29[1]. 圆锥曲线 专项训练5

第二章 圆锥曲线 专项训练(5)双曲线【例题精选】：例1：双曲线的两顶点间的距离为 离心率为 。答案：2、分析：双曲线中，顶点坐标为A（1，0）B（1，0）两顶点间距离为又离心率：小结：等轴双曲线的离心率是例2：双曲线的两准线间的距离是焦距的，则此双曲线的离心率为 。答案：分析：双曲线两准线间的距离为由题意知：小结：双曲线方程含两个参量a,b，因此确定其方程需要两个独立的条件，但是求离心率则不必先求双曲线方程，只需用a，b，c，间的关系就可导出。例3：已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为 ，双曲线的方程为 答案：分析：双曲线的渐近线方程为设双曲线方程为又双曲线过点（3，4），解得，双曲线方程为其中离心率：小结：当已知渐近线方程，求双曲线方程时，由于不知道焦点在x轴上还是在y轴上，可设方程为，若求出的k为负值，则说明焦点在y轴上。与双曲线其渐近线的双曲线为时焦点在y轴上。例4：已知双曲线的焦距是6，并且经过P（4，1）点则此双曲线的标准方程是 答案：分析：由题意知设双曲线的方程为则双曲线的标准方程为又设双曲线的标准方程为则小结：题目当中没有指明焦点在x轴上还是焦点在y轴上，所以两种情况都要考虑。例5：已知双曲线的两个焦点坐标为F1(0,10), F2(0,10)且一条渐近线方程是，则双曲线的标准方程为 答案：分析：双曲线的两个焦点为：实轴在y轴上，且c=10又一条渐近线为双曲线的标准方程为小结：本题容易犯的错误是把写为要引起注意。例6：已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是 答案：分析：设双曲线的方程为则解得双曲线的标准方程为即小结：常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。例7：已知双曲线的一条渐近线方程是，焦点是椭圆与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是 答案：分析：椭圆与坐标轴的交点为A(10,0) B(10,0) C (0,5) D(0,5)若双曲线以A、B为焦点，设双曲线方程为，有双曲线方程为若双曲线以C、D为焦点，设双曲线方程是有：双曲线方程为例8：已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是，则此双曲线的离心率为 答案：或2分析：两条渐近线所夹的锐角为渐近线有两种情况。（1）设渐近线方程为（2）设渐近线方程为例9：直线被双曲线，所截得弦的中点坐标是 ，弦长是 。答案：，分析：把 代入得 设直线与双曲线的两个交点为，的中点坐标为。由方程知把代入 中得 又 例10：已知关于x，y的二次方程表示的是双曲线，则m的取值范围是 答案：分析：由题意知：例11：已知双曲线方程为，经过它的右焦点F2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是 .答案：分析：双曲线方程 平行于渐近线的直线，与双曲线有唯一交点，例12：已知双曲线方程为，过一点P(0，1)，作一直线l，使l与双曲线无交点，则直线l的斜率k的集合是 答案：分析：设l的斜率为k，则直线的方程为将 代入到双曲线方程中得，整理为 若，则可知直线l与双曲线相交。故舍去则方程 是一个一元二次方程且无实数根例13：双曲线右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是53，则P点右准线的距离为ABCD答案：D分析：设双曲线的左，右两个焦点分别为F1、F2，则F1(5, 0), F2(5,0)，离心率由题意得知设又P点在右支上即根据双曲线的第二定义，设P点到右准线的距离为d，则选D例14：已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点A(4,1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。解：圆的方程为，A(4 ,1)点在圆上过A点的圆的切线方程为又 双曲线的一条渐近线与此切线平行，渐近线方程为设双曲线的方程为将A(4,1)的坐标代入得所求的双曲线方程为小结：过圆上一点A(x0,y0)，的圆的切线方程为.求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用已知条件确定的值。实质是待定系数法。例15：已知双曲线上有一点P，焦点为F1、F2，且，求证：证明：如图由双曲线定义知在中，根据余弦定理有： 例16：斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程。解：设直线l的方程为将代入得整理得设直线l与双曲线的两个交点坐标为，由得解得所求的直线方程是小结：在直线上两点，间的距离可用公式表示。例17：已知P为双曲线上的动点，Q是圆上的动点，求的最小值。分析：从圆外一点P向圆上各点连线，则连结P点与圆心C，与圆的交点为Q，线段PQ的长最短，所以只须求的最小值即可。解：设P(x，y)为双曲线。上的任一点，C(0, 2) 是圆的圆心。，此时也得到最小值。【专项训练】：（45分钟）1、双曲线上一点P，到一个焦点的距离为12，则P到另一个焦点的距离为2、以为渐近线，且经过点(1,2)的双曲线是 。3、双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。4、双曲线的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 5、若双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为锐角，则双曲线的离心率为ABCD6、已知双曲线的渐近线方程为，一条准线的方程为，求这双曲线方程 7、与双曲线共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方程是 。8、双曲线的离心率，则k的取值范围是ABCD 9、椭圆与双曲线的焦点相同，则a= 10、如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且，则设双曲线方程是 11、双曲线的方程是（1）直线l的倾斜角为，被双曲线截出的弦长为，求直线l的方程。（2）过点P(3 , 1)作直线l，使它截出的弦长恰好被点P平分，求l的方程。【答 案】：1、22或2，提示：双曲线方程中，由曲线定义知2、。提示：以为渐近线的双曲线方程可设为。3、31。提示：由4、提示：渐近线的斜率为，较小的斜率为，故得倾斜角为。5、C6、。提示：因为准线平行于x轴，又中心在原点，所以可设双曲线方程为，由已知得，解得双曲线方程为7、提示：根据概念得共轭双曲线方程，半焦距得焦点所在的圆的方程为8、C提示：双曲线方程为而9、提示：由双曲线方程知a0，焦点在x轴上，故有可得10、提示：根据双曲线的几何性质知于是由已知可得，从而，故双曲线方程为。11、（1）l的方程为（2）l的方程为提示：（1）设l的方程 把 代入双曲线方程，整理得在即 的情况下，设