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立体几何复习 1 平行问题 垂直问题 角度问题 距离问题 柱锥问题 体积面积问题 多面体与球的问题 生活问题和翻折问题 综合问题 2 平行问题 返回 3 直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系 返回 4 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 返回 5 平行于同一平面的二直线的位置关系是 A 一定平行 B 平行或相交 C 相交 D 平行 相交 异面 D 返回 6 1 点A是平面 外的一点 过A和平面 平行的直线有条 无数 返回 7 2 点A是直线l外的一点 过A和直线l平行的平面有个 无数 返回 8 3 过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个 无数 返回 9 4 过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个 且仅有一 返回 10 5 如果l1 l2 l1平行于平面 则l2平面 l1 或 返回 11 6 如果两直线a b相交 a平行于平面 则b与平面 的位置关系是 a 相交或平行 返回 12 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 情况一 返回 13 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 情况二 返回 14 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 D 情况三 返回 15 例 有以下四个命题 若一条直线与另一条直线平行 则它就与经过另一条直线的平面平行 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线平行于这个平面 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则此直线必垂直于这个平面 平面内两条平行直线 若其中一条直线与一个平面平行 则另一条直线也与这个平面平行 其中正确命题的个数是 A A 0B 1C 2D 3 返回 16 解 不正确 若一条直线与另一条直线平行 则这条直线可能与经过另一条直线的平面平行 也可能在平面内 不正确 与 相仿 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线可能平行于这个平面 也可能在平面内 返回 17 不正确 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 如果在平面内的两条直线平行 则无法判断直线是否垂直于这个平面 不正确 与 相仿 该直线仍有可能在平面内 所以四个命题都是错误的 选A 返回 18 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 返回 19 线面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 已知 a b a b 求证 a a b 1 a b确定平面 b 2 假设a与 不平行 则a与 有公共点P 则P b 3 这与已知a b矛盾 4 a 返回 20 如图 空间四面体P ABC M N分别是面PCA和面PBC的重心 求证 MN 面BCA P MN EF MN 面BCA 线线平行 线面平行 返回 21 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 面BCE A B C D E F M N MN GH MN 面BCE 线线平行 线面平行 返回 22 A B C D E F M N AFN BNH AN NH FN BN AN NH AM MC MN CH MN 平面BCE 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 平面BCE 返回 23 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为DD1的中点 求证 DB1 平面A1C1E E DB1 EF DB1 平面A1C1E 线线平行 线面平行 返回 24 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为平面ADD1A1的中心 求证 CO 平面A1C1B B1 O 返回 25 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 返回 26 已知 a a b 求证 a b b b a a b a b 返回 27 如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行 则另一条直线与这个平面也平行 a b c 返回 28 如果一条直线和两个相交平面都平行 则这条直线与它们的交线平行 a l 已知 a a l 求证 a l 返回 29 a b A B O M N P 如图 a b是异面直线 O为AB的中点 过点O作平面 与两异面直线a b都平行MN交平面于点P 求证 MP PN 返回 30 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 返回 31 二 两个平面平行的性质 4 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 2 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相交 它们的交线平行 两个平面平行 5 夹在两个平行平面间的平行线段相等 1 两个平面没有公共点 返回 32 判断下列命题是否正确 1 平行于同一直线的两平面平行 2 垂直于同一直线的两平面平行 3 与同一直线成等角的两平面平行 返回 33 4 垂直于同一平面的两平面平行 5 若 则平面 内任一直线a 返回 34 2 如图 设AB CD为夹在两个平行平面 之间的线段 且直线AB CD为异面直线 M P分别为AB CD的中点 求证 直线MP 平面 返回 35 例 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面AB1D1 平面BDC1 证明 B1D1 AB1 B1 平面AB1D1 平面BDC1 线 线 线 面 面 面 返回 36 证法2 A1C BD BD BC1 B A1C 平面BDC1 平面AB1D1 平面BDC1 返回 