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6 4无穷区间上的反常积分简介 6 4 1无穷区间上的反常积分的概念 6 4 2无穷区间上反常积分计算举例 1 例1求由曲线y e x y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积 解这是一个开口曲边梯形 为求其面积 任取b 0 在有限区间 0 b 上 以曲线y e x为曲边的曲边梯形面积为 b 开口曲边梯形的面积 一 无穷区间上的广义积分 2 即 当b 时 阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积 3 定义1设函数f x 在 a 上连续 取实数b a 如果极限 则称此极限为函数f x 在无穷区间 a 上的广义积分 这时也称广义积分收敛 记作 即 存在 否则称广义积分发散 4 定义2设函数f x 在 b 上连续 取实数a b 如果极限 则称此极限值为函数f x 在无穷区间 b 上的广义积分 这时也称广义积分收敛 记作 即 存在 否则称广义积分发散 5 定义3设函数f x 在 内连续 且对任意实数c 如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之和为f x 在无穷区间 内的广义积分 这时也称广义积分收敛 记作 即 都收敛 否则称广义积分发散 6 若F x 是f x 的一个原函数 并记 则定义1 2 3中的广义积分可表示为 7 例2求 解 例3判断 解 由于当x 时 sinx没有极限 所以广义积分发散 8 例4计算 解用分部积分法 得 9 例5判断 解 故该积分发散 10 例6证明反常积分 当p 1时 收敛 当p 1时 发散 证p 1时 则 所以该反常积分发散 11 当p 1时 综合上述 该反常积分收敛 当p 1时 该反常积分发散 p 1时 则 12 13 定义4设函数f x 在区间 a b 上连续 取e 0 如果极限 则称此极限值为函数f x 在区间 a b 上的反常积分 这时也称反常积分收敛 否则称反常积分发散 且 记作 即 存在 二 无界函数的广义积分 14 定义5设函数f x 在区间 a b 上连续 取e 0 如果极限 则称此极限值为函数f x 在区间 a b 上的反常积分 这时也称反常积分收敛 否则称反常积分发散 且 即 存在 15 定义6设函数f x 在 a b 上除点c a b 外连续 如果下面两个反常积分 则称这两个反常积分之和为函数f x 在区间 a b 上的反常积分 这时也称反常积分收敛 否则 称反常积分发散 记作 即 都收敛 16 若F x 是f x 的一个原函数 则定义4 5 6中的反常积分可表示为 17 例7判断 解 故积分的收敛 18 例8
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