2013版《6年高考4年模拟》：导数及其应用.doc

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 20132013 版版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20122012 年高考题年高考题 1 2012 广东卷 曲线 y x3 x 3 在点 1 3 处的切线方程为 答案 y 2x 1 解析 根据已知曲线方程求导得 y 3x2 1 所以切线斜率 k y x 1 3 1 2 所以根据点斜式方程得 y 3 2 x 1 即方程为 y 2x 1 2 2012 辽宁卷 已知 P Q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 P Q 的横坐标分别为 4 2 过 P Q 分别作抛物线的切线 两切线交于点 A 则点 A 的纵坐标为 答案 4 解析 本小题主要考查导数的几何意义的应用 解题的突破口为求切点坐标 和切线的斜率 由 x2 2y 可知 y x2 这时 y x 由 P Q 的横坐标为 4 2 这时 1 2 P 4 8 Q 2 2 以点 P 为切点的切线方程 PA 为 y 8 4 x 4 即 4x y 8 0 以 点 Q 为切点的切线方程 QA 为 y 2 2 x 2 即 2x y 2 0 由 联立得 A 点坐 标为 1 4 这时纵坐标为 4 3 2012 浙江卷 设 a 0 b 0 A 若 2a 2a 2b 3b 则 a bB 若 2a 2a 2b 3b 则 abD 若 2a 2a 2b 3b 则 a2b 2b 构造函数 f x 2x 2x 则 f x 2x 2x 在 x 0 上单调递增 即 a b 成立 故 A 正确 B 错误 其余选 项用同样方法排除 4 2012 辽宁卷 若 x 0 则下列不等式恒成立的是 A ex 1 x x2 B 1 x x2C cosx 1 x2 D ln 1 x x x2 1 1 x 1 2 1 4 1 2 1 8 答案 C 解析 本小题主要考查导数与函数知识 属于导数在函数中的应用 解题的突 破口为构造函数 借助导数工具来解决问题 验证 A 当 x 3 时 e3 2 73 19 68 1 3 32 13 故排除 A 验证 B 当 x 时 1 2 而 1 0 恒成立 1 2 所以当 x 0 时 g x g 0 0 所以 x 0 时 g x cosx 1 x2为增函数 1 2 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 所以 g x g 0 0 恒成立 即 cosx 1 x2恒成立 验证 D 令 h x ln 1 x 1 2 x x2 h x 1 令 h x 0 解得 0 x 3 所以当 0 x 3 时 h x 1 8 1 x 1 x 4 x x 3 4 x 1 0 b 0 A 若 2a 2a 2b 3b 则 a bB 若 2a 2a 2b 3b 则 abD 若 2a 2a 2b 3b 则 a2b 2b 构造函数 f x 2x 2x 则 f x 2x 2x 在 x 0 上单调递增 即 a b 成立 故 A 正确 B 错误 其余选 项用同样方法排除 8 2012 陕西卷 设函数 f x xex 则 A x 1 为 f x 的极大值点 B x 1 为 f x 的极小值点 C x 1 为 f x 的极大值点 D x 1 为 f x 的极小值点 答案 D 解析 本小题主要考查导数与函数单调性及函数的极值的知识 解题的突破口 为求函数的导函数 判断函数的单调性 从而判断函数的极值点 f x ex xex ex x 1 因为 ex 0 恒成立 当 f x 0 时 x 1 函数 f x 为单调增函数 当 f x 0 时 x0 若曲线 y 与直线 x a y 0 所围成封闭图形的面积为 a2 x 则 a 答案 解析 本题考查定积分的应用 考查运算求解能力 容易题 由题意得 4 9 a2 dx Error a 解之得 a a 0 xa 0 2 3 3 2 4 9 13 2012 湖北卷 已知二次函数 y f x 的图象如图 1 1 所示 则它与 x 轴所围图形的面积 为 图 1 1 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 A B C D 2 5 4 3 3 2 2 答案 B 解析 解法一 设 f x ax2 bx c 因为函数 f x 的图象过 1 0 1 0 a 0 0 1 代入得Error 解得Error 故 f x 1 x2 故 S 1dx Error 故选 B 1 1 x2 x x3 3 1 1 4 3 解法二 设 f x a 将 x 0 y 1 代入 f x a 得 a 1 所以 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 1 x2 所以 S 1dx Error 故选 B x 1 x 1 1 1 x2 x x3 3 1 1 4 3 解法三 观察函数图象可知 二次函数 f x 的顶点坐标为 0 1 故可设 f x ax2 1 又函 数图象过点 1 0 代入得 a 1 所以 f x x2 1 所以 S Error 故选 B 1 1 1 x2 dx x x3 3 1 1 4 3 B14 单元综合 14 2012 福建卷 对于实数 a 和 b 定义运算 a b Error 设 f x 2x 1 x 1 且 关于 x 的方程 f x m m R 恰有三个互不相等的实数根 x1 x2 x3 则 x1x2x3的取值范围 是 答案 解析 根据新运算符号得到函数 f x 的解析式 即为 1 3 16 0 f x 2x 1 x 1 Error 化简得 f x Error 画出函数 f x 的图象 如下图所示 如果 f x m 有三个不同的实数解 即直线 y m 与函数 f x 的图象有三个交点 如图 当 