【毕业学位论文】（Word原稿）经验似然方法及其在中国石油价格趋势预测中的应用研究 -统计学

硕士学位论文 经验似然方法及其在中国石油价格 趋势预测中的应用研究 学 科 专 业 统计学 学 位 类 型 科学学位 专业学位 研究生姓名 导师姓名、职称 教授 论 文 编 号 湖南师范大学学位评定委员会办公室 二零一四 年 六月 分 类 号 密级 学校代码 10542 学号 201102100915 经验似然方法及其在中 国石油价格 趋势预测中的应用研究 its 研 究 生 姓 名 指导教师姓名、职称 教授 学 科 专 业 统计学 研 究 方 向 应用数理统计 湖南师范大学学位评定委员会办公室 二零一四 年 六 月 I 摘 要 自 20 世纪 60 年代以来 ,国际社会各个国家由于经济发展的需要，越来越呈现出对于石油这一不可再生资源的依赖，世界各国开始对石油这一稀缺资源进行大肆争夺，而原油价格由于各种各样的因素呈现出跌宕起伏 ,持续走高的趋势 , 因此石油价格的波动对世界各国经济的发展产生了深远的影响。随着中国 20 世纪80 年代的改革开放和 2001 加入 来，来自国际原油市场的价格的波动也越来越影响到中国石油的价格，继而对中国经济的发展产生重大的影响，所以对于石油价格波动的估计也越来越被广大学者所重视。 在金融工程中， 式是一个常用的方法被应用于资产衍生物的定价。然而，在最近的关于实证数据的研究当中，以往被认为是常数的波动参数，现在已经被认为是随时间变动的。著名的广义条件异方差 (型自从 1986 年提出后已经被大量的进行研究。然而实证表明，新息并不总是正态分布，事实上，标的资产的新息的分布是未知的并且有时相对于正态分有一个更厚的尾部。在这样的情况下，为了代替 大似然 )方法，特别是当正态分布的假定被违背的时候，我们引入 验似然 )方法来估计 型中的参数。 因此，如何将 验似然 )方法来应用于估计 型中的参数就是本文的重点。本文的结构如下： 第一章，首先对国内外关于 型建模及经验似然方法的研究成果进行综述，了解国内外现阶段对于 型以及经验似然方法的研究现状。 第二章， 型介绍及波动率模型建模简介，掌握运用 第三章为本文的主体部分，了解 型的条件极大似然估计方法及其应用，了解经验似然估计方法的估计原理 并掌握其估计方法。将经验似然估计方法应用于 型的估计，并给出数理推导过程。 第四章，我们应用 R 统计软件就基于经验似然方法的 型进行建模并估计其各个参数，并将模型应用于对大庆油田的石油价格波动率数据建模，再将其与普通条件极大似然估计建立的 型进行对比。 第五章，对前面几章进行论述及对估计结果进行分析，最后进行总结。 关键词 ： 经验似然估计； 型；谱密度 960s,to of on he to of of o on a on of s up in 980 s to TO 001, of is s in a on s o of is of In is a of in of to be is 8 in In of of In of in is we to in to to is of is as of us to of is to a of a is of e to n we to we of of In is on we a V 目 录 摘 要 . I . . 1 究背景及意义 . 1 献综述 . 2 外有关石油价格波动 . 2 内有关石油价格波动 . 4 献评述 . 5 究方法和论文结构 . 6 文创新 . 6 型介绍及波动率模型建模简介 . 7 型 . 7 型 . 8 动率模型建模 . 10 . 11 验似然 . 11 面经验似然和似然比方程 . 12 验似然方法在总体均值 的置信区间上的应用 . 13 验似然方法均值具体应用举例： . 15 验似然方法线性模型上的应用 . 16 验似然方法线性模型上的应用举例 . 17 义经验似然估计方法 . 20 型经验似然估计 . 21 . 27 模步骤 . 27 据选取与描述性概况 . 27 油价格波动率数据的正态性检验 . 30 油价格波动率数据的平稳性检验 . 