37 变形1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别为A1D1 A1B1 A1A的中点 求证 面EFG 面BDC1 变形2 若O为BD上的点求证 OC1 平面EFG O 面 面 由上知平面EFG 平面BDC1 线 面 OC1 平面EFG 证明 返回 38 变形3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别为A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 求证 平面AEF 平面BDMN 返回 39 小结 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 返回 40 已知 四面体A BCD E F G分别为AB AC AD的中点 求证 平面EFG 平面BCD 练习 返回 41 垂直问题 42 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 返回 43 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 返回 44 填空 1 l m l m 2 n m m与n l m l n l 3 l m l m 4 l m l m 相交 返回 45 P A B C 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 1 BC 平面PAC 返回 46 P A B C 2 若AH PC 则AH 面PBC 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 返回 47 O 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为下底面的中心 求证 AC 平面D1B1BD 返回 48 O H 在正方体AC1中 O为下底面的中心 B1H D1O 求证 B1H 平面D1AC 返回 49 返回 50 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 返回 51 如图 C为以AB为直径的圆周上一点 PA 面ABC 找出图中互相垂直的平面 PA 平面ABC 平面PAC 平面ABC 平面PAB 平面ABC BC 平面PAC 平面PBC 平面PAC 返回 52 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 返回 53 求证 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 返回 54 四面体ABCD中 平面ADC 平面BCD 平面ABD 平面BCD 设DE是BC边上的高 求证 平面ADE 平面ABC 平面ADC 平面BCD 平面ABD 平面BCD AD 平面BCD AD BC DE BC BC 平面ADE 平面ABC 平面ADE 返回 55 课堂练习 课堂练习 空间四面体ABCD中 若AB BC AD CD E为AC的中点 则有 A 平面ABD 平面BCD B 平面BCD 平面ABC C 平面ACD 平面ABC D 平面ACD 平面BDE 返回 56 如图 ABCD是正方形 PA 面ABCD 连接PB PC PD AC BD 问图中有几对互相垂直的平面 平面PAC 平面ABCD 平面PAB 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面PAB 平面PAD 平面PCD 平面PBC 平面PAB 平面PBD 平面PAC 返回 57 如图 三棱锥P ABC中 PB 底面ABC ACB 90 PB BC CA E为PC中点 返回 58 如图 四棱锥P ABCD的底面是菱形 PA 底面ABCD BAD 120 E为PC上任意一点 返回 59 例 如图 在四面体SABC中 ASC 90 ASB BSC 60 SA SB SC 求证 平面ASC 平面ABC 返回 60 证明 容易证得AB BC SB 取AC中点D 连SD BD 得SD AC BD AC 由 ASC 90 设SA SB SC a 解得SD a BD a 而SB a SDB 90 平面ASC 平面ABC 返回 61 角度问题 62 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 63 a b O是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上 o o o o o 返回 64 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 65 B A 返回 66 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 返回 67 A B O 返回 68 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A L B O 返回 69 二 数学思想 方法 步骤 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化 即把空间的角转化为平面的角 进而转化为三角形的内角 然后通过解三角形求得 2 方法 3 步骤 b 求直线与平面所成的角 a 求异面直线所成的角 c 求二面角的大小 作 找 证 点 算 1 数学思想 返回 70 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线A1B和B1C所成的角 A1B和B1C所成的角为60 和A1B成角为60 的面对角线共有条 返回 71 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线D1B和B1C所成的角 A B D C A1 B1 D1 C1 返回 72 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1A和B1B的中点 求异面直线CM和D1N所成的角 M N 返回 73 P A B C M N 空间四边形P ABC中 M N分别是PB AC的中点 PA BC 4 MN 3 求PA与BC所成的角 返回 74 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E G分别是AA1和CC1的中点 F在AB上 且C1E EF 则EF与GD所成的角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 