 7 之几 谁就是单位一 2 看问题是否求单位一 本题中 小红邮票数量是单位一 求的是小明邮票数量 不是求 单位一 是求非单位一 即求 72 的是多少 根据乘法的意义 求一个数的几分之几用 8 7 乘法 所以这道题解答为 72 63 枚 8 7 例二 小明有 63 枚邮票 是小红的 小红有多少枚邮票 8 7 1 找单位一 谁的 小红邮票数量的 小红邮票数量就是单位一 8 7 2 看问题是否求单位一 本题中 小红邮票数量是单位一 求的是小红邮票数量 是求单 位一 即知道小红邮票数量的是 63 求小红邮票的数量 根据分数除法的意义 已知一 8 7 个数的几分之几是多少求这个数用除法 所以这道题用解答为 63 72 枚 8 7 以上是分数乘除法的两种基本类型 一种是求单位一的几分之几是多少 一种是知道 单位一点几分之几是多少 求单位一 通过这两道题 我们应明白 单位一是解决为题的 关键 求单位一用除法 求非单位一用乘法 我们还可以把这两类问题用数学语言进行归 纳 求单位一的几分之几是多少用乘法 归纳为 a 已知单位一的几分之几是多少 x y 求单位一用除法 归纳为 a x y 例三 小红有 72 枚邮票 小明的邮票枚数比小红多 小明有多少枚邮票 8 1 1 找单位一 比后面的数量通常为单位一 所以小红邮票数量就是单位一 2 看问题是否求单位一 本题中 小红邮票数量就是单位一 求的是小明邮票的数量 是 求非单位一 用乘法 即知道小明的邮票比单位一多 为 1 求 72 的是多少 8 1 8 1 8 9 8 9 根据乘法的意义 所以这道题解答为 72 1 81 枚 8 1 例四 小红有 72 枚邮票 比小明的邮票枚数多 小明有多少枚邮票 8 1 1 找单位一 比后面的数量通常为单位一 所以这里小明邮票数量就是单位一 2 看问题是否求单位一 本题中 小明邮票数量就是单位一 求的是小明邮票的数量 是 求单位一 用除法 即知道小红的邮票比单位一多 为 1 已知小明邮票数量的 8 1 8 1 8 9 是 72 枚 求小明邮票数量 根据分数除法的意义 所以这道题解答为 72 1 64 8 9 8 1 枚 以上是分数乘除法的两种稍复杂的类型 一种是求比单位一多几分之几是多少 一种 是知道比单位一多几分之几是多少 求单位一 单位一还是解决问题的关键 两个数量相 比一般都是比字后面的数量为单位一 我们还可以把这两类问题用数学语言进行归纳 求 比单位一多几分之几是多少用乘法 归纳为 a 1 已知比单位一多几分之几是多 x y 少 求单位一用除法 归纳为 a 1 x y 例五 小红有 72 枚邮票 小明的邮票枚数比小红少 小明有多少枚邮票 8 1 1 找单位一 比后面的数量通常为单位一 所以小红邮票数量就是单位一 2 看问题是否求单位一 本题中 小红邮票数量就是单位一 求的是小明邮票的数量 是 求非单位一 用乘法 即知道小明的邮票比单位一少 为 1 求 72 的是多少 8 1 8 1 8 7 8 7 根据乘法的意义 所以这道题解答为 72 1 63 枚 8 1 例六 小红有 72 枚邮票 比小明的邮票枚数少 小明有多少枚邮票 7 1 1 找单位一 比后面的数量通常为单位一 所以这里小明邮票数量就是单位一 2 看问题是否求单位一 本题中小明邮票数量就是单位一 求的是小明邮票的数量 是求 单位一 用除法 即知道小红的邮票比单位一少 为 1 已知小明邮票数量的 7 1 7 1 7 6 是 72 枚 求小明邮票数量 根据分数除法的意义 所以这道题解答为 72 1 7 6 7 1 84 枚 以上是分数乘除法的两种稍复杂的类型 一种是求比单位一少几分之几是多少 一种 是知道比单位一少几分之几是多少 求单位一 单位一还是解决问题的关键 我们还可以 把这两类问题用数学语言进行归纳 