32 油价格波动率序列的自相关检验 . 33 油价格波动率序列的条件异方差 (应检验 . 34 于条件极大似然估计的石油价格波动率 型 . 35 油价格波动率序列的谱密度经验似然估计 . 37 件 极大似然估计与经验似然估计的预测对比 . 39 结论与展望 . 41 参考文献 . 43 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 1 究背景及意义 自 20 世纪 60 年代以来 ,国际社会各个国家由于经济发展的需要，越来越呈现出对于石油这 一不可再生资源的依赖，世界各国开始对石油这一稀缺资源进行大肆争夺，而原油价格由于各种各样的因素呈现出跌宕起伏 ,持续走高的趋势 , 因此石油价格的波动对世界各国经济的发展产生了深远的影响。随着中国 20 世纪80 年代的改革开放和 2001 加入 来，来自国际原油市场的价格的波动也越来越影响到中国石油的价格，继而对中国经济的发展产生重大的影响，所以对于石油价格波动的估计也越来越被广大学者所重视。 在过去的几十年中， 式一直是期权定价的理论中的一个基准。 式可以通过 对于资产价格的扰动符合布朗运动这一假定推导得来的。尽管 式有一个漂亮的数学结构框架，但它并不符合现实。在实证数据中，我们可以看到，新息往往并不是服从正态分布的。事实上，标的资产的新息的分布往往是未知的并且可以看到有时与正态分布相比有一个更厚的尾部 1。 在大多数的计量经济学模型中，在假定新息的分布已知的情况下有些运用著名的 大似然估计 )来估计模型的参数。然而，新息的分布，从大体上讲是未知的。基于这个原因，我们引入 3提出的经验似然方法来估计模型。与普通的参 数模型相比，经验似然方法有无需对分布进行假定，具有 偏性、无需构造枢轴量、置信域的形状非对称且完全由数据决定等优点。自从出经验似然方法以来，因为不需要对数据的分布进行任何假定，经验似然估计方法已经变成了一个流行的模型参数估计方法，并被应用到大量的经典统计模型中，但这些经典的方法大多是用来对独立随机变量数据的建模，并不适用于对 件异方差 )、 义条件异方差 )等相依数据进行建模，本文就是将经验似然方法应用到对 型的建模并估计其参数及其置信域，并最终应用于实 际的原油价格波动率数据建模。 本文创新的将经验似然方法应用到 型的估计，提出了 型的谱密度经验似然估计方法，得出了与普通条件极大似然估计估计所稍微不同的置信域，是一种新的非参数估计方法。最后对石油价格波动率的实证分析结果进行总结，并对未来的研究方向及可能碰到的问题给予展望。 硕士学位论文 2 献综述 外有关石油价格波动 型及经验似然估计的文献综述 在 1982 年创新的提出了有名的 件异方差 )模型，第一个系统的对波动率进行建模。其基本思想为：资产收益率 序列的波动t为不相关但不独立的序列。资产收益率序列的波动t的不独立性可以用收益 t t (2201qt i t ii a (基于这些对模型的基本假定，可得出波动收益率序列的波动随时间进行变化，波动一个大的波动后面倾向于紧接着出现另一个更大的波动，该模型应用于实证的困难在于在多数情况下需要一个长的 q 阶滞后。该模型的制定为 后来的 型的提出确定了理论的基础。 提出了更有用的 义条件异方差 )模型，即 p,q)模型。模型的假定在普通 q)模型的基础上，对条件方差进行了更强的假定，即条件方差不仅依赖于前 p 阶的收益率 依赖于 q 阶的条件方差 t 。即 t t (2 2 2011i t i j t (通过对于在普通的 q)模型的基础上引入滞后的 q 阶条件方差，型可以减少在 q)模型中需要的参数的数量。在大多数情况下，每个滞后 1 阶已经足够， 型能够成功的捕捉收益率的后尾及波动聚集现象，是 型的推广， 为后来的 模型的提出奠定了基础。 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 3 提出了 数条件异方差 )模型，即 t t (22011l n l n ( )i i t it i j t (型在考虑对波动率的建模中，允许模型在正和负的资产收益率处体现出不对称性，即正的对数波动率的贡献为 (1 )i i t i ，而负的对数波动率的贡献为 (1 )i i t i ，这与在实际中正的冲击和负的冲击对收益率的影响不同这一事实吻合。 