D M EB1是EC1在平面AB1内的射影 EB1 EFDG AM EB1EF DG 返回 75 A1 A B B1 C D C1 D1 F E 解 如图 取AB的中点G O 证 点 算 作 例1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD中点 求AE与D1F所成的角 返回 76 例2 长方体ABCD A1B1C1D1 AB AA1 2cm AD 1cm 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 返回 77 取BB1的中点M 连O1M 则O1M D1B 如图 连B1D1与A1C1交于O1 于是 A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角 或其补角 O1 M 解 为什么 返回 78 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 返回 79 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 在 A1C1E中 由余弦定理得 A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 BC1的长方体B1F 返回 80 例 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 异面直线AC与BC1所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 返回 81 例 如图 正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等 如果E F分别为SC AB的中点 那么异面直线EF与SA所成角等于 A 90 B 60 C 45 D 30 返回 82 解 取AC的中点G 连接EG FG EG SA GEF是异面直线EF与SA所成角 又FG BC SA BC EGF 90 EGF是直角三角形 又EG SA FG BC EG FG EGF是等腰直角三角形 GEF 45 选C 返回 83 正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD交于O 则OB1与A1C1所成的角的度数为 例 900 返回 84 定角一般方法有 1 平移法 常用方法 小结 1 求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角 体现了化归的数学思想 2 当异面直线垂直时 还可应用线面垂直的有关知识解决 2 补形法 化归的一般步骤是 定角 求角 返回 85 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 返回 86 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 返回 87 若斜线段AB的长度是它在平面 内的射影长的2倍 则AB与 所成的角为 60 返回 88 最小角原理 C 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 返回 89 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 返回 90 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD所成的角 O 返回 91 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为下底面AC的中心 求A1O与平面BB1D1D所成的角 O O 返回 92 正四面体P ABC中 求侧棱PA与底面ABC所成的角 P A B C D 返回 例题 93 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 返回 94 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 返回 95 基础题例题 1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角 其中 正确命题的序号是 返回 96 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角B1 AA1 C1的大小为 二面角B AA1 D的大小为 二面角C1 BD C的正切值是 45 90 基础题例题 返回 97 3 在二面角 l 的一个平面 内有一条直线AB 它与棱l所成的角为45 与平面 所成的角为30 则这个二面角的大小是 45 或135 基础题例题 返回 98 B 4 在二面角 l 内 过l作一个半平面 使二面角 l 为45 二面角 l 为30 则 内的任意一点P到平面 与平面 的距离之比为 A B C D 基础题例题 返回 99 基础题例题 5 PA PB PC是从P点引出的三条射线 每两条的夹角都是60o 则二面角B PA C的余弦值是 A B C D A 返回 100 A B C A M 已知 如图 ABC的顶点A在平面M上的射影为点A ABC的面积是S A BC的面积是S 设二面角A BC A 为 求证 COS S S 返回 101 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角D1 AC D的大小 返回 102 7 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 AC BC A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M 又知AA1与底面ABC所成的角为60 1 求证 BC 平面AA1C1C 2 求二面角B AA1 C的大小 能力 思维 方法 返回 103 7 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 AC BC A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M 又知AA1与底面ABC所成的角为60 1 求证 BC 平面AA1C1C 2 求二面角B AA1 C的大小 能力 思维 方法 证明 1 由题设知 A1M 平面ABC 又A1M平面AA1C1C 1 平面AA1C1C 底面ABC 又BC AC 平面AA1C1C 平面ABC AC BC 平面AA1C1C 返回 104 7 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 