2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明编 辑：_时 间：_高考考点考点解读平面向量的运算及运用1.以平面图形为载体.借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义2以平面向量基本定理为出发点.与向量的坐标运算、数量积交汇命题3直接利用数量积运算公式进行运算.求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2复数的几何意义及四则运算.重点考查复数的乘除运算程序框图1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句.尤其是含循环结构的程序框图2与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理.重点考查归纳推理和类比推理2以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件.熟记平面向量的相关公式.掌握求模、夹角的方法(2)掌握复数的基本概念及运算法则.在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解.同时注意“分母实数化”的运用(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别.尤其是含循环结构的程序框图要高度重视(4)掌握各种推理的特点和推理过程.同时要区分不同的推理形式.对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点.做到类比合.对演绎推理要做到过程严密预测2020年命题热点为：(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题.与三角函数、解析几何交汇命题(2)单独考查复数的四则运算.与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查(3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全.与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题(4)推理问题考查归纳推理和类比推理.主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题Z 1重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1.y1).b(x2.y2).则abab(b0.R)x1y2x2y10.abab0x1x2y1y20.(2)复数的四则运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a.b.c.dR)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(a.b.c.dR)(abi)(cdi)i(a.b.c.dR.cdi0)2重要性质及结论(1)若a与b不共线.且ab0.则0.(2)已知(.为常数).则A.B.C三点共线的充要条件是1.(3)平面向量的三个性质若a(x.y).则|a|.若A(x1.y1).B(x2.y2).则|.设为a与b(a0.b0)的夹角.且a(x1.y1).b(x2.y2).则cos.(4)复数运算中常用的结论：(1i)22i；i；i；baii(abi)；i4n1.i4n1i.i4n21.i4n3i.其中nN*3推理与证明(1)归纳推理的思维过程(2)类比推理的思维过程(3)(理)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值nn0(n0N*)时.命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0.kN*)时命题成立.证明当nk1时.命题也成立只要完成了这两个步骤.就可以断定命题对于任何nn0的正整数都成立Y 1忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时.在运用复数的概念时忽略某一条件而致误2不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题.要注意循环次数.防止多一次或少一次的错误3忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价1(20xx全国卷.1)设z2i.则|z|( C )A0BC1D解析 z2i2i2ii. |z|1.故选C2(20xx全国卷.1)( D )Ai BiCi Di解析i.故选D3(20xx全国卷.4)已知向量a.b满足|a|1.ab1.则a(2ab)( B )A4 B3C2 D0解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1.ab1. 原式21213.故选B4(20xx全国卷.6)在ABC中.AD为BC边上的中线.E为AD的中点.则( A )A BC D解析 作出示意图如图所示()().故选A5(20xx北京卷.2)在复平面内.复数的共轭复数对应的点位于( D )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析.其共轭复数为.对应点位于第四象限故选D6(20xx全国卷.7)为计算S1.设计了如图所示的程序框图.则在空白框中应填入( B )Aii1Bii2Cii3Dii4解析把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.循环次数N0000T0000S1111因为NN.由上表知i是135.所以ii2.故选B7(20xx天津卷.3)阅读如图所示的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为20.则输出T的值为( B )A1 B2C3 D4解析输入N的值为20.第一次执行条件语句.N20.i2.10是整数. T011.i35；第二次执行条件语句.N20.i3.