《阵列天线分析与综合》培训讲义教案4

阵列天线分析与综合培训讲义教案4 阵列天线分析与综合讲义王建2.6伍德沃德劳森抽样法简称伍德沃德法。 这种方法是用于天线波束赋形的一种常用的方向图综合方法，它是对所需方向图在不同离散角度处进行抽样来实现预期方向图的。 与各方向抽样和联系的是谐波电流，谐波电流对应的场叫做构成函数。 综合方法分为连续的线源和离散的线阵分别讨论。 对于连续线源。 其构成函数为形式，对于离散线阵，其构成函数为形式。 各谐波电流激励系数等于所要求的方向图在对应抽样点上的幅度。 谐波电流的有限项之和为源的总激励。 构成函数的有限项之和则为综合的方向图，其中每一项代表一个电流谐波产生的场。 sin()/m mau u mmsin()/(sin)m manu n uma伍德沃德方法中有关公式的处理类似于信号理论中的香农(Shannon)抽样定理。 该定理指出“一个有限频带的函数，如果最高频率为()g thf，则函数可以用等间隔的抽样唯一地表示。 抽样间隔必须不大于()g t1/ (2)/2h htf T=，为对应于最高频率的周期”。 用类似的方法综合天线方向图时，其抽样间隔应取hT/L弧度，L为源的长度。 2.6.1连续线源 (1)连续线源上的电流分布对于长为L的连续线源，伍德沃德方法是令连续线源的总电流I(z)在线上用若干谐波电流()nI z的有限和来表示()(),/2/2Nnn NI z Iz Lz L=?=?(2.119)式中谐波电流为cos(),/2/2njkznnaI z e Lz LL?=?(2.120)n代表所需方向图的抽样角度。 (2N个偶数抽样)1,2,n=?NN(2N+1个奇数抽样)0,1,2,n=? (2)谐波电流产生的场方向图由各谐波电流()nI z产生的场方向图函数(即构成函数)为/2/2(cos cos)cos/2/2()()nL Ljkzjkznn nL LaS Izedz eL?=dz106阵列天线分析与综合讲义王建sin(cos cos)2(cos cos)2nnnkLakL?=?(2.121)其最大值发生在n=处。 (3)总电流分布产生的场方向图由式(2.119)总电流()Iz产生的总方向图为sin(cos cos)2()()(cos cos)2N Nnn nn N n NnkLS S akL=?=?=?(2.122)上式的最大值也发生在n=处，其最大值为max()()n n nS S Sna=(2.123)即在n=处，综合的方向图最大值()nS等于各谐波电流所产生场方向图的最大值()n nS，而其它的所有抽样点对应的()0,()n mS m n=。 这是本方法最吸引人的地方。 若式(2.122)等号左边为预给方向图()()S f=激励系数就可以在抽样点nan=处得到，即()na fn=(2.124)然后由式(2.122)就得到综合的方向图，由式(2.119)和(2.120)就可得到线源上的电流分布。 (4)抽样间隔的确定为了使综合的方向图对应实际观察角可见区0=，且满足周期2的要求和准确地重建给定的方向图，可按下式确定抽样间隔。 |2/z LkzL=?=(2.125)每个抽样角度点的位置n为1cos/cos(/)n nn n Ln L?=?=(2.126)因此，N应是最接近于/N L的整数。 一旦由式(2.126)确定每一个抽样点的位置，抽样点处的方向图函数值就只由一个抽样值定出，与其它抽样点的场无关。 【例2.8】设预给方向图关于/2=对称，由下式给出，如下图2-17所示。 107阵列天线分析与综合讲义王建1,/43/4()0,f?=?其它(a)极坐标图(b)直角坐标图图2-17扇形方向图f()的极坐标和直角坐标图试求一个置于z轴上、长为5L=的线源电流分布。 这称为扇形方向图，广泛用于搜索雷达和通信中，解因5L=，取N=5，抽样间隔/0.L2=，抽样点总数为2N111。 角度抽样点由下式给出11cos(/)cos(0.2),0,1,2,5nn Ln n?=?由式(2.124)确定系数()n naf=所得抽样点角度和激励系数由下表2-2给出表2-2抽样点角度和激励系数N-5-4-3-2-1012345n(o)180143.13126.87113.58101.549078.4666.4253.1336.870na00111111100由sin(cos cos)2()(cos cos)2Nnnn NnkLkLS a=?=?计算的方向图见下图2-18。 如果线源长度愈长，抽样点数愈多，则综合的方向图愈接近预给方向图。 图2-18用伍德沃德-劳森综合法的线源方向图S()与预给方向图f()的比较108阵列天线分析与综合讲义王建2.6.2离散线阵上一节讨论的伍德沃德方法综合连续线源的过程也适应于离散线阵。 此时抽样方向图函数(即构成函数)式(2.121)应该用均匀直线阵的阵因子来代替。 设一个均匀直线阵的单元数为N，间距为d，则该直线阵的阵列长度为L=Nd，对应于式(2.121)的抽样方向图函数为sin(cos cos)2()1sin(cos cos)2nn nnNkdS aN kd?