高中数学全程复习方略 选修44.1 坐标系课件 理.ppt

第一节坐标系 三年16考高考指数 1 理解坐标系的作用 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 2 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 3 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点的圆或圆心在极点的圆 的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 1 直线和圆的极坐标方程是高考考查的重点 2 极坐标方程与直角坐标方程的相互转化以及综合应用是难点 3 高考考查极坐标方程多以填空题的形式考查 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换x 0 y 0 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称 x y 伸缩变换 即时应用 在平面直角坐标系中 已知变换 则 点p 3 2 经过变换 后的点的坐标为 椭圆经过变换 后的曲线方程为 解析 点p 3 2 经过变换 后得到 所以点p 3 2 经过变换 后的点的坐标为 1 1 由变换 得到 代入椭圆的方程 得化简 得x 2 y 2 1 即x2 y2 1 答案 1 1 x2 y2 1 2 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标系 在平面内取一个定点o 叫做 自极点o引一条射线ox 叫做 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 极点 极轴 正方向 2 点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点m 若设 om 0 以极轴ox为始边 射线om为终边的角为 则点m可用有序数对 表示 3 极坐标与直角坐标的互化公式 设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则其互化公式为 即时应用 1 思考 若 0 0 2 如何将点的直角坐标 3 4 化为极坐标 提示 由 得 2 x2 y2 25 由于点 3 4 在第二象限 故 为钝角 所以点 3 4 的极坐标为点 5 其中 为钝角 且 2 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 极坐标系中点m的极坐标是唯一的 极坐标为 2 的点在第一象限 极坐标系中 点 3 与点 3 相同 解析 极坐标系中的点 当 0 2 时 除极点以外 m的极坐标才是唯一的 当 r时 m的极坐标不唯一 故不正确 点的极坐标 2 中 极角的终边在第二象限 极径大于0 故点在第二象限 故不正确 极坐标系中 点 3 与点 3 的极角的终边相同 极径相等 两点相同 所以正确 答案 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 过极点 倾斜角为 r 或 r 和 0 过点 a 0 与极轴垂直 a cos a 0 过点 a 与极轴平行 sin 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 1 过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐标方程为 0 2 过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程为 0 解析 根据极径的意义 om 可知 0 若 0 则 0 规定点m 与点n 关于极点对称 所以可得 1 过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐标方程为 0 所以 1 正确 2 过极点 倾斜角为的直线分为两条射线om om 它们的极坐标方程为 0 所以过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程为 和 0 也可以表示为 r 所以 2 不正确 答案 1 2 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 0 0 r 0 0 2 r 2rcos r 2rsin 0 r 2rcos 2rsin 2 r 2 一般位置的圆的极坐标方程 若圆心为m 0 0 半径为r 则圆的极坐标方程是 2 2 0 cos 0 02 r2 0 即时应用 1 极坐标方程 4sin 0 0 表示曲线的中心的极坐标为 2 圆心为 2 半径为3的圆的极坐标方程为 解析 1 曲线 4sin 由特殊位置圆的极坐标方程得半径为2 所以曲线的中心为 2 2 圆心 2 的直角坐标为 且半径为3 所以圆的直角坐标方程为 即由公式 得圆的极坐标方程为答案 1 2 2 伸缩变换 方法点睛 伸缩变换公式的应用 1 平面直角坐标系中 点p x y 在变换 的作用下 得到点p x y 变换 简称为伸缩变换 2 求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时 通常运用 代点法 一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系 这可以通过上标符号进行区分 例1 1 将正弦曲线y sinx按 变换后的函数解析式为 2 将圆x2 y2 1变换为椭圆的一个伸缩变换公式为 则 解题指南 设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为p x y 变换后对应的点为p x y 代入伸缩变换公式即可 规范解答 1 设点p x y 为正弦曲线y sinx上的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 即 代入y sinx得2y sin3x 所以y sin3x 即y sin3x为所求 答案 y sin3x 2 将变换后的椭圆改写为 伸缩变换为 代入上式得 即 与x2 y2 1比较系数得 答案 54 互动探究 1 将正弦曲线y sinx变换为曲线y 2sin3x的伸缩变换公式为 2 将圆x2 y2 1按照伸缩变换公式变换后所得椭圆的焦距为 解析 1 将变换后的曲线y 2sin3x改写为y sin3x 令 即得伸缩变换公式答案 2 将圆x2 y2 1按伸缩变换公式变换后所得椭圆的方程为即 a2 25 b2 9 c2 a2 b2 25 9 16 c 4 2c 8 即所得椭圆的焦距为8 答案 8 反思 