广东汕头高中青教师解题比赛高三数学卷

2005年广东省汕头市高中青年教师解题比赛高三数学卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径第卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项填入括号中）1、 方程的解的个数是（ ）A 0个； B 1个； C 2个； D 32、设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，有如下的两个命题：若，则；若，则；那么（ ）A、是真命题，是假命题B、是假命题，是真命题C、都是真命题 D、都是假命题3、函数的部分图象大致是（ ） A B C D4、设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f889(x)（）A、sinxB、sinxC、cosxD、cosx5、已知是上的单调增函数，则的范围（ ）A、或B、或 C、D、6、已知函数，集合，集合，则集合的面积是（ ）A、 B、 C、 D、7、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ）A、B、2C、4D、8、若向量，则数列A、是等差数列； B、是等比数列； C、是等差数列也是等比数列； D、不是等差数列也不是等比数列9、下列命题，正确的是（ ）A “存在”是“在处连续”的充分条件；B “若成等比数列，则”的逆命题是真命题；C “ ”是“在处取得极值”的既非充分也非必要条件；D 若为奇函数，则;10、设、是锐角三角形的两个锐角，则复数对应的点位于复平面的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限第卷二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）11、已知的展开式中的系数和的展开式中的系数相等，则 。12、设函数的图象关于直线对称，当= ；当， 。13、在6名选手中，选取4人组队参加竞赛，其中某名选手被选中的概率是 。14、对于抛物线，以过焦点的弦为直径的圆与准线相切，那么类似的有：以过椭圆一个焦点的弦为直径的圆与对应的准线 。三、解答题：（本题共6小题，80分）15、（满分13分）已知函数（1）求图象对称中心的横坐标；（2）如果ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及此时函数的值域。16、（满分14分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点；（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求B点到平面CMN的距离。17、已知函数 （为常数）（1） 若在和处取得极值，试求的值；（2） 若在、上递增，且在上递减，又证明：18、（满分13分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布列及数学期望；（）记“函数f(x)x23x1在区间2，上单调递增”为事件A，求事件A的概率。19、（满分14分）设分别为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量，；（1） 求动点P（x，y）的轨迹方程；（2） 已知点，与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数的值；若不存在，试说明理由。20、（满分14分）已知曲线C：，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列，其中（1）求的关系式；（2）求证：是一等比数列；（3）若为偶数，求证：。参考答案一、 选择题： ADCCD CCACB1、选A ；，而，故方程无解。2、选D；若，则、可能平行也可能异面，故为假命题；若，、可能平行，也可能相交，可知也为假命题。3、选C；由，可知函数为偶函数，排除A、B；又函数值恒大于0，排除D。4、选C。由已知有，可知具有周期性，周期为4，故。 5、选D；对函数求导数，得在上恒成立，则有判别式，得。6、选C；，根据图形可知面积为。7、选C；依题意，可知直线必过圆心，代入直线可得，则。8、选A；，可知，数列为恒等于0的常数列。9、 “存在”是“在处连续”的必要条件，A不正确；命题“若，则成等比数列”是假命题，故B不正确；若在处无定义，则不可能有可见D不正确； 在处取得极值反过来，在处取得极值 （如处取得极小值，但不存在）可见C正确。选C。10、选B；由，得，有，即，故，选B。另法：取，有，排A、C、D，选B。二、填空题：11、；由题意知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，依设得，。12、填；由函数的图象关于直线对称，有，故，当时，。13、某名选手被选中的概率为 ；14、填相离。设过椭圆的一个焦点的弦的中点为，、在与焦点对应准线上的射影分别为、，有，而，有，同理，故（），故准线与圆相离；三、解答题：15、解：（1）；4分由=0即；即对称中心的横坐标为；6分（2）已知，；9分，10分，12分，即 所以，时，的值域为。13分16、解：（1）取AC中点D，连结SD，BD（5分）（2）取BD中点E，连结NE，则NE/SD故由在平面ABC内作EFCM于F，连结NF，则由三垂线定理知CMNF，的平面角。设又由即二面角(10分)（3）设B点到平面CMN的距离为，由(14分)另解：（1）取AC中点O，连结OS、OB，SA=SC，AB=BC，且.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO平面ABC， SOBO。3分以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴的正向，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，0）S（0，0，），M（1，0），N（0，）=（-4，0，0），=（0，）=（-4，0，0）（0，）=0；5分（另法：取AC中点O，连结OS、OB，SA=SC，AB=BC，且. 平面，而平面，5分）(2)由（1）得设为平面CMN的一个法向量，则 取z=1,x=8分又为平面ABC的一个法向量 二面角N-CM-B的大小为arccos10分(3)由（1）（2）得 ，为平面CMN的一个法向量点B到平面CMN的距离。14分17、解：（1），2分依设知是方程的两根，故有，从而。5分（2）在、上递增，此时有，在上递减，此时有，故 ，是方程的两根，7分于是有 8分 由得，即10分从而有，故12分18解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=0.40.50.6+=0.241 3 P0.760.24P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为E=10.76+30.24=1.48. 8分（）解法一 因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而13分另法：的可能取值为1，3.当=1时，函数上单调递增，当=3时，函数上不单调递增.所以19、解：（1）由，2分记，；而，故P 的轨迹为椭圆的一部分，其中，动点的轨迹方程为。7分（2）将整理得： （1）