直线 y m 过抛物线 f x x2 x 的顶点且与 x 轴平行时 此时有两个交点 抛物线的顶 点纵坐标是 y 设三个交点分别为 x1 x2 x3 且依次是从小到大的顺序排列 所以 1 4 x1即为方程 2x2 x 小于 0 的解 解得 x1 此时 x2 x3 所以 1 4 1 3 4 1 2 x1 x2 x3 y m 与函数 f x 有 2 个交点的最低位置是当 y m 与 x 轴重 1 3 4 1 2 1 2 1 3 16 合时 此时 x1 x2 x3 0 所以当方程 f x m 有三个不等实根时 x1 x2 x3 1 3 16 0 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 15 2012 广东卷 设 a0 B x R 2x2 3 1 a x 6a 0 D A B 1 求集合 D 用区间表示 2 求函数 f x 2x3 3 1 a x2 6ax 在 D 内的极值点 解 1 x D x 0 且 2x2 3 1 a x 6a 0 令 h x 2x2 3 1 a x 6a 9 1 a 2 48a 3 3a 1 a 3 当 a 1 时 0 B R 于是 D A B A 0 当 a 时 0 此时方程 h x 0 有唯一解 1 3 x1 x2 1 3 1 a 4 3 1 1 3 4 B 1 1 于是 D A B 0 1 1 当 a0 此时方程 h x 0 有两个不同的解 1 3 x1 3 3a 3 3a 1 a 3 4 x2 3 3a 3 3a 1 a 3 4 x10 B x1 x2 又 x1 0 a 0 所以 i 当 0 a 时 D A B 0 x1 x2 1 3 ii 当 a 0 时 D x2 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x 1 x a 当 a 1 时 f x 在 R 上的单调性如下表 x a a a 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 当 a 1 时 D 0 1 3 由表可得 x a 为 f x 在 D 内的极大值点 x 1 为 f x 在 D 内的极小值点 当 a 时 D 0 1 1 1 3 由表可得 x 为 f x 在 D 内的极大值点 1 3 当 0 aa 且 x1 1 3 3a 1 3a 4 a D 1 D 由表可得 x a 为 f x 在 D 内的极大值点 当 a 0 时 D x2 且 x2 1 由表可得 f x 在 D 内单调递增 因此 f x 在 D 内没有极值点 16 2012 湖南卷 已知两条直线 l1 y m 和 l2 y m 0 l1与函数 y log2x 的图 8 2m 1 象从左至右相交于点 A B l2与函数 y log2x 的图象从左至右相交于点 C D 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a b 当 m 变化时 的最小值为 b a A 16 B 8C 8 D 4 22 3 4 3 4 答案 B 解析 考查函数的图象变换 均值不等式和对数方程 以及数形结合和函数与 方程思想 综合程度高 难度也较大 关键是转化为关于 m 的代数式最值问题 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a b 由已知可求出 ABCD 四点的横坐标得 a xA xC b xB xD 2 m 2 8 2m 1 2m 2 8 2m 1 所以 2m b a 2m 2 8 2m 1 2 m 2 8 2m 1 8 2m 1 令 t m 2 4 8 2m 1 m 1 2 4 m 1 2 1 2 m 1 2 4 m 1 2 1 2 1 2 2m 24 8 所以最小值为 8 b a 8 2m 1 1 222 17 2012 江苏卷 设 f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数 在区间 1 1 上 f x Error 其中 a b R 若 f f 1 2 3 2 则 a 3b 的值为 答案 10 解析 本题考查函数的周期性以及分段函数的函数值求解 解题突破口为根 据周期性将 f转化为 f 3 2 1 2 由条件得 f f f a 1 从而 a 1 化简得 3a 2b 2 1 2 b 4 3 3 2 1 2 1 2 b 4 3 1 2 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 7 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 又 f 1 f 1 得 a 1 联立解之得 a 2 b 4 从而 a 3b 10 b 2 2 18 2012 山东卷 函数 y 的图象大致为 cos6x 2x 2 x 图 1 2 答案 D 解析 本题考查函数的图象与性质 考查推理论证能力 应用意识 中档题 由函数 y 为奇函数 排除选项 A 当 x 无限大时 y 趋向于 0 排除选项 C 当 cos6x 2x 2 x x 从正数趋向于 0 时 y 趋向于正无穷大 故选 D 19 2012 上海卷 已知函数 y f x 的图像是折线段 ABC 其中 A 0 0 B C 1 0 函 1 2 5 数 y xf x 0 x 1 的图像与 x 轴围成的图形的面积为 答案 解析 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积 考查学生分类讨论思想和转 5 4 化思想 由已知可得函数的解析式 y xf x 曲线与 x 轴围成区域的面积 可用定积分表示 S 0 10 x2 dx 10 x 10 x2 dx 1 2 1 1 2 5 4 20 2012 四川卷 函数 f x Error 在 x 3 处的极限 A 不存在 B 等于 6C 等于 3 D 