2.3 确定二次函数的表达式.docx

2.3.1确定二次函数表达式教学目标：知识技能:1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.2.会用待定系数法确定二次函数表达式.过程与方法:1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.情感态度与价值观:1.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.2.培养学生积极参与的意识,加深学生在生活中学数学,将数学知识服务于生活的学习理念.教学准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习待定系数法求函数表达式的方法和二元一次方程组的解法.教学过程新课导入一:思考下面的问题:如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?首先需要知道这些抛物线的表达式,我们学过几种抛物线的函数表达式? 设计意图通过对学生都了解的推铅球问题的引入，激发学生的学习兴趣.其次还能引出本节课的学习任务.新知构建：过渡语通过前面的学习我们知道二次函数的表达式对于探究二次函数的图象与性质非常重要,所以准确求出二次函数的表达式是解决二次函数问题的前提和关键.一、初步探究确定二次函数表达式所需要的条件问题：我们学过的抛物线的函数表达式:y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,要确定二次函数的表达式,分别需要知道哪些条件?形式 含有的字母 需用条件 yax2 a 一个 yax2c a，c 两个 ya(xh)2 a，h ya(xh)2k a，h，k 三个 yax2bxc a，b，c ya(xx1)(xx2) a，x1，x2 设计意图让学生经历对二次函数的已知条件的分析过程,总结归纳出确定二次函数表达式的条件,提高了学生分析问题、解决问题的能力.归 纳1.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有几个条件去求解；反过来，根据题目中给定的条件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫待定系数法2用待定系数法求二次函数的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式yax2 bxc(a0)(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式ya(xh)2k(a0)(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通常可设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)二 、用待定系数法求二次函数表达式过渡语根据以上的分析,在求二次函数表达式时,要根据题目中的具体情况,合理地选择解题方法.例1 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，求这个二次函数的表达式.解析由于函数图象经过点(-1,10),(1,4),(2, 7),所以直接把三个点的坐标代入yax2 bxc,得到关于a、b和c的三元一次方程组,解方程组得出a,b和c的值即可.【思考】通过上面的解题过程,你能总结出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件、方法和步骤吗?【学生活动】学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结: 已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采用一般式yax2bxc；而用一般式求待定系数要经历以下四步： 第一步：设一般式 yax2bxc； 第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一次方程组； 第三步：解方程组即可求出a，b，c的值 第四步：写出函数表达式. 例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的解析式.解析由于已知函数顶点坐标为(4，-1),所以直接把顶点坐标代入y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.【思考】通过上面的探究过程,你能确定出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件吗?【学生活动】学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式ya(x-h)2k (a0).而用顶点式求待定系数要经历以下四步： 第一步：设顶点式ya(x-h)2k ； 第二步：将另一个点代入得到一个一元一次方程； 第三步：解方程即可求出a的值 第四步：写出函数表达式. 例3 如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，3)求抛物线对应的函数表达式. 解析由于已知函数与x轴交于点A(1，0)，B(3，0),所以直接把交点坐标代入ya(xx1)(xx2) ,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 设抛物线对应的函数表达式为 ya(x1)(x3) 把点(0，3)的坐标代入得：3a3，解得a1， 故抛物线对应的函数表达式为 y(x1)(x3)， 即 yx24x3. 【思考】通过上面的探究过程,你能确定出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件吗?【学生活动】学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通常可设交点式ya(xx1)(xx2)而用交点式求待定系数要经历以下四步： 第一步：设交点式ya(xx1)(xx2)； 第二步：将另一个点代入得到一个一元一次方程； 第三步：解方程即可求出a的值 第四步：写出函数表达式. 设计意图通过归纳总结让学生对本节课的主要内容有一个阶段性的认识,使所学知识更加有条理、更加系统.通过能力提升的思考,为下节课的学习应用做好了铺垫.检测反馈：1. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是()A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是.课堂小结：用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y ax2bxc求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函数的最值)，则利用顶点式ya(xh)2k求；若已知图象与x轴的两个交点，则利用交点式ya(xx1)(xx2)求 作业：一、教材作业【必做题】1.教材第43页随堂练习第1,2题.2.教材第43页习题2.6第1,2题.【选做题】教材第44页习题2.6第3题.板书设计：求二次函数表达式的步骤和方法:待定系数法代入法组成方程（组）解方程（组）求出待定系数确定二次函数表达式.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2 C.y=(x+2)2-2D.y=(x-2)2-22.如图所示,二次函数表达式是()A.y=x2-x+ B.y=x2+x+ C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+23.某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1 m的喷水管所喷出水柱的最大高度为3 m,此时喷水水平距离为 m.若水柱是抛物线形,则在如图所示的坐标系中,这支喷泉最远能喷m.(结果保留根号)4.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标.【能力提升】5.(2014淄博中考)如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为()A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+26. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(1,-1),而且图象过点(0,-3),则这个二次函数的表达式为.7.如图所示,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的表达式;(2)写出顶点坐标及对称轴.8. 已知:抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为P.(1)求b,c的值;(2)求ABP的面积;(3)若点C(x1,y1)和点D(x2,y2)在该抛物线上,则当0x1x21时,请写出y1与y2的大小关系.【拓展探究】9.(2015黑龙江中考)如图所示,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.教学反思：本节课的重点是让学生通过探索,探究出利用两个点的坐标确定二次函数表达式所需要的条件,所以一定要让学生亲自体验探究的过程,并要在探究学习活动中给予学生展示自己聪明才智的机会,同时在此过程中还有利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.所以在课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度,让所有的学生都相信我能行.课本上出现的三种类型的问题,基本涵盖了利用两个点的坐标确定二次函数表达式