003 年 11 月至 2006 年 3 月的原油波动率所拟合的 ，1)和 1,1）模型 ，运用最小二乘法来估计参数并做出预测。结果表明型所估计出的波动率参数都符合了波动率数据对于波动率信息的反应。然而，用隐含波动率与 型所估计出的波动率参数的综合可能会得到更好的预测效果。 立了自 2005 年 5 月至 2008 年 7 月的原油，能源，以及天然气市场的基于收益率波动的样本内及样本外预测。他们发现不管是样本内还是样本外预测，隐含波动率的预测效果均为最好，但在大多数样本外预测的例子中， 在总 结 首先将其应用于对总体均值的推断上，并在 2扩展了他的理论到更广义的多维 和 910讨论了经验似然方法应用到线性模型时的具体情况，为后来经验似然方法应用于其他领域奠定了基础。 基于估计方程和 大似然估计 )的启发， 112将经验似然方法和广义估计方程联合起来，提出了更一般情况时的经验似然估计方法。 3通过运用 2 维似然的理念推广了对于独立同分布数据的 鞅 结构统计模型的经验似然方法定义。目标就是找到一个 “ 得分方程 ” ()m ,这里的 ()m是一个 鞅 序列，并且在真正的参数 处有 ( ) 0m ，这里的 为参数 的估计。4考虑了对于广义估计方程的经验似然方法并且推广了 1的基于有弱相关性数据的 验似然方法的结论。 验似然比统计量同样有渐进 2 的性质。 5运用 方法将经验似然方法运用的 型中。 6将经验似然方法运用到非平稳的 程，并且新息为 鞅 差序列的模型硕士学位论文 4 中。他们的方法是运用条件最小二乘法将得分方程等于 0 来估计模型，他们同样得到了平稳及非平稳 程的对数经验似然比统计量的极限性质。 内有关石油价格波动 型及经验似然估计的文献综述 杨云 17中基于美国西德克萨斯 (油价格波动率数据建立 ,1)以及 ,1)模型并进 行实证分析，得出了 油市场具有很强的波动聚集及波动持续性，存在强的条件异方差性 (应 )，适合建立 模型的结论。他还指出在 油价格波动率存在明显的杠杆效应，即负的冲击所造成的波动明显要强于正的冲击，并指出具有后尾效应的 也从侧面表明运用非参数的经验似然方法在无需假定分布上所具有的优势。 张跃军 18中基于中国大庆石油数据建立了基于广义误差分布 (， 1)、 ,1)和 ,1)分布并进行实证分析，结果表 明中国的石油价格波动也存在明显的 应，但与国际市场不同，波动的半衰期较短，为 5 天。而且由于有受到负面信息的影响，表明中国石油价格的波动并非完全是由石油市场本身所决定的，还存在其它的外部因素的影响，但这种外部因素的影响不大，约为 8%左右，实证也同时表明，基于 布比基于正态分布的 型拟合效果要好，所以这也进一步表明非参数方法的经验似然方法在估计模型上相比于参数方法所具有的的优势。 王启华 19中对 出的经验似然思想以及现阶段将经验似然方法应用于总体均值，线性模型，分位数回归，估 计方程，辅助信息，不完全删失数据，误差在变量模型等具体情况进行了总结，表明经验似然方法在应用于不同模型时的有效性，是一种新的有较强应用前景的非参数方法。 宋立新 20中将经验似然方法应用于 模型估计中，并得到了模型的经验似然估计及相应的非参数经验似然极大似然比统计量，并给出了模型在大样本时具有相合性以及在极限情况时模型的极限分布的情况。 王德辉 21中给出了 平稳 p, d, q)模型的经验似然推断 ,他利用周期谱密度 的极限性质，基于广义估计方程及 估计方法，给出了对数经验似然比统计量的极限分布为自由度 p+q+2 的开方分布，并给出了相应的置信区间，还给出了在高阶矩存在条件下的一些渐进分布的证明过程，为本文将 型的估计应用到 型的谱密度经验似然估计提供了基础。 