大学物理实验三数据处理说课材料

大学物理实验三数据处理说课材料大学物理实验三数据处理说课材料 第五节数据处理1 列表法3 逐差法4 最小二乘法2 作图法 一 列表法在记录和处理实验测量数据时 经常把数据列成表格 它可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系 便于随时 检查测量结果是否正确合理 及时发现问题 利于计算和分析误差 并在必要时对数据随时查对 通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性 得出定量的结 论或经验公式等 列表法是工程技术人员经常使用的一种方法 列表时 一般应遵循下列规则 1 简单明了 便于看出有关物理量之间的关系 便于处理数据 2 在表格中均应标明物理量的名称和单位 3 表格中数据要正确反映出有效数字 4 必要时应对某些项目加以说明 并计算出平均值 标准误差和 相对误差 作图法可形象 直观地显示出物理量之间的函数关系 也可用来求 某些物理参数 因此它是一种重要的数据处理方法 作图时要先出数据表格 并要用坐标纸作图 U V 0 741 522 333 083 664 495 245 986 767 50I mA 2 004 016 228 209 7512 0013 9915 9218 0020 011 选择合适的坐标分度值 确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数 一般以1 2mm对应于测量仪表的仪表误差 根据表 数据U轴可选1mm对应于0 10V I轴可选1mm对应于0 20mA 并可定坐标纸的大小 略大于坐标范围 数据范围 约为130mm 13 0mm 作图步骤实验数据列表如下 表表1伏安法测电阻实验数据二二作 图法处理实验数据2 标明坐标轴用粗实线画坐标轴 用箭头标轴方 向 标坐标轴的名称或符号 单位 再按顺序标出坐标轴整分格上的 量值 I mA U V 8 004 0020 0016 0012 0018 0014 0010 006 002 00002 004 006 008 0010 001 003 005 007 009 004 连成图线用直尺 曲 线板等把点连成直线 光滑曲线 一般不强求直线或曲线通过每个实验点 应使图线线正穿过实验点 时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀 图点处断开 3 标实验点实验点可用 等符号标出 同一坐标 系下不同曲线用不同的符号 5 标出图线特征在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些 参数 如利用所绘直线可给出被测电阻R大小从所绘直线上读取两点A B 的坐标就可求出R值 I mA U V 8 004 0020 0016 0012 0018 0014 0010 006 002 00002 004 006 008 0010 001 003 005 007 009 00电阻伏安特性曲线6 标 出图名在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明 A 1 00 2 76 B 7 00 18 58 由图上A B两点可得被测电阻R为 k 37 9 076 258 1800 100 7 A BABI IUUR至此一张图才算完成作图法1 作图规则 作图一定要用坐标纸 测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的 即图纸上一小格对 应数据中可靠数字的最后一位 而误差位在小格之间估计 1 作图规则 标明坐标轴和图名1 作图规则 标点2 作图规则 连 线 不当图例展示n nm 1 6500500 0700 01 67001 66001 70001 69001 6800600 0400 0玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗 不均匀 不光滑 应该用直尺 曲线板等工具把实验点连成光滑 均匀的细实线 n nm 1 6500500 0700 01 67001 66001 70001 69001 6800600 04 00 0玻璃材料色散曲线图改正为图图2I mA U V 002 008 004 0020 0016 0012 0018 0014 0010 006 002 001 003 00电学元件伏安特性 曲线横轴坐标分度选取不当 横轴以3cm代代表表1V 使作图和读图都很困难 实际在选择坐标分度值时 应既满足有效数字的要求又便于作图和 读图 一般以1mm代代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍 I mA U V o o1 002 003 004 008 004 0020 0016 0012 0018 0014 0010 006 00 2 00电学元件伏安特性曲线改正为定容气体压强 温度曲线1 20001 60000 80000 4000图图3P 105Pa t 60 00140 00100 00o120 0080 0040 0020 00图纸使用不当 实际作图时 坐标原点的读数可以不从零开始 定容气体压强 温度曲线1 00001 