=?(2.127)总场阵因子可写成N=2M或N=2M1项的叠加，而每一项都具有式(2.127)的形式。 即sin(cos cos)2()()1sin(cos cos)2M Mnn nn Mn MnNkdSSaNkd=?=?=?(2.128)如果上式等号左边为预给方向图()()S f=，则抽样点的阵元激励系数就为预给方向图在抽样点的值。 即na()()n naS fn=(2.129a)如果抽样点正好在()f的边缘，则应取0.5()na fn=(2.129b)抽样点由下式确定1cos cosn nn n nL Nd Nd?=?=(2.130)各单元的激励电流为j cos1()m nMkzm m nnMI za eN?=?=(2.131)式中为单元位置。 对于奇数(N=2M1)和偶数(N=2M)阵列均有，mz( (1)/2,1,2,1mz m N dmN=?+=?(2.132)此式是以阵列中心为坐标原点计算的阵列单元位置。 【例2.9】设预给方向图为扇形方向图，由下式给出。 试求一个置于z轴上，单元数为N=20，间距为/2d=的直线阵列各单元的激励分布。 1,/32/3()0,f?=?其它109阵列天线分析与综合讲义王建解由N=2M=20，则M=10，L=Nd；由式(2.130)确定抽样点角度n；由式(2.129)确定抽样值,0,1,2,na nM=?。 这些结果示于表2-3中。 表2-3扇形波束的抽样角度n和抽样值nan-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10n(o)180154.2143.1134.4126.91xx3.6107.5101.595.790na000000.511111n12345678910n(o)84.378.572.566.46053.145.636.725.80na11110.500000上表中抽样点正好在预给方向图函数的边界上，所以抽样值取其一半。 由式(1.132)确定阵列单元坐标位置；由式(2.131)确定阵列单元激励电流；结果示于表2-4中。 mz表2-4按扇形波束要求综合得到的单元位置和激励电流mzmI单元编号m12345mz/0.250.751.251.752.25mI0.449230.14727-0.08536-0.05770.0414单元编号m678910mz/2.753.253.254.254.75mI0.0302-0.02167-0.014640.008490.00278综合得到的激励电流应该是复数，由于其虚部为零，所以表中没给出来。 由式(2.128)计算并绘出的方向图如下图2-19所示。 图2-19用伍德沃德-劳森综合法的阵列方向图S()与预给方向图f()的比较综合得到的方向图的阵列如下图2-20所示，单元数为N=20，单元间距为/2d=，阵列中各单元的激励电流mI已由表2-4中列出。 由此阵列采用第一章的方法可给出阵因子为110阵列天线分析与综合讲义王建10(),cosNjmummS Ie u kd?=由此阵因子绘出的方向图与图2-19综合得到的方向图完全重合。 图2-20实现综合得到的阵列方向图S()的直线阵列2.7泰勒综合法前面我们讨论了经典的道尔夫切比雪夫综合方法，由此得到的切比雪夫阵列其方向图是最佳的，即在相同阵列长度情况下对给定的副瓣电平，其主瓣宽度是最窄的，或对给定的主瓣零点宽度，所得副瓣电平是最低的。 但是当阵列单元数较多(025dBR dB=，及13N035dBR dB=，)时，切比雪夫阵列两端单元的激励幅度将发生跳变，最末单元比其相邻单元的激励幅度大许多，不利于馈电并对方向图副瓣电平影响很大。 这一节介绍与切比雪夫综合法密切相关的另外一种经典综合方法泰勒综合法。 25N采用泰勒综合法设计的泰勒阵列，其方向图只是靠近主瓣某个区域内的副瓣电平接近相等，随后单调地减小，有利于提高天线方向性。 如果设计得当，激励幅度分布的变化在阵列两端是单调减的，不会出现两端单元激励幅度跳变的情况。 泰勒综合法设计灵活，适应面宽，在工程设计中得到广泛应用。 虽然泰勒综合法是针对连续线源设计的一种方法，但可以根据抽样定理将其离散化。 换言之，可用单元数足够多的离散阵列幅度分布来逼近连续线源的泰勒分布。 2.7.1线源的等副瓣理想空间因子早在1954年，Mass就把切比雪夫多项式用于综合线源，得到了一个副瓣电平可以控制的空间因子(方向图函数)。 首先，他在切比雪夫多项式的基础上定义了一个新函数12222221222coscos(),|()|1()()coshcosh(),|()|1N NN B a z B azW zT Ba zN Ba z Baz?=?=?(2.133)111阵列天线分析与综合讲义王建式中，为N阶切比雪夫多项式，B和a均为常数。 引入新函数的目的是把的两个大幅度区域合并起来，以形成方向图的主瓣，而把等波纹区域用来形成副瓣。 如下图2-21就是N=4时和的图形。 22(NT Ba z?)