求比单位一少几分之几是多少用乘法 归纳为 a 1 已知比单位一少几分之几是多少 求单位一用除法 归纳为 a 1 x y x y 综上所述可以把分数乘除法问题建模为 分数乘法 求非单位 1 分数除法 求单位 1 求单位 1 的几分之几 a 已知单位一的几分之几是多少 a x y x y 求比单位 1 多几分之几 a 1 已知比单位一多几分之几是多少 x y a 1 x y 求比单位 1 少的几分之几 a 1 已知比单位一少几分之几是多少 a 1 x y x y 这个模型也适应于百分数的应用题解答 正确找单位 1 是解答分数 百分数 乘除法应用题的关键 也是教师教学此类应 用题的重点和难点 每一道分数应用题总是有关键句 含有分率的句子 如何从关键句 中找准单位 1 我觉得可以这样考虑 1 看分数是谁的 那么谁就是单位一 例如 学校买来一批图书 其中故事书 120 本 占总数的 这个是总数的 所以 8 5 8 5 8 5 这批图书的总数应该为单位一 再如 一根电线长 200 米 用去了 这个应该是全长的 所以单位一应该是全长 5 1 5 1 5 1 2 两种数量相比的 比 字后面的数量就是单位一 有时关键句中没有出现 比 字 我们可以根据题意补充完整 例如 一块长方形菜地 宽是 60 米 比长少 比后面的是 长 所以 长 是单位一 3 1 再如 水结成冰之后 体积增加 这里没有出现 比 这个词 但也是两个数量相比 11 1 较的 我们可以把这个比补完整 因为是 增加 所以肯定是 冰比水 体积增加 单位一就是水的体积了 拓展应用 拓展应用 拓展一 果园里有梨树 48 棵 桃树的棵树是梨树的 又是苹果树的 有苹果树多少 3 4 5 4 棵 1 找单位一 这里有两个 分数 第一个的单位一是梨树 第二个的单位一是 3 4 5 4 苹果树 2 看问题是否求单位一 求苹果树先要求桃树 根据 桃树的棵树是梨树的 来求 3 4 显然是求非单位一中的第一种情况 所以列式为 48 再求苹果树的棵树 根 3 4 据 又是苹果树的 来求 是求单位一种的第一种情况 列式为 48 80 5 4 3 4 5 4 棵 拓展二 运输队运一批面粉 第一次运走全部的 第二次运走了全部的 两次共运走 7 3 7 2 了 45 吨 这批面粉共有多少吨 1 找单位一 这里两个分率都是全部的几分之几 所以单位一是这堆面粉的总重量 2 看是否求单位一 很显然这里是求单位一的第一种情况 用除法 但这里 45 吨 对应的分数应该是 也就是说面粉总重量的是 45 吨 这里可以 7 3 7 2 7 5 7 5 运用画线段图来找 所以列式为 45 63 吨 7 3 7 2 45 吨 拓展三 一辆汽车从甲地开往乙地 行驶了全程的 此时还距离中点 60 千米 甲乙两地 3 1 相距多少千米 1 找单位一 看分率是谁的 是全程的 所以全程是单位一 3 1 3 1 2 看是否求单位一 显然是求单位一中的第一种情况 但这里的 60 千米对应的分 率应该是 可以画图来找 所以列式为 60 360 千米 2 1 3 1 2 1 3 1 60 千米 7 3 7 2 2 1 3 1 在数学建模过程我们发现的问题形式与内容的多样 解决方法的多样 让 教师和学生在陌生的问题前感到困难 这是对学生 尤其是教师提出可更高的 要求 教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想 让学生体会和领 悟数学思想 提高学生的数学素养 教师要在自己的视野内努力寻找宜于学生 使用的数学建模问题 做好每个问题解决过程的记录 学生成功的经验和自己 在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要