AC BC A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M 又知AA1与底面ABC所成的角为60 1 求证 BC 平面AA1C1C 2 求二面角B AA1 C的大小 能力 思维 方法 证明 2 由题设知 A1M 平面ABC AA1与底面ABC所成角为 A1AC A1AC 60o 又M是AC中点 AA1C是正三角形 作CN AA1于N 点N是AA1的中点 连接BN 由BC 平面AA1C1C BC AA1 AA1 平面BNC AA1 BN BNC是二面角B AA1 C的平面角 返回 105 7 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 AC BC A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M 又知AA1与底面ABC所成的角为60 1 求证 BC 平面AA1C1C 2 求二面角B AA1 C的大小 能力 思维 方法 设AC BC a 正三角形AA1C的边长为a 在直角三角形BNC中 二面角B AA1 C的大小是 返回 106 解题回顾 先由第 1 小题的结论易知BC AA1 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角 BNC 将题设中 AA1与底面ABC所成的角为60 改为 BA1 AC1 仍可证得三角形AA1C为正三角形 所求二面角仍为 本题的解答也可利用三垂线定理来推理 能力 思维 方法 返回 107 ABC中 AB BC SA 平面ABC DE垂直平分SC 又SA AB SB BC 求二面角E BD C的大小 S A B C E D 返回 108 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 3 4 H 返回 109 2 求二面角A PC B的大小 COS 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 返回 110 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 E F 返回 111 E F 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 返回 112 已知正方形ABCD中 AC BD相交于O点 若将正方形ABCD沿对角线BD折成60 的二面角后 给出下面4个结论 AC BD AD CO AOC为正三角形 过B点作直线l 平面BCD 则直线l 平面AOC 其中正确命题的序号是 基础题例题 返回 113 1 在四面体P ABC中 PC 平面ABC AB BC CA PC 求二面角B AP C的大小 E F 解 如图过B作BE AC于E 过E作EF PA于F 连结BF PC 平面ABC BE 平面PAC BF PA BFE就是二面角B PA C的平面角 设PC 1则AB BC CA PC 1 E为AC的中点 所求二面角大小为 能力 思维 方法 返回 114 能力 思维 方法 2 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 返回 115 能力 思维 方法 2 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 证明 1 D AC B是直二面角 又 DC AC DC 平面ABC 面面垂直性质定理 又AB平面ABC DC AB 又AB BC AB 平面BCD A B C D 返回 116 能力 思维 方法 2 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 证明 2 过C作CH DB于H 平面ABD 平面DCB CH 平面ABD AB 平面BCD 又 平面ABD 平面DCB DB B H 过H作HE AD于E E 连接CE 由三垂线定理知CE AD HE AD CE AD CEH是所求二面角的平面角 CEH 60o 即所求二面角为60o 返回 117 解题回顾 准确画出折叠后的图形 弄清有关点 线之间的位置关系 便可知这是一个常见空间图形 四个面都是直角三角形的四面体 能力 思维 方法 返回 118 例 A为二面角 l 的棱l上一点 射线AB 且与棱成45 角 与 成30 角 则二面角 l 的大小是 A 45 B 30 C 45 或135 D 30 或150 提示 分锐二面角和钝二面角两种情况讨论 返回 119 sin BCD BCD 45 返回 120 如图 2 若二面角 l 是钝二面角 自B作BD D为垂足 作BC l于C C为垂足 连接CD 延长DC到E 则由三垂线定理得CE l BCE是二面角 l 的平面角 而 BCD是二面角 l 的平面角的补角 由 1 解得 BCD 45 BCE 135 即二面角的大小是45 或135 选C 返回 121 3 在直角梯形P1DCB中 P1D CB CD P1D P1D 6 BC 3 DC 3 A是P1D的中点 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置 使二面角P CD B成45 设E F分别为AB PD的中点 1 求证 AF 平面PEC 2 求二面角P BC A的大小 能力 思维 方法 E F P 证明 1 取PC的中点G G 连接FG EG 则FG CD 且FG CD AE CD 且AE CD AE FG AE FG 从而四边形AEGF是平行四边形 AF EG EG平面PEC AF 平面PEC 返回 122 3 在直角梯形P1DCB中 P1D CB CD P1D P1D 6 BC 3 DC 3 A是P1D的中点 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置 使二面角P CD B成45 设E F分别为AB PD的中点 1 求证 AF 平面PEC 2 求二面角P BC A的大小 能力 思维 方法 P 证明 2 CD 平面PAD 平面PAD 平面ABCD PAB为二面角P BC A的平面角 在Rt PAB中 PA 3 PB PA AD 且 PDA 45o PA AD PA 平面ABCD AB BC 由三垂线定理得PB BC sin PBA 得所求的二面角为60o 返回 123 解题回顾 找二面角的平面角时不要盲目去作 而应首先由题设去分析 题目中是否已有 能力 思维 方法 返回 124 4 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BC的中点 