等于 0 答案 A 解析 由题意 f x x 3 6 lim x 3 lim x 3 x2 9 x 3 lim x 3 f x ln x 2 0 故f x f x 即 f x 在 x 3 处的极限不存 lim x 3 lim x 3 lim x 3 lim x 3 在 21 2012 重庆卷 设 f x a ln x x 1 其中 a R 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切 1 2x 3 2 线垂直于 y 轴 1 求 a 的值 2 求函数 f x 的极值 解 1 因 f x a ln x x 1 故 f x 1 2x 3 2 a x 1 2x2 3 2 由于曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于 y 轴 故该切线斜率为 0 即 f 1 0 从而 a 0 解得 a 1 1 2 3 2 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 8 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2 由 1 知 f x ln x x 1 x 0 1 2x 3 2 f x 1 x 1 2x2 3 2 3x2 2x 1 2x2 3x 1 x 1 2x2 令 f x 0 解得 x1 1 x2 因 x2 不在定义域内 舍去 1 3 1 3 当 x 0 1 时 f x 0 故 f x 在 0 1 上为减函数 当 x 1 时 f x 0 故 f x 在 1 上为增函数 故 f x 在 x 1 处取得极小值 f 1 3 无极大值 22 2012 浙江卷 已知 a 0 b R 函数 f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 i 函数 f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对 x 0 1 恒成立 求 a b 的取值范围 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当 b 0 时 有 f x 0 此时 f x 在 0 上单调递增 当 b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 此时 f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b 3a b Error 2a b a ii 由于 0 x 1 故当 b 2a 时 f x 2a b a f x 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当 b 2a 时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 设 g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1减极小值增1 所以 g x min g 1 0 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 3 3 4 3 9 故 f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 2 由 i 知 当 0 x 1 时 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 若 2a b a 1 则由 知 f x 2a b a 1 所以 1 f x 1 对任意 0 x 1 恒成立的充要条件是Error 即Error 或Error 在直角坐标系 aOb 中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 BC 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 9 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 做一组平行线 a b t t R 得 1 a b 3 所以 a b 的取值范围是 1 3 23 2012 北京卷 已知函数 f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求 a b 的值 2 当 a2 4b 时 求函数 f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以 f 1 g 1 且 f 1 g 1 即 a 1 1 b 且 2a 3 b 解得 a 3 b 3 2 记 h x f x g x 当 b a2时 h x x3 ax2 a2x 1 h x 3x2 2ax a2 1 4 1 4 1 4 令 h x 0 得 x1 x2 a 2 a 6 a 0 时 h x 与 h x 的情况如下 x a 2 a 2 a 2 a 6 a 6 a 6 h x 0 0 h x 所以函数 h x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 a 2 a 6 a 2 a 6 当 1 即 0 a 2 时 a 2 函数 h x 在区间 1 上单调递增 h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a a2 1 4 当 1 且 1 即 2 a 6 时 a 2 a 6 函数 h x 在区间内单调递增 在区间上单调递减 h x 在区间 a 2 a 2 1 1 上的最大值为 h 1 a 2 当 6 时 函数 h x 在区间内单调递增 在区间内单调递 a 6 a 2 a 2 a 6 减 在区间上单调递增 a 6 1 又因 h