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 5 2给出了 型及具有单位根的 型的经验似然估计方法，得出了基于 型的经验似然比统计量与其它模型一样也服从卡方分布，并在数值模拟中表明，当样本量为 600 及 1000 时经验似然估 计达到了 95%的精度，这也从实际表明在估计精度上，经验似然估计方法相比于普通条件极大似然估计毫不逊色，有时甚至在置信域的估计上更好。 3中给出了运用剖面经验似然函数来估计 型的理论方法，在 型的估计中引用 型的谱密度估计方法来估计模型，取得了较好的效果，在接下来的实证分析中，运用美国西德克萨斯数据拟合模型，取得了较好的拟合效果，在于普通条件极大似然估计方法估计模型的对比中，可以发现两者的区别并 不大，在置信域的构造上经验似然方法似乎有更好的预测效果。 献评述 从参阅国内外的这些文献可以看出，经验似然方法自问世起已广泛应用于统计的各个领域，与普通的最大似然比估计相比，两者既有共同的特征，也有不同之处： (1)两者的目标都是使得目标函数，即似然方程达到最大，所不同之处在于经验似然方法是在有约束条件下达到最大，经验似然方法的本质为在有约束条件下求解最优化问题。 (2)两者都能通过似然比统计量构造参数的置信区间或者置信域，所不同之处在于最大似然比估计所构造的置信区间往往为对称 的，而由经验似然比估计所构造的置信区间往往是非对称的，这是因为经验似然方法是一个非参数方法，其置信区间的形状或大小完全由数据决定这一特征所决定的。 (3)除具有以上特征外，经验似然方法还具有用经验似然方法构造的置信区间有域保持性、变换不变性、 偏性和无需构造轴统计量等优点，这些也是普通极大似然估计所不具备的。 硕士学位论文 6 究方法和论文结构 本文采用理论推导和实验研究并重的研究方法，在注重对 型的谱密度经验似然估计方法进行理论推导的同时还进行了数值模拟和实证分析。 本文 分为五章： 第一章，首先对国内外关于 型建模及经验似然方法的研究成果进行综述，了解国内外现阶段对于 型以及经验似然方法的研究现状。 第二章， 型介绍及波动率模型建模简介，掌握运用 第三章为本文的主体部分，了解 型的条件极大似然估计方法及其应用，了解经验似然估计方法的估计原理并掌握其估计方法。将经验似然估计方法应用于 型的估计，并给出数理推导过程。 第四章，我们应用 R 统计软件就基于经验似然方法的 型进行 建模并估计其各个参数，并将模型应用于对大庆油田的石油价格波动率数据建模，再将其与普通条件极大似然估计建立的 型进行对比。 第五章，对前面几章进行论述及对估计结果进行分析，最后进行总结。 文创新 本文由如下几个创新点： 论文的创新点之一：创新地将非参数经验似然方法引入到对 型的估计中，基于经验似然方法所特有的如置信区间不对称性，置信区间的形状完全由数据决定等特征，与实际石油价格波动所反映出来的信息相符，该方法在具体石油价格波动率预测上有比普通条件极大似然估计所不具备的 优势。 论文的创新点之二：创新地将用经验似然方法估计 型的谱密度方法引入到对 型的估计中，将 型进行适当变换后具备 随后的实证发现，估计效果较好。 论文的创新点之三：在具体编程中为了降低循环所造成的编程上的难度，我们巧妙地引用由条件极大似然估计出的参数的置信区间的结果，在相近的区间上搜寻使得对数经验似然函数(1)()L的值小于开方统计量 2()的参数 (p,q)的值作为谱密度经验似然估计的参数值，此方法能大大降低循环所带来的在编程上的难度。 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 7 型介绍及波动率模型建模简介 型 1982 年，当 析当期英国通货膨胀率时，发现用经典的 型进行拟合并不适合，效果总是不够理想。而深究其原因，发现是因为残差序列具有序列相关性，即残差具有异方差性。 所谓异方差即在平时所假定的随机扰动项的方差并不为常数。该随机扰动项随时间而进行 变化，即具有 ( ) ( )tV a r h t 的形式。若忽视异方差的存在将导致很严重的后果，这意味着残差的方差被低估，进而会导致参数的显著性检验发生第二类错误 (取伪 )，即模型的参数显著性检验没有意义，从而模型本身失去意义，最终的拟合效果也将大大受到影响。