求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 A D B C B1 A1 D1 C1 E 解题分析 所求二面角 无棱 要么先找 棱 要么用面积投影 解法一 取B1C1的中点M M 连接EM E为BC的中点 EM 平面A1B1D1 B1D1M是 D1B1E的射影三角形 设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的二面角为 平面ABCD 平面A1B1C1D1 平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角也为 设正方体棱长为a 所求二面角的正弦值为 返回 125 4 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BC的中点 求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 A D B C B1 A1 D1 C1 F 解法二 取BC的中点F M 连接BD EF 所求二面角的正弦值为 E E为BC的中点 EF BD BD B1D1 EF B1D1 EF B1D1共面 平面ABCD 平面EB1D1F EF 作BG EF交FE的延长线于G G 连接B1G 则 B1GB是平面B1D1E 和平面ABCD所成二面角的平面角 设正方体棱长为a 则BE BG 在Rt B1BG中 B1G 返回 126 解题回顾 解法一利用公式 思路简单明了 但计算量较解法二大 解法二的关键是确定二面角的棱 再通过三垂线定理作出平面角 最终解直角三角形可求出 能力 思维 方法 返回 127 例 如图 已知在正三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱长大于底面边长 M N分别在侧棱AA1 BB1上 且B1N A1B1 2A1M 求截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角的大小 返回 128 返回 129 距离问题 130 一 知识概念 1 距离定义 1 点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离 2 点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离 3 两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长 叫做两条平行线间的距离 返回 131 4 两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线 叫两条异面直线的公垂线 公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度 叫两异面直线的距离 5 直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行 那么直线上各点到这个平面的距离相等 且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 6 两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线 叫这两个平行平面的公垂线 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离 返回 132 2 求距离的步骤 1 找出或作出有关距离的图形 2 证明它们符合定义 3 在平面图形内进行计算 返回 133 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 1 A到CD1的距离 D 点 线 返回 134 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 1 A到CD1的距离 D 2 A到BD1的距离 返回 135 点 线 A B C D A1 B1 C1 D1 H 已知 长方体AC1中 AB a AA1 AD b 求点C1到BD的距离 C1H 返回 136 线 线 A B C D E F 矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交 EF 5 AD 13 求平行线AB和CD的距离 返回 137 点 面 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 返回 138 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O OA OB OC O为三角形ABC的外心 返回 139 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的垂心 D O 返回 140 已知三棱锥P ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的内心 O E F 返回 141 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC试判断点P在底面ABC的射影的位置 外心 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直 试判断点P在底面ABC的射影的位置 垂心 已知三棱锥P ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等 试判断点P在底面ABC的射影的位置 内心 P A B C O 返回 142 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 D 1 A到面A1B1CD 返回 143 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 D 1 A到面A1B1CD 2 A到平面BB1D1 返回 144 棱长为1的正四面体P ABC中 求点P到平面ABC的距离 A B C O P 返回 145 4 如图 已知P为 ABC外一点 PA PB PC两两垂直 且PA PB PC 3 求P点到平面ABC的距离 返回 146 3 如图 AB是 O的直径 PA 平面 O C为圆周上一点 若AB 5 AC 2 求B到平面PAC的距离 返回 147 直角三角形ACB确定平面 点P在平面 外 若点P到直角顶点C的距离是24 到两直角边的距离都是6 求点P到平面 的距离 P A B C E F O 返回 148 A B E F D C P Z 