h 1 1 a a2 a 2 1 4 a 2 2 0 1 4 所以 h x 在区间 1 上的最大值为 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 10 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 h 1 a 2 24 2012 福建卷 已知函数 f x ex ax2 ex a R 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 求函数 f x 的单调区间 2 试确定 a 的取值范围 使得曲线 y f x 上存在唯一的点 P 曲线在该点处的切线与曲线 只有一个公共点 P 解 1 由于 f x ex 2ax e 曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线斜率 k 2a 0 所以 a 0 即 f x ex ex 此时 f x ex e 由 f x 0 得 x 1 当 x 1 时 有 f x 0 所以 f x 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 2 设点 P x0 f x0 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为 y f x0 x x0 f x0 令 g x f x f x0 x x0 f x0 故曲线 y f x 在点 P 处的切线与曲线只有一个公共点 P 等价于函数 g x 有唯一零点 因为 g x0 0 且 g x f x f x0 ex ex0 2a x x0 若 a 0 当 x x0时 g x 0 则 x x0时 g x g x0 0 当 x x0时 g x 0 则 x x0时 g x g x0 0 故 g x 只有唯一零点 x x0 由于 x0具有任意性 不符合 P 的唯一性 故 a 0 不合题意 若 a 0 令 h x ex ex0 2a x x0 则 h x0 0 h x ex 2a 令 h x 0 得 x ln 2a 记 x ln 2a 则当 x x 时 h x 0 从而 h x 在 x 内单调递减 当 x x 时 h x 0 从而 h x 在 x 内单调递增 i 若 x0 x 由 x x 时 g x h x h x 0 x x 时 g x h x h x 0 知 g x 在 R 上单调递增 所以函数 g x 在 R 上有且只有一个零点 x x ii 若 x0 x 由于 h x 在 x 内单调递增 且 h x0 0 则当 x x x0 时有 g x h x h x0 0 g x g x0 0 任取 x1 x x0 有 g x1 0 又当 x x1 时 易知 g x ex ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ex1 ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ax2 bx c 其中 b e f x0 c ex1 f x0 x0f x0 由于 a 0 则必存在 x2 x1 使得 ax bx2 c 0 2 2 所以 g x2 0 故 g x 在 x2 x1 内存在零点 即 g x 在 R 上至少有两个零点 iii 若 x0 x 仿 ii 并利用 ex 可证函数 g x 在 R 上至少有两个零点 x3 6 综上所述 当 a 0 时 曲线 y f x 上存在唯一点 P ln 2a f ln 2a 曲线在该点处 的切线与曲线只有一个公共点 P 25 2012 浙江卷 已知 a 0 b R 函数 f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 i 函数 f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对 x 0 1 恒成立 求 a b 的取值范围 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当 b 0 时 有 f x 0 此时 f x 在 0 上单调递增 当 b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 11 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 此时 f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b 3a b Error 2a b a ii 由于 0 x 1 故当 b 2a 时 f x 2a b a f x 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当 b 2a 时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 设 g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1减极小值增1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 故 f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 2 由 i 知 当 0 x 1 时 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 若 2a b a 1 则由 知 f x 2a b a 1 所以 1 f x 1 对任意 0 x 1 恒成立的充要条件是 Error 即Error 或Error 在直角坐标系 aOb 中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 