所以当残差具有异方差性时，需要对残差及模型进行处理。处理的思路大体有两种，一种当已知残差的具体形式时只需进行方差齐性变换即可，另一种是当不知道残差的具体形式时，拟合异方差模型。 第一种方法，即方差齐性变 换是处理异方差情况时一个有用的办法，但该办法在大多数情况下只存在理论上的意义，在实践中，往往不适用，因为在大多数时候我们并不知道残差的具体形式。 所以在实践中我们往往采用第二种方法，即对残差建立异方差模型，具体模型可根据残差的散点图及残差平方的散点图的形状来确定。结合金融时间序列的具体情况，一般情况下，一般假定异方差函数具有如下形式： 2()，但实证表明，这种假定过于简单，实际中无法实现真正的方差齐性。 为了能够更精确 地对异方差建模， 1982 年正式提出了条件异方差(型。 模型具有以下形式： 12201( , r , r , ) ( 0 , 1 )t t t tt t i t f t (基于其特有的模型结构特征， 型倾向于一个大的波动信息后再接着一个大的波动，这与实际中观测到的现象相符，除此以外， 型所提供的波动 高斯白噪声序列更容易产生“奇异值” ,即 一个更厚的尾部，这也硕士学位论文 8 与实际观测结果相符。 尽管有这样一系列的优点，但 型仍然有其缺点： 1、 型所提供的关于波动的信息对于正的和负的市场信息有用相同的反应，但实际上，波动率对于正负市场信息的反应一般是不同的。 2、若要弄清楚当期大的波动产生的原因， 型不能提供有关于原因的任何有用的信息，它只能机械的描述波动可能的行为，但对于为什么有这样一个波动它无法给出解释。 3、 型的 实质可以理解为误差平方的 q 阶移动平均来对当期的异方差进行拟合，由于移动平均模型 (身的性质，即 型的自相关函数 (有 q 阶截尾这一特征，所以在实际应用中， 型只适合对于短周期的异方差模型建模，因为若周期过长，所估计的参数可能过多，导致模型的拟合及预测效果较差。 型 1、 型简介 当异方差产生的原因是残差序列具有长期的自相关性，此时由于运用 数，模型参数的估计难度增加，相应的型的拟合效果降低。 为了解决参 数过多这一问题， 1986 年提出了广义条件异方差模型 (其基本结构为 : 122011( , r , r , ) ( 0 , 1 )t t t tt t i t i j t f t (该模型中包含的信息有 : (1) 0为波动率方程的常数项，它能衡量波动的长期平均水平。 (2) ( 1)i i 为波动率方程的 系数， 它反映前一期市场冲击对当期波动的影响，它的大小可以理解为模型对市场冲击反映的速度的快慢和大小，若i越大，则反映越快。 (3)j为 系数，他反应上一期的波动对当期波动的影响，它的大小放映的是波动所持续的时间，j越大，则波动所持续的时间越长。 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 9 (4)型成 立的条件为 1 ，该条件的原因为 型的无条件方差必须存在，但在实证中，往往 与 之和有时会接近于 1，这是因为现实的冲击有时候很大，需要一个长的时间才能消除。 型的实质是在 型的基础上进一步考虑对波动率建模，即在原来的 q 阶误差平方的基础上，加入 p 阶 异方差函数的自相关函数。这样可以有效地对具有长期记忆的异方差函数进行建模。显而易见， q)模型即为p=0 时 p,q)模型的特例。 型自从提出以后，已经被大量的运用到对异方差模型的建模中，模型有两个基本假定 1、其中每个参数均大于 0 即 0 , 0 , 0 2、i，j有界 即 111 第一个假定的原因为保证无条件均值存在，且为正值，第二个假定的原因为保证无条件方差存在，且有限。 基于这两个假定，使得 型的使用范围有了一定的限制。为了使得型能够得到更广泛的应用，各国优秀统计学家基于不同的情况，提出了更多的 型变化式。其中最主要的有：指数 型 (求和 型 (均值 型 ( 型及 模型自从问世以来已经被广泛应用到对金融衍生物的建模中，并取得了良好的效果。 