返回 149 线 面 一条直线和一个平面平行时 直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 返回 150 例 已知一条直线l和一个平面 平行 求证 直线l上各点到平面 的距离相等 A A B B l 返回 151 l A A B 返回 152 如果一条直线上有两个点到平面的距离相等 则这条直线和平面平行吗 判断题 返回 153 空间四面体ABCD 问和点A B C D距离相等的平面有几个 A B C D 4 A B C D 3 返回 154 5 如图 已知在长方体ABCD A B C D 中 棱AA 5 AB 12 求直线B C 到平面A BCD 的距离 练习 返回 155 A B C D P F E 已知 ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AD AB的中点 PC 面ABCD PC 2 求点B到平面PEF的距离 G O H 点 线 点 面 线 面 综合练习 返回 156 例3 如图 已知ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AB AD的中点 PC垂直平面ABCD 且PC 2 求点B到平面EFP的距离 解 连AC BD 设交于O 设AC交EF于H O H 连PH 因为BD 平面PEF 所以求B到平面的距离 可转化为求BD到平面的距离 过O作OK 平面PEF 可证明OK就是所要求的距离 K 此时 得用 OKH PCH 容易求得OK的值 返回 157 两个平行平面的距离 A B A B 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 直线AA BB 都是它们的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 返回 158 返回 159 题型讲练 思考 在边长为1的正方体中 M N E F分别 放飞思维的翅膀 是棱的中点 1 求证 平面面 2 求 平面与面的距离 返回 160 思考题 1999 如图 已知正四棱柱ABCD A B C D 中 点E在棱DD 上 截面EAC D B 且面EAC与底面ABCD所成的角为450 AB a 1 求截面EAC的面积 2 求异面直线A B 与AC的距离 返回 161 二 例 例1 在600二面角M N内有一点P P到平面M 平面N的距离分别为1和2 求P到直线a距离 解 设PA PB分别垂直平面M 平面N与A B PA PB所确定的平面为 且平面 交直线a与Q 设PQ x 在直角 PAQ中sin AQP 1 x在RT PBQ中sin AQP 2 x cos600 cos AQP AQP 由此可得关于x的方程 最后可解得 返回 162 例2 菱形ABCD中 BAD 600 AB 10 PA 平面ABCD 且PA 5 求 1 P到CD的距离 2 P到BD的距离 3 P到AD的距离 4 求PC的中点到平面PAD的距离 1 过P作CD的垂线 交CD的延长线于E 连AE E 2 连BD 交AC于O 连PO O 返回 163 1 是两个平行平面 a b a与b之间的距离为d1 与 之间的距离为d2 则 A d d2 B d d2 C d1 d2 D d d2 基础题例题 D 2 一副三角板如图拼接 使两个三角板所在的平面互相垂直 如果公共边AC a 则异面直线AB与CD的距离是 A B a C D C 返回 164 3 ABC中 AB 9 AC 15 BAC 120 ABC所在平面外一点P到三个顶点A B C的距离都是14 那么点P到平面 的距离为 A 7 B 9 C 11 D 13 A 基础题例题 4 在长方体 中 已知AB 4 AA1 3 AD 1 则点C1到直线A1B的距离为 返回 165 5 已知Rt ABC的直角顶点C在平面 内 斜边AB AB 2 6 AC BC分别和平面 成45 和30 角 则AB到平面 的距离为 2 基础题例题 6 在二面角 l 的半平面 内有一点A到棱l的距离为2 到半面 所在平面的距离等于1 则这个二面角的度数为 30o或150o 返回 166 2 已知四面体ABCD AB AC AD 6 BC 3 CD 4 BD 5 求点A到平面BCD的距离 练习 A B D 返回 167 7 平面 内的 MON 60 PO是平面 的斜线段 PO 3 且PO与 MON的两边都成45 的角 则点P到 的距离为 A B C D A 基础题例题 8 直线EF平行于平面 内的两条直线AB和CD EF与 的距离为15 与AB的距离为17 又AB与CD的距离是28 则EF与CD的距离是 25或39 返回 168 9 已知平面 AB AB A B 直线a b a b A到a的距离为2 B到b的距离为5 AB 4 则a b间的距离为 基础题例题 a b a b A B A B 返回 169 11 在棱长为1的正方体中 1 求点A到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线AB与平面的距离 能力 思维 方法 A C D B A1 B1 D1 C1 O 解析 连AC BD交于O AO BD 又AO DD1 AO 平面BD1 AO的长即为所求 返回 170 11 在棱长为1的正方体中 1 求点A到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线AB与平面的距离 能力 思维 方法 A C D B A1 B1 D1 C1 O E 易知平面A1ACC1 平面AB1D1在矩形AA1CC1中 易知A1C O1A设A1E AO1于E A1E 平面AB1D1 A1E为所求 返回 171 11 在棱长为1的正方体中 1 求点A到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线AB与平面的距离 能力 思维 方法 A C D B A1 B1 D1 C1 E F 易知A1C 平面AB1D1A1C 平面BC1D设直线A1C分别交平面AB1D1 平面BC1D于点E F 则EF的长为所求 返回 172 11 在棱长为1的正方体中 1 求点A到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线AB与平面的距离 能力 思维 方法 A C D B A1 B1 D1 C1 G 因为直线AB 平面CDA1B1 点B到平面CDA1B1的距离BG就是所求的距离 G是BC1与B1C的交点 BG B1C BG CD 直线BG 平面A1B1CD 此距离为 返回 173 解题回顾 1 求距离的一般步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它就是要求的距离 