BC 做一组平行线 a b t t R 得 1 a b 3 所以 a b 的取值范围是 1 3 26 2012 辽宁卷 设 f x ln x 1 ax b a b R a b 为常数 曲线 y f x 与 x 1 直线 y x 在 0 0 点相切 1 求 a b 的值 2 证明 当 0 x 2 时 f x 3 2 9x x 6 解 1 由 y f x 过 0 0 点 得 b 1 由 y f x 在 0 0 点的切线斜率为 3 2 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 12 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 又 y x 0 a 得 a 0 x 0 1 x 1 1 2 x 1 a 3 2 2 证法一 由均值不等式 当 x 0 时 2 x 1 1 x 2 故 1 x 1 1x 1 x 2 记 h x f x 则 9x x 6 h x 1 x 1 1 2 x 1 54 x 6 2 2 x 1 2 x 1 54 x 6 2 x 6 4 x 1 54 x 6 2 x 6 3 216 x 1 4 x 1 x 6 2 令 g x x 6 3 216 x 1 则当 0 x 2 时 g x 3 x 6 2 216 0 因此 g x 在 0 2 内是递减函数 又由 g 0 0 得 g x 0 所以 h x 0 因此 h x 在 0 2 内是递减函数 又 h 0 0 得 h x 0 于是当 0 x 2 时 f x 9x x 6 证法二 由 1 知 f x ln x 1 1 x 1 由均值不等式 当 x 0 时 2 x 1 1 x 2 故 1 x 1 1x 1 x 2 令 k x ln x 1 x 则 k 0 0 k x 1 0 1 x 1 x x 1 故 k x 0 即 ln x 1 x 由 得 当 x 0 时 f x x 3 2 记 h x x 6 f x 9x 则当 0 x 2 时 h x f x x 6 f x 9 x x 6 9 3 2 1 x 1 1 2 x 1 3x x 1 x 6 2 18 x 1 1 2 x 1 x 1 3x x 1 x 6 18 x 1 7x 18 0 1 2 x 1 3 x 2 x 4 x 1 因此 h x 在 0 2 内单调递减 又 h 0 0 所以 h x 0 即 f x 9x x 6 27 2012 课标全国卷 已知函数 f x 满足 f x f 1 ex 1 f 0 x x2 1 2 1 求 f x 的解析式及单调区间 2 若 f x x2 ax b 求 a 1 b 的最大值 1 2 解 1 由已知得 f x f 1 ex 1 f 0 x 所以 f 1 f 1 f 0 1 即 f 0 1 又 f 0 f 1 e 1 所以 f 1 e 从而 f x ex x x2 1 2 由于 f x ex 1 x 故当 x 0 时 f x 0 从而 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 由已知条件得 ex a 1 x b 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 13 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 i 若 a 1 0 则对任意常数 b 当 x 0 且 x 时 可得 ex a 1 x0 设 g x ex a 1 x 则 g x ex a 1 当 x ln a 1 时 g x 0 从而 g x 在 ln a 1 单调递减 在 ln a 1 单调递增 故 g x 有最小值 g ln a 1 a 1 a 1 ln a 1 所以 f x x2 ax b 等价于 b a 1 a 1 ln a 1 1 2 因此 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 设 h a a 1 2 a 1 2ln a 1 则 h a a 1 1 2ln a 1 所以 h a 在 1 e 1 单调递增 在 e 1 单调递减 故 h a 在 a e 1 处取得 1 2 1 2 1 2 最大值 从而 h a 即 a 1 b 当 a e 1 b 时 式等号成立 e 2 e 2 1 2 e1 2 2 故 f x x2 ax b 综合得 a 1 b 的最大值为 1 2 e 2 28 2012 天津卷 已知函数 f x x ln x a 的最小值为 0 其中 a 0 1 求 a 的值 2 若对任意的 x 0 有 f x kx2成立 求实数 k 的最小值 3 证明 ln 2n 1 2 n N n i 1 2 2i 1 解 1 f x 的定义域为 a f x 1 1 x a x a 1 x a 由 f x 0 得 x 1 a a 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x a 1 a 1 a 1 a f x 0 f x 极小值 因此 f x 在 x 1 a 处取得最小值 故由题意 f 1 a 1 a 0 所以 a 1 2 当 k 0 时 取 x 1 有 f 1 1 ln2 0 故 k 0 不合题意 当 k 0 时 令 g x f x kx2 即 g x x ln x 1 kx2 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 14 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 g x 2kx 令 g x 0 得 x1 0 x2 1 x x 1 x 2kx 1 2k x 1 1 2k 2k 当 k 时 0 g x 0 在 0 上恒成立 因此 g x 在 0 上单调递减 1 2 1 2k 2k 从而对任意的 x 0 总有 g