2、 型参数估计 估计 型一般选用条件极大似然法，在 t 为正态性的假定时，型的似然函数为 1 1 1 2 1 1( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , )T T T T T m m mf a a f a F f a F f a F f a a 2 12211 e x p ( , , )22T f a a ( 其中01( , , , )m ，1( , , )mf a a 为01, , , m 的联合密度函数，在实际计算中，由于1( , , )mf a a 的确切形式过于复杂，所以一般将其在上式中去掉，特别当样本容量很大时，1( , , )mf a a 对于似然函数的影响可忽略不计。此时的似然函数为 其中的 2t可由递推计算得出。最大化上式得到的关于参数的估计称为 硕士学位论文 10 211 2211( , , , , , ) e x p 22T m a a a a (条件极大似然估计。 类似于普通极大似然估计，条件极大似然估计也可转换为对数条件极大似然估计，以便运算得到简化，相对应的对数条件极大似然函数为 2211 211 1 1( , , , , , ) l n ( 2 ) l n ( ) 2 2 2T m a a a a (在第一项中 ) 为常数，不影响计算，故对数条件极大似然函数可化简为 2211 2111( , , , , , ) l n ( ) 22T m a a a a (其中 2 2 2 20 1 1 2 2t t t m t ma a a 可通过递推得到。 动率模型建模 对时间序 列建立波动率模型大体分为以下 4 个步骤 1、检验序列是否具有序列相关性，建立一个均值模型 (大多数情况下建立型 )，以消除序列的序列相关。 2、对均值模型的残差做异方差检验，以检验其是否有 应。 3、若存在异方差，即 著，建立波动率模型 (通常情况为 模型 ),并联立两个方程，对参数进行联合估计。 4、检查拟合后模型各个参数是否显著，以及整个模型是否显著，对波动率方程残差的平方进行异方差检验，检验其是否还具有 应。 经验似然方法在中国石油价格趋势预测上的研究 11 验似然 总结 随机删失数据下构造生存概率的非参数似然比的基础上提出了经验似然方法，其基本思想为： 假使我们得到了一系列的独立同分布 (列的观测值，我们希望在不对总体分布 F 做任何严格的假设条件下做统计推断，我们是否仍然有有效地方法对 案是肯定的，因为经验分布函数 () 的一个很好的估计。此时我们可以将经验分布函数 () 的一个非参数方法。令 ( ) ( ) ( ) ( )i i i iF x P X x F x F x ，其中 ()F 为有连续的函数，观测值，当每个 唯一的时，此时的似然方程为 ： 1( ) ( ) F x (此时 ( ) P r ( )i i ip d F x X x 。似然方程 (1)可化为 1() p (明显的，我们有10 1 , 1 ，在具体的计算时，与极大似然估计类似，我们常常把方程 (为对数形式 1( ) l o g ( ) p (至此，我们考虑的均为当数据没有节，即数据中没有相同时的情况，当数据中有相同的情况发生时，此时的 ()再是似然函数。为了解决这个问题， 出在这些相同的处给每一 个值加一个很小的量，使得每一个值都不同，但加的很小的量不足以对结果产生很强的影响， 明，在大多数情况下，经过该变换后所做出的统计分析仍然是有效地。 很容易证明似然函数 (经验分布函数 11( ) 1nn i x n x 处取得最大值，因此 () 的非参数极大似然估计，而这一结论并不依赖于数据是否有节的情况。因此对于任意的有 ( ) ( )n n L F，因此 经验似然比函数可定义如下： 硕士学位论文 12 1()()() n (不难发现，经验似然比函数在经验分布函数 ()。 面经验似然和似然比方程 更一般的情况，我们的目标是将经验似然应用于 当总体分布 F 依赖于某个特定的参数时的情况，即当 () 时的情况。此时的统计推断在假定 F 来源于某一个非参数族 F 下进行，而 F 可能取到非参数