感悟 1 曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的 解题时需要区分变换前的点p的坐标 x y 与变换后的点p 的坐标 x y 再利用伸缩变换公式建立联系即可 2 已知变换后的曲线方程f x y 0 一般都要改写为方程f x y 0 再利用换元法确定伸缩变换公式 变式备选 已知焦点为f1 2 0 f2 2 0 的椭圆与直线有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 解题指南 可以将直线与椭圆的方程看为方程组 化简为一元二次方程 利用根的判别式计算 也可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程 转化为圆心到直线的距离计算 解析 方法一 判别式法 设椭圆方程为 a b 0 c 2 a2 b2 4 由 得 整理 得 由 0 得 48b4 16a2b2 a4b2 48b4 3a2b4 0 即a4b2 16a2b2 3a2b4 0 a2 3b2 16 与a2 b2 4联立方程组 解得a2 7 所以椭圆的长轴长为 方法二 伸缩变换法 令则椭圆变换为单位圆x12 y12 1 直线变换为直线因为直线与椭圆有且仅有一个交点 则直线与单位圆有且仅有一个交点 由题意 得整理得a2 3b2 16 a2 b2 4 解得a2 7 a 椭圆的长轴长为 答案 极坐标与直角坐标的互相转化 方法点睛 1 极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提 1 取直角坐标原点为极点 2 x轴非负半轴为极轴 3 规定长度单位相同 2 极坐标与直角坐标的互化公式设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 根据三角函数的定义 当 0时 有 极坐标化为直角坐标公式 直角坐标化为极坐标公式 提醒 当 0时 公式 也成立 因为点m 与点m 关于极点对称 即点m的极坐标也就是 此时 有 例2 1 点的极坐标 2 化为直角坐标为 2 若 0 0 2 点的直角坐标 2 2 化为极坐标为 3 将极坐标方程 sin 化为直角坐标方程的标准形式为 4 将直线方程x y 0化为极坐标方程为 解题指南 由公式将极坐标化为直角坐标 由公式将直角坐标化为极坐标 规范解答 1 点的极坐标 2 化为直角坐标为 1 答案 1 2 2 x2 y2 8 且角 的终边过点 2 2 点的直角坐标 2 2 化为极坐标为答案 3 由极坐标方程 sin 得 2 sin 化为直角坐标方程为x2 y2 y 即答案 4 将直线方程x y 0化为极坐标方程为 cos sin 0 即tan 1 答案 互动探究 若把本例 1 中的点的极坐标 2 改为 2 则它化为直角坐标为 解析 点的极坐标 2 化为直角坐标为 1 答案 1 反思 感悟 1 在把点p的直角坐标 x y 化为极坐标 求极角 时 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边过点 x y 以便正确地求出0 2 内的角 2 过极点的倾斜角为的直线的极坐标方程可以表示为 r 也可以表示为 和 0 变式备选 1 极坐标系中 直角坐标为 1 的点的极径为 极角为 解析 直角坐标为 1 的点到极点的距离为 又tan 且点在第二象限 得 于是点 1 的极坐标为 2 2k k z 所以此点的极径为2 极角为2k k z 答案 22k k z 2 极坐标方程 sin 2cos 所表示的曲线形状是 解析 极坐标方程 sin 2cos 即 2 sin 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 y 2x 即 这是在直角坐标系中 圆心坐标为 1 半径为的圆 答案 圆 极坐标方程的综合题 方法点睛 直线与圆的综合问题 1 直线与圆的位置关系有三种 相离 相切 相交 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则有 2 若直线与圆相交于点a b 则弦长公式为 无 d r 一个 d r 两个 d r 例3 1 在极坐标系中 圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切 则实数a 2 在极坐标系中 已知曲线c1与c2的极坐标方程分别为 2sin 与 cos 1 0 2 则两曲线 含直线 的公共点p的极坐标为 过点p被曲线c1截得弦长为的直线的极坐标方程为 解题指南 1 将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程 再进行计算 2 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标 利用数形结合思想 转化为几何性质解决 规范解答 1 由圆 2cos 得 2 2 cos 2 x2 y2 所以圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0的直角坐标方程分别为x2 y2 2x 3x 4y a 0 将圆的方程配方得 x 1 2 y2 1 依题意 得圆心c 1 0 到直线的距离为1 即 整理 得 3 a 5 解得a 2或a 8 所以实数a的值为2或 8 答案 2或 8 2 由公式 得曲线c1 2sin 与c2 cos 1 0 2 的直角坐标方程分别为x2 y2 2y x 1 联立方程组 解得 由公式得点p 1 1 的极坐标为 方法一 由上述可知 曲线c1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 如图所示 过p 1 1 被曲线c1截得弦长为的直线有两条 一条过原点o 倾斜角为 直线的普通方程为y x 极坐标方程为 r 另一条过点a 0 2 倾斜角为 直线的普通方程为y x 2 极坐标方程为 sin cos 2 即 sin 方法二 由上述可知 曲线c1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 过点p 被曲线c1截得弦长为的直线有两条 一条过原点o 倾斜角为 极坐标方程为 r 另一条倾斜角为 极坐标方程为 sin 即 sin 答案 r 或 sin 互动探究 本例 2 中 若曲线c2的极坐标方程改为 cos 0 2 其他条件不变 则两曲线的公共弦长等于 解析 由公式 得曲线c1 2sin 与c2 cos 0 2 的直角坐标方程分别为x2 y2 2y x2 y2 x 联立方程 解得 得交点坐标为 0 0 所以两曲线的公共弦长等于答案 反思 感悟 有关直线与圆的极坐标方程的综合问题 常常转化为直角坐标方程 如果结合