x g 0 0 即 f x kx2在 0 上恒成立 故 k 符 1 2 合题意 当 0 k 时 0 对于 x g x 0 故 g x 在内单调递增 1 2 1 2k 2k 0 1 2k 2k 0 1 2k 2k 因此当取 x0 时 g x0 g 0 0 即 f x0 kx 不成立 故 0 k 不合题意 0 1 2k 2k 2 0 1 2 综上 k 的最小值为 1 2 3 证明 当 n 1 时 不等式左边 2 ln3 2 右边 所以不等式成立 当 n 2 时 ln 2i 1 ln 2i 1 n i 1 f 2 2i 1 n i 1 2 2i 1 ln 1 2 2i 1 n i 1 2 2i 1 n i 1 ln 2n 1 n i 1 2 2i 1 在 2 中取 k 得 f x x 0 从而 f i N i 2 1 2 x2 2 2 2i 1 2 2i 1 2 2 2i 3 2i 1 所以有 ln 2n 1 f 2 n i 1 2 2i 1 n i 1 f 2 2i 1 2 ln3 2 ln3 2 ln3 1 n i 2 f 2 2i 1 n i 2 2 2i 3 2i 1 n i 2 1 2i 3 1 2i 1 2 1 2n 1 综上 ln 2n 1 2 n N n i 1 2 2i 1 29 2012 安徽卷 设函数 f x aex b a 0 1 求 f x 在 0 内的最小值 1 aex 2 设曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y x 求 a b 的值 3 2 解 1 f x aex 当 f x 0 即 x lna 时 f x 在 lna 上递增 1 aex 当 f x 0 即 x lna 时 f x 在 lna 上递减 当 0 a 1 时 lna 0 f x 在 0 lna 上递减 在 lna 上递增 从而 f x 在 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 15 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 上的最小值为 f lna 2 b 0 当 a 1 时 lna 0 f x 在上递增 从而 f x 在 0 上的最小值为 f 0 0 a b 1 a 2 依题意 f 2 ae2 解得 ae2 2 或 ae2 舍去 1 ae2 3 2 1 2 所以 a 代入原函数可得 2 b 3 即 b 2 e2 1 2 1 2 故 a b 2 e2 1 2 30 设函数 f x ax cosx x 0 1 讨论 f x 的单调性 2 设 f x 1 sinx 求 a 的取 值范围 解 1 f x a sinx 当 a 1 时 f x 0 且仅当 a 1 x 时 f x 0 所以 f x 在 0 上是增函数 2 当 a 0 时 f x 0 且仅当 a 0 x 0 或 x 时 f x 0 所以 f x 在 0 上是减函 数 当 0 a 1 时 由 f x 0 解得 x1 arcsina x2 arcsina 当 x 0 x1 时 sinx0 f x 是增函数 当 x x1 x2 时 sinx a f x 0 f x 是减函数 当 x x2 时 sinx0 f x 是增函数 2 由 f x 1 sinx 得 f 1 a 1 1 所以 a 2 令 g x sinx x 则 g x cosx 2 0 x 2 2 当 x 时 g x 0 当 x 时 g x 0 其中 r 为有理数 且 0 r 1 求 f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 设 a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若 b1 b2 1 则 ab11ab22 a1b1 a2b2 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 解 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令 f x 0 解得 x 1 当 0 x 1 时 f x 0 所以 f x 在 0 1 内是减函数 当 x 1 时 f x 0 所以 f x 在 1 内是增函数 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 16 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 故函数 f x 在 x 1 处取得最小值 f 1 0 2 由 1 知 当 x 0 时 有 f x f 1 0 即 xr rx 1 r 若 a1 a2中有一个为 0 则 ab11ab22 a1b1 a2b2成立 若 a1 a2均不为 0 又 b1 b2 1 可得 b2 1 b1 于是 在 中令 x r b1 可得b1 b1 1 b1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 即 ab11a1 b12 a1b1 a2 1 b1 亦即 ab11ab22 a1b1 a2b2 综上 对 a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数且 b1 b2 1 总有 ab11ab22 a1b1 a2b2 3 2 中命题的推广形式为 若 a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若 b1 b1 bn 1 则 ab11ab22 abnn a1b1 a2b2 anbn 用数学归纳法证明如下 当 n 1 时 b1 1 有 a1 a1 成立 假设当 n k 时 成立 即若 a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 