不是整数. i45；第三次执行条件语句.N20.i4.5是整数. T112.i5.此时i5成立. 输出T2.故选B8(20xx天津卷.9)i是虚数单位.复数4i.解析4i.9(20xx北京卷.9)设向量a(1,0).b(1.m)若a(mab).则m1.解析a(1,0).b(1.m).则mab(m1.m)由a(mab)得a(mab)0.即m10.得m1.10(20xx全国卷.13)已知向量a(1,2).b(2.2).c(1.)若c(2ab).则.解析2ab(4,2).因为c(2ab).所以42.得. 例1 (1)如图.正方形ABCD中.M是BC的中点.若.则( B )ABCD2解析方法一：建立平面直角坐标系如图所示.设正方形的边长为2.则A(0,0).B(2,0).C(2,2).M(2,1).D(0,2).所以(2,2).(2,1).(2,2)由.得(2,2)(2,1)(2,2).即(2,2)(22.2).所以解得所以.故选B方法二：因为()()()()()().所以得所以.故选B(2)在平行四边形ABCD中.M为BC的中点.若.则.解析由图形可得：.2得：23.即.所以.所以.规律总结1平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”.通过作出向量.结合图形分析；二是基于“数”.借助坐标运算来实现2正确理解并掌握向量的概念及运算.强化“坐标化”的解题意识.注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用提醒：运算两平面向量的数量积时.务必要注意两向量的方向G 1过点P(1.)作圆x2y21的两条切线.切点分别为A.B.则PAPB.解析圆心为O(0,0).则.OPAOPB.则APB.所以cosAPBcos.2已知向量a(3,1).b(x.2).c(0,2).若a(bc).则实数x的值为( A )ABCD解析因为bc(x.4).又a(bc).所以a(bc)3x40.所以x. 例2 (1)已知复数z1的实部为a.复数z2i(2i)的虚部为b.复数zbai的共轭复数在复平面内的对应点在( D )A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限分析先计算z1、z2求出a、b.再由共轭复数的定义求得.最后写出对应点的坐标解析z112i.z2i(2i)12i.a1.b2.z2i.2i在复平面内的对应点(2.1)在第四象限(2)设(1i)x1yi.其中x.y是实数.则|xyi|( B )A1 BC D2解析因为(1i)xxxi1yi.所以xy1.|xyi|1i|.故选B(3)(20xx郑州质检二)设i是虚数单位.复数z.则|z|( B )A1 BC D2解析|z|.规律总结1解决复数的概念与运算问题.一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解一般是先变形分离出实部和虚部.把复数的非代数形式化为代数形式然后再根据条件.列方程或方程组2熟记复数表示实数、纯虚数的条件.复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键G 1设复数z满足i.则|z|( A )A1BCD2解析因为i.所以zi.故|z|1.2若复数z满足1.其中i为虚数单位.则z( A )A1i B1i C1i D1i解析由i.得i(1i)1i.z1i.3已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限.则实数m的取值范围是( A )A(3,1) B(1,3)C(1.) D(.3)解析由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3.m1).所以.解得3mN.执行循环体.a24.S4.i3.若不满足条件iN.执行循环体.a38.S8.i4.若不满足条件iN.执行循环体.a416.S16.i5.所以an2n.2执行如图所示的程序框图如果输入n3.则输出的S( B )A BC D解析由题意得.输出的S为数列的前三项和.而().所以Sn(1).所以S3. 例4 观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律.2222n(n1).解析每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和因此答案为n(n1)规律总结1在进行归纳推理时.要先根据已知的部分个体.把它们适当变形.找出它们之间的联系.从而归纳出一般结论2在进行类比推理时.要充分考虑已知对象性质的推理过程.然后通过类比.推导出类比对象的性质3归纳推理关键是找规律.类比推理关键是看共性G (20xx湖北八校联考)祖暅(公元前56世纪)是我国齐梁时代的数学家.是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幂势既同.则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等.则这两个几何体体积相等设由椭圆1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后.得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体).课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法.请类比此法.求出椭球体体积.其体积等于b2a.解析椭圆的长半轴长为a.短半轴长为b.现构造两个底面半径为b.高为a的圆柱.然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点.圆柱上底面为底面的圆锥.根据祖暅原理得出椭球的体积V2(V圆柱V圆锥)2(b2ab2a)b2a.A组1(20xx全国卷.1)( D )A12iB12iC2iD2i解析2i.故选D2(文)已知i为虚数单位.则复数( C )A2i B2i C12i D12i解析12i.故选C(理)若(12ai)i1bi.其中a、bR.则|abi|( C )Ai B C D 解析(12ai)i2ai1bi.a.b1.|abi|i |.3(20xx济南二模)已知数列an.观察如图所示的程序框图.