第六周第23课时第12章复习导学案

第六周 第23课时 第12章复习 导学案主备：刘 斐 备课人： 李鸿海【学习目标】1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式2、能用尺规进行一些基本作图能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程【学习过程】一、本章知识结构梳理 三角形二、方法指引1、证明两个三角形全等的基本思路： (1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。例题1、如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MCEDCAB例题2、已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题3、已知B=E=90，CE=CB，ABCD.求证：ADC是等腰三角形例题4、已知：如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法例题5、如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD ACEBD提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）三、你能用尺规进行下面几种作图吗？1、已知三边作三角形2、作一个角等于已知角3、已知两边和它们的夹角作三角形4、已知两角和它们的夹边作三角形5、已知斜边和一直角边作直角三角形6、作角的平分线四、学以致用1、如图：在ABC中，C =90，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。4321EDCBA2、如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？GFEDCBA3、如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：EGAF，_，_ 求证：_4、如图，在RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.五、课堂小结12999.com学习全等三角形应注意以下几个问题（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”课后反思：第24课时 全等三角形复习 导学案主备：刘斐 备课人：李鸿海专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例1 已知：如图1，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC那么图中全等的三角形有_对分析：由CEAB，BDAC，得AEO=ADO=90由AO平分BAC，得EAO=DAO又AO为公共边，所以AEOADO所以EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90，BOE=COD，所以BOECOD由AE=AD，AEO=ADO=90，BAC为公共角，所以EACDAO所以AB=AC又EAO=DAO， AO为公共边，所以ABOACO 图1所以图中全等的三角形一共有4对（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例2 如图2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只需填一个）_分析：要使ABCADE，注意到1=2，所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC要使ABCADE，根据SAS可知只需AC=AE 图2即可；根据ASA可知只需B=D；根据AAS可知只需C=E故可添加的条件是AC=AE或B=D或C=E（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例3 已知：如图3，AB=AC，1=2求证：AO平分BAC分析：要证AO平分BAC，即证BAO=BCO，要证BAO=BCO，只需证BAO和BCO所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可证明：连结BC因为AB=AC，所以ABCACB因为1=2，所以ABC-1ACB-2 图3即3=4，所以BO=CO因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形 例4 已知：如图4，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF证明：过B作BGBC交CF延长线于G，所以BGAC所以G=ACE因为ACBC，CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC因为AC=BC，ACDCBG=90，所以 图4ACDCBG所以BG=CD=BD因为CBF=GBF=45，BF=BF，所以GBFDBF所以G=BDF所以ADCBDF所以ADCBDF说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图5 (3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图5所示第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是第(3)题易证AOBCOD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长解：(1)如图6示(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OCOA，在BO的延长线上取一点D，并测得ODOB，这时测出CD的长为，则AB的长就是(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图7，12，AEOB于E，BDOA于D，交点为C 求证：AC=BC 证法：AEOB，BDOA，ADC=BEC=12，CD=CE在ACD和BCE中，ADC=BEC，CD=CE，34ACDBCE(ASA)，AC=BC 图7说明：本题若用全等方法证明点C到OA、OB距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法例7 已知：如图8，ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC证明：过D作DEAB于E，DFAC于F 在BED与CFD中，12，BEDCFD，BD=CD，BEDCFD(AAS)DEDF，AD平分BAC 图8说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图9，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段证明：过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，作EGBC，垂足为G，作EHCD，垂足为HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，FAE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90 在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=DAFEDHEAE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形 . 图9例9 如图10，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了证明：在AB上截取AE=AC，连接DEAD平分BAC，EAD=CAD 在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CD 图10AB=AE+BE，AB=AC+CD延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图11，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEA FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分线构造等腰三角形. 图11课后反思：第十三章 轴对称第25 课时 131 轴对称（一）导学案主备：刘斐 备课人：李鸿海学习目标： 1在生活实例中认识轴对称图形 2分析轴对称图形，理解轴对称的概念学习重点：轴对称图形的概念学习难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴学前准备： 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十三章：轴对称今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴探索思考： 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征 这些图形都是对称的这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ 结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴 (1) (2) (3) (4) (5)观察课本P59图片，你发现了什么？ 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点随堂练习：课本P60练习1和2.活动与探究： 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合 结论：成轴对称的两个图形全等如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的 轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形课时小结： 这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称课后反思：第26课时 131 轴对称（二）导学案主备：刘斐 备课人：李鸿海学习目标： 1了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质 2探究线段垂直平分线的性质3经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察学习重点： 1轴对称的性质 2线段垂直平分线的性质学习难点： 体验轴对称的特征学前准备： 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质探索思考： 如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系？ 图中A、A是对称点，AA与MN垂直，BB和CC也与MN垂直 AA、BB和CC与MN除了垂直以外还有什么关系吗？ ABC与ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，设AA交对称轴MN于点P，将ABC和ABC沿MN对折后，点A与A重合，于是有AP=AP，MPA=MPA=90所以AA、BB和CC与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA、BB和CC的中点 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 下面我们来探究线段垂直平分线的性质 探究1如下图木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，到A与B的距离，你有什么发现？ 1用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2 2作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2讨论发现什么样的规律 探究结果： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即AP1=BP1，AP2=BP2， 探究2如图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 活动：1用平面图形将上述问题进行转化作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2会有以下两种可能 2讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？ 探究过程： 1如上图甲，若AP1BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是APP1BPP1，即L与AB不垂直 2如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有APP1=BPP1，即L与AB重合当AP2=BP2时，亦然探究结论： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上也就是说在探究2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直 师上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合随堂练习： 课本P62练习 1、2课时小结： 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题课后反思：第27课时 1321 作轴对称图形 导学案主备：刘斐 备课人：李鸿海学习目标：1通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换2如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形学习重点：1轴对称变换的定义 2能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形学习难点：1作出简单平面图形关于直线的轴对称图形 2利用轴对称进行一些图案设计学前准备： 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题 将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的 这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形探索思考： 由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案。对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途 下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下 结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形