然后再计算 其中第二步的证明易被忽视 应引起重视 2 求距离问题体现了化归与转化的思想 一般情况下需要转化为解三角形 能力 思维 方法 返回 174 12 已知如图 边长为a的菱形ABCD中 ABC 60 PC 平面ABCD E是PA的中点 求E到平面PBC的距离 能力 思维 方法 解 E是PA的中点 E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离的一半 由PC 平面ABCD 得到平面PBC 平面ABCD 在平面ABCD内作AH BC 交BC于H 则AH H 所求距离为 返回 175 12 已知如图 边长为a的菱形ABCD中 ABC 60 PC 平面ABCD E是PA的中点 求E到平面PBC的距离 能力 思维 方法 G O 返回 176 距离离不开垂直 因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系 平面与垂直 与解三角形的过程 值得注意的是 作 证 算 答 是立体几何计算题不可缺少的步骤 尤其是证明那一步 误解分析 返回 177 13 在120 的二面角内有一点P 它到二面角的两个面的距离分别是3cm和4cm 求它在 和 内的射影的距离和这点到l的距离 能力 思维 方法 解析 设P到 的射影分别是M N 则PM 3cm PN 4cm 过P M N作平面 交l于Q则l l QM l QN MQN为二面角 l 的平面角 MQN 120 M N 180 P M Q N四点共圆 MPN 180 120 60 P到l的距离是 MN 返回 178 棱柱问题 棱锥问题 179 复习 知识网络 底面 对角线 高 侧面 侧棱 顶点 棱柱 概念 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体 体积V Sh 返回 180 复习 知识网络 棱柱 分类 斜棱柱 直棱柱 正棱柱 返回 181 复习 知识网络 四棱柱 四棱柱 直四棱柱侧棱垂直底面 平行六面体底面是平行四边形 长方体 正四棱柱 正方体 侧面垂直底面 返回 182 要点 疑点 考点 一 棱柱 1 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面围成的几何体叫棱柱 1 概念 2 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 返回 183 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 2 性质 3 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 要点 疑点 考点 3 长方体及其相关概念 性质 1 概念 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体 底面是矩形的直平行六面体叫长方体 棱长都相等的长方体叫正方体 2 性质 设长方体的长 宽 高分别为a b c 对角线长为l 则l2 a2 b2 c2 返回 184 复习 知识网络 棱锥 棱锥 正四棱锥 正三棱锥 正四面体 体积V Sh 3 顶点在底面正多边形的射影是底面的中心 返回 185 复习 重要定理 三垂线定理 逆 作用 1证明线线垂直 2作二面角的平面角 一作一连法 返回 186 棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比 返回 187 棱锥基本性质 棱锥的高 斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 P C B D A Rt PEH Rt PHB Rt PEB Rt BEH 返回 188 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥 返回 189 1 侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 2 棱锥的高可以等于它的一条侧棱长 3 棱锥的高一定在棱锥的内部 4 侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 判断正误 返回 190 1 三条侧棱相等 2 侧棱与底面所成的角相等 3 侧面与底面所成的角相等 4 顶点P到 ABC的三边距离相等 5 三条侧棱两两垂直 6 相对棱互相垂直 7 三个侧面两两垂直 外心 外心 内心 内心 垂心 垂心 垂心 返回 191 有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥 有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥 有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥 返回 192 1 一个三棱锥 如果它的底面是直角三角形 那么它的三个侧面 A 至多只有一个是直角三角形 B 至多只有两个是直角三角形 C 可能都是直角三角形 D 必然都是非直角三角形 C 基础题例题 返回 193 2 命题 底面是正多边形的棱锥 一定是正棱锥 所有的侧棱的长都相等的棱锥 一定是正棱锥 各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥 一定是正棱锥 底面多边形内接于一个圆的棱锥 它的侧棱长都相等 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直 其中正确的有 A 0个 B 1个 C 3个 D 5个 C 基础题例题 返回 194 基础题例题 2 正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB 2BB1 则AB1与C1B所成角的大小是 A 60oB 90oC 105oD 75o B 返回 195 3 长方体三边之和为a b c 6 总面积为11 则其对角线长为 若一条对角线与二个面所成的角为30 或45 则与另一个面所成的角为 若一条对角线与各条棱所成的角为 则sin sin sin 的关系为 sin2 sin2 sin2 2 基础题例题 5 30 返回 196 设棱锥的底面积是8cm2 则这个棱锥的中截面 过棱锥的高的中点且平行于底面的截面 的面积是多少 S中 2 返回 197 过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面 它将棱锥的侧面分为三部分面积之比 自上而下 为 返回 198 过棱锥的高作两