15001 20001 10001 0500P 105 Pa 50 0090 0070 0020 0080 0060 0040 0030 00t 改正为3 作 图举例直角坐标举例 测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示 试用直角坐标作图表 示出电阻与温度的函数关系 测量次数12345678910铜电阻Rt010 20510 35110 51410 64610 7641 0 94811 08211 22611 3611 53温度t0 005 0010 0015 0020 0025 0 030 0035 0040 045 0 C 在图中任选两点和 将两点代入式中 可得最后 得到电阻随温度的变化关系为 20 00314 0 t Rc0314 00 130 4860 1070 11 a由于有x 0的坐标点 故20 10 b 70 11 0 48 1P 60 10 0 13 2P2 用电势差计校准量程为1mV 的毫伏表 测量数据如下 为表中单位均为mV 在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线 并对毫伏表定级别 毫伏表读数0 1000 2000 3000 4000 500电势差计读数0 10500 2150 0 31300 40700 5100修正值 U0 0050 0150 0130 0070 0100 6000 7000 8000 9001 0000 60300 69700 78500 89201 00700 003 0 003 0 015 0 0080 007毫伏表读数电势差计读数修正值 U NoImage 5 1 10000 1015 0 100 amax 量程 毫伏表的级 别为为为1 5级表 三 逐差法1 逐差法的含义把实验测量数量 因变量 进行逐项相 减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次 测量值 然后求出最佳值 算术平均值的处理数据的方法 逐差法是对等间距测量的有序数据进行逐项或相等间隔项相减得到 结果的一种方法 它计算简便 并可充分利用测量数据 及时发现差错 总结规律 是物理实验中常用的一种数据处理方法 1 逐差法的使用条件 1 自变量x是等间距离变化的 2 被测的物理量之间的函数形式可以写成x的多项式 即0ixia yni 2 逐差法的应用例拉伸法测弹簧的倔强系数设实验中等间隔 地在弹簧下加砝码 如每次加一克 共加9次 分别记下对应的弹 簧下端点的位置L 0 L 1 L 2 L9 则可用逐差法进行以下处理 1 验证函数形式是线性关系把所测的数据逐项相减当 L1 L 2 L9基本相等时 就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关 系是线性的 即F K L用此法可检查测量结果是否正确 但注意的是 必须要逐项逐差 89912xx L L L L L L L L L 2 求物理量数值现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量 若用 上式 得从上式可看出 中间的测量值全部低消了 只有始末二次 测量值起作用 与一次加九克砝码的测量完全等价 99 909892312019321L LL L L L L L L LL L LLL 为了保证多次测量的优点 只要在数 据处理方法上作一些组合 仍能达到多次测量来减小误差的目的 因此一般使用逐差法的规则如下通常可将等间隔所测量的值分成前 后两组的 前一组为L 0 L 1 L 2 L 3 L4 后一组为L 5 L 6 L 7 L 8 L9 将前后两组的对应项相减为再取平均值由此可见 与上面一 般求平均值方法不同 这时每个数据都用上了 但应注意 这里的是增加五五克砝码时弹簧的平均伸长量 495162051LLLLLLLLL 51 51540491605i iiLLLLLLLLL L 次数 K 12345678910电压V V 02 004 006 008 0010 0012 0014 0016 0018 00电流I mI 02 043 956 038 029 9611 9713 9816 0418 062 041 912 081 991 942 01 2 012 062 029 969 9310 0310 0110 04伏安法测电阻 试用逐差法 求出电流流I的最佳值并算出电阻R 1mA I IK K 5mA I IK K 若按逐项相减 则有 111 1111nkk kI I I 9102312 1101I IIIII 1101101II IVR 解根据伏安公式次数 K 12345678910电压V V 02 004 006 008 0010 0012 0014 001 6 0018 00电流I mI 02 043 956 038 029 9611 9713 9816 0418 062 041 912 081 991 942 012 012 062 029 969 9310 0310 0110 04 若按顺序分为两组 1 5为一组 6 10为一组 mA I99 9596 993 903 001 1004 10 实行对应项相减 其结果如 表可以利用这种分组法计算因变量的平均值根据欧姆定律得 1000 