不等式的证明教案

不等式的证明教案 戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师不等式的证明 （1） 一、讲解新课1比较法之一（作差法）步骤作差变形判断与0的关系结论2比较法之二（作商法）步骤作商变形判断与1的关系结论 二、讲解范例例1求证x2+33x例2已知a,b,m都是正数，并且ab，结果会怎样？若没有“aa2b3+a3b2例4设a,b?R，求证a b?(ab)+a?m a?b?m ba ba?b2?ab b a戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师利用综合法证明不等式 （2） 一、复习引入1重要不等式如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取?号)2定理如果a,b是正数，那么22a?b?ab(当且仅当a?b时取?号).2a2?b2a?b23公式的等价变形ab，ab（）224b a，当且仅当ab时取“”号；?2（ab0）a b?5定理如果a,b,c?R，那么a?b?c?3abc（当且仅当a?b?c时取“=”）6推论如果a,b,c?R，那么取“=”）7比较法之一（作差法）步骤作差变形判断与0的关系结论比较法之二（作商法）步骤作商变形判断与1的关系结论 二、讲解范例例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证?333a?b?c3?abc（当且仅当a?b?c时3a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc证明b?c2bc,a0,a(b?c)2abc同理b(c?a)2abc222222c(a2?b2)2abc因为a，b，c不全相等，所以b?c2bc,c?a2ca,a?b2ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc222222戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师例2已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证a?b?c?(a?b?c)证明左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比数列，b?ac又a，b，c都是正数，所以0?b?a?c?b2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0a?b?c?(a?b?c) 四、课堂练习1设a,b,c?R，1?求证a?b?2222222aca?c?a?c222222222(a?b)222222?求证a?b?b?c?c?a?3?若a+b=1,求证a?2(a?b?c)11?b?222a2?b2a?b a?b a2?b2a?b2?|?()?0证1?22222a?b?222(a?b)22(b?c)，2222?同理b?c?2222c2?a2?222(c?a)22(a?b?c)三式相加a?b?b?c?c?a?3?由幂平均不等式戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师111(a?b?)?222a?11(a?)?(b?)22?2(a?b?1)?22?1211?b?222111?)?9a b c11192?(a?b?c)(?)?a?b b?c c?a2a b c33?b?c c?a a?b22a,b,c?R,求证1?(a?b?c)(证1?法一a?b?c?33abc,法二左边?1111?33,两式相乘即得a b c abca?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b?3?(?)?(?)?(?)a b c a b a cb c3+2+2+2=92?a?b b?c c?a33?(a?b)(b?c)(c?a)22221111?33两式相乘即得a?b b?c c?a(a?b)(b?c)(c?a)3?由上题(a?b?c)(1119?)?a?b b?c c?a2ca b9a b c31?1?1?即?a?b b?c c?a2b?c c?a a?b2戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师分析法证明不等式 （3） 一、讲解新课1分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2用分析法证明不等式的逻辑关系是B?B1?B2?B n?A3分析法的思维特点是执果索因4分析法的书写格式要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有?这只需要证明命题B2为真，从而又有?这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真 三、讲解范例例1求证3?7?25证明因为只需证明(展开得即3?7和25都是正数，所以为了证明3?7?253?7)2? (25)210?221?20221?10,21?25因为21?25成立，所以(3?7)2? (25)2成立即证明了3?7?25戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师说明分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法分析法论证“若A则B”这个命题的模式是为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有?这只需要证明命题B2为真，从而又有?这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真 四、课堂练习已知a,b,c,dR,求证:ac+bd(a?b)(c?d)一:分析法证法一: (1)当ac+bd0时,显然成立 (2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,22222只需证(ac+bd)(a+b)(c+d)222222222222即证a c+2abcd+b da c+a d+b c+b d2222即证2abcdbc+a d2即证0(bc-ad)因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合 (1)、 (2)可知:原不等式成立二:综合法22222222222222222222证法二:(a+b)(c+d)=a c+a d+bc+b d=(ac+2abcd+b d)+(bc-2abcd+a d)222=(ac+bd)+(bc-ad)(ac+bd)2222(a?b)(c?d)|ac+bd|ac+bd2222故命题得证三:比较法222222证法三:(a+b)(c+d)-(ac+bd)=(bc-ad)0,22222(a+b)(c+d)(ac+bd)(a?b)(c?d)|ac+bd|ac+bd,即ac+bd(a?b)(c?d)22222222戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师 六、作业1选择题 (1)若log ab为整数,且log a是（a）12log ab log b a,那么下列四个结论中正确的个数b12balog ab+logba=00 (2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（b）A|x1|2且|x2|2B|x1+x2|4C|x1+x2|0,y0,且x?ya x?y成立,则a的最小值是（b）A22+B2C2D22 (5)已知a,bR,则下列各式中成立的是（a）2222A coslga+sinlgblg(a+b)cos2sin22sin2C ab=a+b D acosba+b+ (6)设a,bR,且ab-a-b1,则有（a）A a+b2(2+1)B a+b+1C a+b(2+1)2Da+b2(2+1)2用分析法证明:24223(1+a+a)(1+a+a)242222222证明:要证3(1+a+a)(1+a+a)只需证3(1+a)-a(1+a+a)即证3(1+a+a)(1+a-a)(1+a+a)222221+a+a=(a+2123)+0242只需证3(1+a-a)1+a+a展开得2-4a+2a022422即2(1-a)0成立故3(1+a+a)(1+a+a)成立3用分析法证明:22222ab+cda?c?b?d证明:当ab+cd16+215即2354+21522证明: (1)欲证展开得12+2只需证(2故35)(4+215)即415这显然成立5?7?1?15成立 (2)欲证x?1?只需证即证(x?2?x?3?x?4(x4)x?1?x?4?x?3?x?2(x4)x?1?x?4)2?(x?3?x?2)2(x4)展开得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2戴氏教育集团璧山戴氏教育精品堂学校数学1V1周鹏专用讲义主讲王老师即(x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)(x?1)(x?4)0,2ca+b,求证: (1)c2ab （2）c-c2?ab （1）ab(a?b) （2）欲证c-只需证-2c2?ab0,只要证a+b2c(已知)故原不等式成立6已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根,证明: (1)如果|2,|2,那么2|4+b且|b|4 (2)如果2|4+b且|b|4,那么|2,|22证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:+=-a,=b则有: (1) (2)等价于证明|2,|2?2|+|4+,且|0,y0，2x+y=1，求证11?3?22x y证一?11?2x y11?(2x?y)?3?3?22即?3?22?x yy xx y?证二由x0,y0，2x+y=1，可设x?则12sin?,2y?cos2?1121?2(1?cot2?)?(1?tan2?)22x ysin?cos?3?(2cot2?tan2?)?3?22例3若x?y?1，求证|x?2xy?y|?证设x?rsin?,2222222y?rcos?,(0?r?1)，22222则|x?2xy?y|?|r cos?2r cos?sin?r sin?|戴氏教育集团璧山戴氏教育精