且 b1 b2 bk 1 则 ab11ab22 abkk a1b1 a2b2 akbk 当 n k 1 时 已知 a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1为正有理数 且 b1 b2 bk bk 1 1 此时 0 bk 1 1 即 1 bk 1 0 于是 ab11ab22 abkkabk 1k 1 ab11ab22 abkk abk 1k 1 a 1a2 ak 1 bk 1abk 1k 1 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 因 1 由归纳假设可得 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 a 1a2 ak a1 a2 ak b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 b1 1 bk 1 b2 1 bk 1 bk 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 从而 ab11ab22 abkkabk 1k 1 1 bk 1abk 1k 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得 1 bk 1abk 1k 1 1 bk 1 ak 1bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk 1 bk 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 从而 ab11ab22 abkkabk 1k 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当 n k 1 时 成立 由 可知 对一切正整数 n 所推广的命题成立 说明 3 中如果推广形式中指出 式对 n 2 成立 则后续证明中不需讨论 n 1 的情况 32 2012 广东卷 设 a0 B x R 2x2 3 1 a x 6a 0 D A B 1 求集合 D 用区间表示 2 求函数 f x 2x3 3 1 a x2 6ax 在 D 内的极值点 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 17 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 解 1 x D x 0 且 2x2 3 1 a x 6a 0 令 h x 2x2 3 1 a x 6a 9 1 a 2 48a 3 3a 1 a 3 当 a 1 时 0 B R 于是 D A B A 0 当 a 时 0 此时方程 h x 0 有唯一解 1 3 x1 x2 1 B 1 1 3 1 a 4 3 1 1 3 4 于是 D A B 0 1 1 当 a0 此时方程 h x 0 有两个不同的解 1 3 x1 x2 3 3a 3 3a 1 a 3 4 3 3a 3 3a 1 a 3 4 x10 B x1 x2 又 x1 0 a 0 所以 i 当 0 a 时 D A B 0 x1 x2 1 3 ii 当 a 0 时 D x2 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x 1 x a 当 a 1 时 f x 在 R 上的单调性如下表 x a a a 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 当 a 1 时 D 0 1 3 由表可得 x a 为 f x 在 D 内的极大值点 x 1 为 f x 在 D 内的极小值点 当 a 时 D 0 1 1 由表可得 x 为 f x 在 D 内的极大值点 1 3 1 3 当 0 aa 且 x1 1 3 3a 1 3a 4 a D 1 D 由表可得 x a 为 f x 在 D 内的极大值点 当 a 0 时 D x2 且 x2 1 由表可得 f x 在 D 内单调递增 因此 f x 在 D 内没有极值点 33 2012 北京卷 已知函数 f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求 a b 的值 2 当 a2 4b 时 求函数 f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以 f 1 g 1 且 f 1 g 1 即 a 1 1 b 且 2a 3 b 解得 a 3 b 3 2 记 h x f x g x 当 b a2时 h x x3 ax2 a2x 1 1 4 1 4 h x 3x2 2ax a2 令 h x 0 得 x1 x2 1 4 a 2 a 6 a 0 时 h x 与 h x 的情况如下 x a 2 a 2 a 2 a 6 a 6 a 6 h x 0 0 h x 所以函数 h x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 a 2 a 6 a 2 a 6 当 1 即 0 a 2 时 函数 h x 在区间 1 上单调递增 h x 在区间 1 a 2 上的最大值为 h 1 a a2 当 1 且 1 即 2 a 6 时 1 4 a 2 a 6 函数 h x 在区间内单调递增 在区间上单调递减 h x 在区间 a 2 a 2 1 1 上的最大值为 h 1 a 2 当 6 时 函数 h x 在区间内单调递增 在区间内单调递 a 6 a 2 a 2 a 6 减 在区间上单调递增 a 6 1 又因 h h 1 1 a a2 a 2 2 0 a 2 1 4 1 4 所以 h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a 2 