复习提纲 第二章.doc

复习提纲 第二章一、本章内容要点LAPLACE变换时积分变换中一种常用的变换。是将时域函数转换成复数域函数。描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础上的。可见，拉氏变换是分析线性定常系统的有力工具。1、拉氏变换的定义 式中，拉氏变换符号；复变量；原函数；为的拉氏变换函数，称为象函数。拉普拉斯反变换的定义为其中 拉氏反变换符号。2、常用时间函数的拉氏变换表序号原函数象函数1123456783、拉式变换的性质1.线性定理如果、为任意常数，函数、的拉氏变换为、，则有：例2.1 已知，求其拉氏变换。解 由拉氏变换定义及线性定理可知2.实数域的平移定理如果函数的拉氏变换为，则对任一正实数，有 例2.2 求图2.1所示三角波的拉氏变换。解 由图2.1可知，三角波可表达为 利用实数域的平移定理，对上式求拉氏变换，得图2.1 三角波3.复数域的平移定理如果函数的拉氏变换为，则对任一常数，有例2.3 求的拉氏变换解 由正弦函数的拉氏变换可知 运用复数域的平移定理，有4.微分定理如果函数的拉氏变换为，则有 式中，、函数的各阶导数在时的值。例2.4 利用微分定理求的拉氏变换。解 对求二阶微分，有等式两边同时取拉氏变换，得已知，则有6.初值定理如果函数的拉氏变换为，且以下极限值均存在，则有 7.终值定理如果函数的拉氏变换为，且以下极限值均存在，则有 例2.6 已知：，求解 根据终值定理，可求得4、拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换是求解控制系统时间响应的重要手段。而直接根据反变换的定义求解是非常复杂的，因此常采用部分分式展开法将复杂的象函数化简成简单的部分分式之和，然后直接查拉氏变换表求取原函数。在控制系统中，象函数常可写成如下的有理分式形式： (2.26)式中，、的极点；、的零点。下面根据极点的形式不同，分三种情况进行讨论。(1)象函数的极点为各不相同的实数在这种情况下，象函数可展开成如下部分分式之和： 式中，待定系数，可用下面的公式求得 根据拉氏变换的线性定理，可求得原函数为 例2.8 求的拉氏反变换。解 象函数中极点均为不相同的实数，可展开为根据式(2.28)，待定系数可用两种方法求解。方法一：方法二：可见两种方法求得的待定系数相同。因此的拉氏反变换为(2)象函数的极点中有共轭复数极点假设象函数的极点中有一对共轭复数极点，而其它均为互不相同的实数极点，则可展开成如下部分分式之和： 式中，其中待定系数、还按公式(2.28)求解，、可用下面的公式求得 上式中，令等式两边的实部和虚部分别相等，联立求解方程，则可求得、的值。由于，则将共轭复数极点部分配成上面的格式，利用线性定理，即可求出系统的原函数。例2.9 求的原函数。解 首先将象函数的分母因式分解，得由得由等式两边相等，联立方程得，(3)象函数有重极点假设象函数有个重极点，其余极点均不相同，则象函数可展开成如下部分分式之和：其中待定系数、还按公式(2.28)求解，、分别按下面的公式求解：(2.33)象函数的原函数为 例2.10 求的原函数。解 象函数中既含有重极点，又含有单独极点，可展开为其中其对应的原函数为5、用拉式变换解微分方程例1：求且的解。解：两边同时取拉氏变换得：两边同时取拉式反变换，解得：自测题1Ttf(t)1如图所示 的拉氏变换F(s)为 【 】 A BC D2、若f(t)= 则Lf(t)=（ ）A B C D 3、若Lf(t)=F(s)，则=( 应用积分定力二积分 )A B C D 4、=（ ） A B