若输入a11.d2.k7.则输出的结果为( C )A B C D解析由题中程序框图知.输出S(1).4设向量a.b满足|ab|.ab4.则|ab|( C )A B2 C2 D解析向量的数量积|ab|.ab4.|ab|2|ab|24ab16.|ab|2.故选C5设xR.向量a(x,1).b(1.2).且ab.则|ab|( B )A B C2 D10解析ab.ab0.x20.x2.ab(3.1).|ab|.6(20xx大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示.第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5.则预计第10年树的分枝数为( D )A21 B34C52 D55解析由题意可得.这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5.则211,312,523.即从第三项起.每一项都等于前两项的和.所以第10年树的分枝数是213455.故选D7下面框图所给的程序运行结果为S28.那么判断框中应填入的关于k的条件是( D )Ak8? Bk7?Ck7?解析开始k10.S1.满足条件S11011.k1019.满足条件S11920.k918.满足条件S20828.k817.由于输出S的值为28.故k7不再满足条件.故选D8设D.E.F分别为ABC的三边BC、CA、AB的中点.则( A )A B C D解析如图.()()()().选A9对任意向量a.b.下列关系式中不恒成立的是( B )A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析由|ab|a|b|cos|.因为1cos1.所以|ab|a|b|恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|ab|a|b|.故B选项不成立；根据向量数量积的运算律C.D选项恒成立1036的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232.所以36的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91.参照上述方法.可求得200的所有正约数之和为( C )A201 B411 C465 D565解析200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2002352.所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465.所以200的所有正约数之和为465.11设aR.若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上.则a1.解析(1i)(ai)(a1)(a1)i.所以a10.a1.12已知a(1,2).b(2.m).若ab.则|2a3b|等于4.解析由abm40.解得m4.故2a3b2(1,2)3(2.4)(4.8).因此|2a3b|4.13已知ABC的面积为2.且B.则4.解析设ABC的三角A.B.C的对边分别为a.b.c.则SacsinBac2.即ac8.|cos(B)cacos84.14执行下边的程序框图.若输入的x的值为1.则输出的y的值为13.解析第一次执行程序.满足条件x2.x112；第二次执行程序.不满足条件x2.y322113.输出y13.结束答案为13.15(20xx聊城一模)观察等式：f()f()1；f()f()f()；f()f()f()f()2；f()f()f()f()f()；由以上几个等式的规律可猜想f()f()f()f()1_009.解析从所给四个等式看：等式右边依次为1.2.将其变为.可以得到右边是一个分数.分母为2.分子与左边最后一项中自变量的分子相同.所以f()f()f()f()1 009.B组1设复数z11i.z22bi.若为实数.则实数b等于( D )A2 B1 C1 D2解析.若其为实数.则有0.解得b2.2(文)(20xx石景山检测)已知复数z(a21)(a1)i.若z是纯虚数.则实数a等于( B )A2 B1 C0 D1解析z为纯虚数.a1.(理)已知复数z11i.z2ai.若z1z2为纯虚数.则实数a的值为( B )A1 B1 C2 D2解析z1z2(a1)(a1)i为纯虚数.a1.3(20xx全国卷.4)设非零向量a.b满足|ab|ab|.则( A )Aab B|a|b| Cab D|a|b|解析方法一：|ab|ab|.|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A方法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中.设a.b.由|ab|ab|知|.|AC|DB|从而四边形ABCD为矩形.即ABAD.故ab.故选A4执行如图所示的程序框图.若输入的a值为1.则输出的k值为( B )A1 B2 C3 D4解析输入a1.则b1.第一次循环.a.k1；第二次循环.a2.k2；第三次循环.a1.此时ab.结束循环.输出k2.故选B5(20xx潍坊一模)若复数zm(m1)(m1)(m2)i是纯虚数.其中m是实数.i21.则等于( D )A B C D解析因为复数zm(m1)(m1)(m2)i是纯虚数.所以m(m1)0且(m1)(m2)0.所以m0.则.6设向量a.b满足|a|b|ab|1.则|atb|(tR)的最小值为( A )A B C1 D2解析由于|a|b|ab|1.于是|ab|21.即a22abb21.即ab.|atb|2a22tabt2b2(1t2)2tabt2t1.故|atb|的最小值为.7如图所示将若干个点摆成三角形图案.每条边(包括两个端点)有n(n1.nN)个点.相应的图案中总的点数记为an.则( C )A BC D解析每条边有n个点.所以三条边有3n个点.三角形的3个顶点都被重复计算了一次.所以减3个顶点.即an3n3.那么.则()()()()1.故选C8中国古代有计算多项式值的秦九韶算法.下图是实现该算法的程序框图执行该程序框图.若输入的x2.n2.依次输入的a为2,2,5.则输出的s( C )A7 B12 C17 D34解析由程序框图知.第一次循环：x2.n2