11099 900 2533 IVR 1mA IIK K 5mA IIK K I 2 有关逐差法的几点说明 使用条件自变量等间隔变化 对一次逐差必须是线性关系 否则先进行曲线改直 用数据进行直 线拟合 一次逐差 优点充分利用测量数据 取平均的效果 作用验证函数是否线性关系 一次逐差 四 最小二乘法近性计算法比较作图法直观 简便 但主观随意性大 粗略 逐差法粗略的近似计算方法 要满足一定 条件 回归分析法最准确的计算方法1 回归分析法定义由数理统计 的方法处理数据 通过计算确定其函数关系的方法 步骤1 推断函数形式 回归方程 2 由实验数据确定参数a b c等 的最佳值 3 根据实验数据检验函数关系是否合理 y ae bx c 指数关系 如如y a bx 线性关系 2 用最小二乘法进行一元 线性回归 1 最小二乘法原理给定函数关系为y a bx最小乘数a和b的值是能 使各次测量值误差平方和为最小的那个值 数学表达式为 Kiiy y12min 最小二乘法由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线 或 曲线 常用的方法是最小二乘法 所得的变量之间的相关函数关系称为回归方程 所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归 本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题 有关多元线性回 归和非线性回归 请参考其他书籍 1 一元线性回归最小二乘法所依据的原理是在最佳拟合直线上 各 相应点的值与测量值之差的平方和应比在其他的拟合直线上的都要 小 假设所研究的变量只有两个x和y 且它们之间存在着线性相关关系 一元线性方程为y A0 A1X 实验中测得的一组数据是需要解决的问 题是根据所测得的数据 如何确定上式中的常数A0和A1 实际上 相当于作图法求直线的斜率和截距 由于实验点不可能都同时落在上式表示的直线上 为使讨论方便 限定 所有测量值都是等精度的 只要实验中不改变实验条件和方法 这个条件就可以满足 只有一个变量有明显的随机误差 因为x i和y i都含有误差 把误差较小的一个作为变量x 就可满足该条件 mmy y y y yx x x xx 321321 假设在上式中的x和y是在等精度条件下测量 的 且y有偏差 记作把实验数据代入方程y A0 A1X后得其一般式为 321m i i i mx A A y y yx A A y y yx A A y yy10210222110111 i ii ix A Ayyy10 i的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度 其值与A 0 A1的数值有关 根据最小二乘法的思想 如果A 0 A1的值使最小 那么上式就是所拟合的直线 求A 0 A1由对和求一阶偏导数 且使其为零得 mii12 210121 i imiimix A Ay 0 20 2101211101210iiimiimii imiimixx AA yAx AAyA 令为x的平均值 即为y的平均值 即为x2的平均值 即为xy 的平均值 即代入前式中得解得xyimiymy 11imixmx 112x2121i mixmx xyi imiy xmxy 11 0021010 xAxAxyx AAy xAy Axxxy y xA10221 2 把非线性相关问题变换成线性相关问题在实际问题题中 当变量间不是直线关系时 可以通过适当的变量变换 使不少曲 线问题能够转化成线性相关的问题 需要注意的是 经过变换等精度的限定条件不一定满足 会产生一 些新的问题 遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法 例 若函数为X2 Y2 C 其中C为常数 令X x2 Y y2 则有Y C X 其中a b为常数 将原方程化为 令则有Y b aX bxaxy xaby 1 1x 1x yY 3 相关系数 关联系数 在函数形式确定以后 用回归法处 理数据 其结果是唯一的 不会像作图法那样因人而异 可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取 为了判断所得结果是否合理 在待定常数确定以后 还需要计算一 下相关系数 对于一元线性回归 定义为 2222yyx xyx xy 相关系数 的数值大小反映了相关程度的好坏 可以证明其值介于0和1之间 值越接近于1 说明实验数据能密集在 求得的直线附近 x y之间存在着线性关系 用线性函数进行回归比 较合理 相反 如果其值远小于1而接近0 说明实验数据对求得的直线很分 散 x与y之间不存在线性关系 即用线性回归不妥 必须用其他函 数重新试探 在实验中 一般当时 就认为两个物理量之间存在较密切的线性关 系 9 0 r 0拟合曲线斜率为正r 0斜率为负r 0则x和y无线性关系 例 用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据 结合最 小二乘法做以下内容 1 线性拟合 并写出直线方程 2 求出电阻温度系数a和0 时的电阻R0 3 求出相关系数 评价相关程度 测量次数12345678910铜电阻Rt010 20510 35110 51410 646