34 2012 福建卷 已知函数 f x ex ax2 ex a R 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 求函数 f x 的单调区间 2 试确定 a 的取值范围 使得曲线 y f x 上存在唯一的点 P 曲线在该点处的切线与曲线 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 19 页 共 311 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 只有一个公共点 P 解 1 由于 f x ex 2ax e 曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线斜率 k 2a 0 所以 a 0 即 f x ex ex 此时 f x ex e 由 f x 0 得 x 1 当 x 1 时 有 f x 0 所以 f x 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 2 设点 P x0 f x0 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为 y f x0 x x0 f x0 令 g x f x f x0 x x0 f x0 故曲线 y f x 在点 P 处的切线与曲线只有一个公共点 P 等价于函数 g x 有唯一零点 因为 g x0 0 且 g x f x f x0 ex ex0 2a x x0 若 a 0 当 x x0时 g x 0 则 x x0时 g x g x0 0 当 x x0时 g x 0 则 x x0时 g x g x0 0 故 g x 只有唯一零点 x x0 由于 x0具有任意性 不符合 P 的唯一性 故 a 0 不合题意 若 a 0 令 h x ex ex0 2a x x0 则 h x0 0 h x ex 2a 令 h x 0 得 x ln 2a 记 x ln 2a 则当 x x 时 h x 0 从而 h x 在 x 内单调递减 当 x x 时 h x 0 从而 h x 在 x 内单调递增 i 若 x0 x 由 x x 时 g x h x h x 0 x x 时 g x h x h x 0 知 g x 在 R 上单调递增 所以函数 g x 在 R 上有且只有一个零点 x x ii 若 x0 x 由于 h x 在 x 内单调递增 且 h x0 0 则当 x x x0 时有 g x h x h x0 0 g x g x0 0 任取 x1 x x0 有 g x1 0 又当 x x1 时 易知 g x ex ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ex1 ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ax2 bx c 其中 b e f x0 c ex1 f x0 x0f x0 由于 a 0 则必存在 x2 x1 使得 ax bx2 c 0 2 2 所以 g x2 0 故 g x 在 x2 x1 内存在零点 即 g x 在 R 上至少有两个零点 iii 若 x0 x 仿 ii 并利用 ex 可证函数 g x 在 R 上至少有两个零点 x3 6 综上所述 当 a 0 时 曲线 y f x 上存在唯一点 P ln 2a f ln 2a 曲线在该点处 的切线与曲线只有一个公共点 P 35 2012 江西卷 若函数 h x 满足 h 0 1 h 1 0 对任意 a 0 1 有 h h a a 在 0 1 上单调递减 则称 h x 为补函数 已知函数 h x 1 p 0 1 xp 1 xp 1 p 1 判断函数 h x 是否为补函数 并证明你的结论 2 若存在 m 0 1 使 h m m 称 m 是函数 h x 的中介元 记 p n N 时 h x 的中介 1 n 元为 xn 且 Sn i 若对任意的 n N 都有 Sn 1 p 0 所以当 x 0 1 时 g x 1 且 0 时 由 得 x 0 1 或 x 0 1 1 n 1 1 1 1 n 1 1 1 得中介元 xn n 1 1 1 综合 i ii 对任意的 1 中介元为 xn n n N 1 1 1 于是 当 1 时 有 Sn i n i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 当 n 无限增大时 n无限接近于 0 Sn无限接近于 1 1 1 1 1 故对任意的 n N Sn 成立等价于 即 3 1 2 1 1 1 2 3 当 0 时 h x 1 xp 中介元为 xp 1 p 1 2 1 p i 当 01 时 依题意只需 1 xp 1 x 在 x 0 1 时恒成立 1 p 也即 xp 1 x p 1 在 x 0 1 时恒成立 设 x xp 1 x p x 0 1 则 x p xp 1 1 x p 1 由 x 0 得 x 且当 x 时 x 0 1 2 0 1 2 1 2 1 又因为 0 1 1 所以当 x 0 1 时 x 0 g x 0 当 x 1 时 h x 0 所以 x 0 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 g x 1 e 2等价于 1 x xlnx0 h x 单调递增 当 x e 2 时 h x 0 x 单调递增 x 0 0 故 x 0 时 x ex x 1 0 即 1 所以 1 x xlnx 1 e 20 g x k 综上所述 存在 x0 x1 x2 使 f x0 k 成 1 aln eax2 eax1 a x2 x1 x2 立 且 x0的取值范围为 1 aln eax2 eax1 a x2 x1 x2 41 2012 江苏卷 若函数 y f x 在 x x0处取得极大值或极小值 则称 x0为函数 y f x 的