()NT x()NT x222(NW Ba z?在图(b)中，参数取为101cosh(cosh)B RN?=，/ (2)a N=，。 020R=2()NW z的零点由122coscos()0NBa z?=确定，即122cos() (21),1,2,2NBazn n?=?=?得零点位置12cos()2nnz BaN1?=?(2.134)(a)(b)图2-21和的图形，N=4()NT x222(NW Baz?)由上图可见，函数的主瓣两侧各有N个零点和N-1个等副瓣。 由于的波纹幅度为1，则主-副瓣幅度比为2()NW z()NT x102 (0)()cosh(cosh)N NRW TB N?=B(2.135)得101cosh(cosh)B RN?=(2.136a)10cosh A R?=若令(2.136b)则cosh(/)B AN=(2.136c)这样，我们就可以用主副瓣幅度比0R来确定参数B。 参见图2-21(b)，如果参数a变小而N不变，则主瓣将展宽；如果取/ (2)a=N(2.137)即a随N的增大而变小，显然副瓣数量增加，则主瓣变窄。 如果令，则。 把式(2.137)解出N0a/N=2a代入(2.136c)，再由式(2.134)可得零点位置为112阵列天线分析与综合讲义王建22xx1limcosh (2)cos()(1/2)2nanz aAa Aa2n?=?=+?即22(1/2),1,2,nz An n=+?=?(2.138)2()NW z函数的主瓣两侧各有N个零点，N-1个等副瓣。 现在把这些零点扩展为无穷多个()，并根据一个有N个零点的函数f(z)，可表示成N个因式()的连乘积的形式Nnz22nz z?221()()Nnnf z C z z=?的事实，可得具有无穷多个副瓣的理想空间因子为22222211(,)lim()()(1/2)N nNn nF zA WzCzzC An z=?=+?222211(1/2)1(1/2)n nzAC nn=?=?(2.139)令，则得211(1/2)nC n?=?2221(,)1(1/2)nz AF z An=?=?(2.140a)由公式2221cos1(1/2)nxxn=?，(1/2)n?是cosx的零点则得22(,)cos()FzA zA=?(2.140b)式中，101cosh A R?=(2.141)对于一个长为L的连续线源，其空间因子(即方向图函数)可由式(2.140b)表示为22(,)cos(),cosLF u A u A u=?=(2.142)此式即为理想的空间因子。 分区表示为|u A，为主瓣区22()cosh()F A=u?(2.142a)|u A，为幅瓣区22()cos()F u=?A(2.142b)当u=0(/2=)时，出现最大值max00(,)|cos(j)cosh()uF F u A A AR=(2.143)113阵列天线分析与综合讲义王建由于理想空间因子所有副瓣最大值均为1（22|cos()|1uA?），而主瓣最大值0R是可调整的，所以理想空间因子是可调副瓣的。 若取线源长度为16L=，主副瓣电平比为026dBR dB=，则可由式(2.142)绘出理想空间因子的方向图如图2-22所示。 图2-22连续线源的理想空间因子图形如果线源长度L愈大，则副瓣就愈多，若L，则有无穷多个副瓣。 由于是等电平副瓣，远副瓣电平不衰减，且当(,)F uA L时，cos/u L=。 具有无限多个不衰减副瓣的空间因子实际上是不能实现的。 即找不到一种电流分布来实现这种理想空间因子的方向图。 (,)F uA但是我们可以从理想空间因子出发，对其进行改造，以得到可实现的空间因子。 下面就介绍改进的方法。 2.7.2泰勒方向图这一节主要介绍对线源理想空间因子的改造，以构建可实现的方向图泰勒方向图的原理、方法和过程。 一、构造泰勒方向图的基本思想1.由线源的理想空间因子22(,)cos()F uA uA=?出发分析其性质性质零点位置22(1/2),1,2,nu An n=+?=?；等副瓣，且副瓣最大值|(,)|1SLLF FAA=；主瓣最大值0(0,)/cosh()SLLR FA FA=，101cosh AR?=(可调)114阵列天线分析与综合讲义王建u时，主瓣两侧()有无穷个副瓣。 如下图2-23(a)所示。 2uA2图2-23理想空间因子和基本函数归一化图形。 图(a)中所取参数为R0dB=26dB考虑到理想空间因子在实际中不能实现，因此2.引入基本函数sin()uu性质零点位置,1；,2nu n n=?,副瓣最大值以的规律减小，如图2-21(b)所示；1|u?副瓣电平高，约为13.5dB；基本函数虽然在实际中可实现，但其副瓣电平高，因此也必须加以改造。 3.引入波瓣展宽因子，改造理想空间因子把理想空间因子改写作22(,)cos(/),1F uA uA=?(2.144)除其零点位置不同之外，其余性质与改造前相同。 零点位置22(1/2),1,2,nu An n=+?=?(2.145)4.改造基本函数构建泰勒方向图函数由于基本函数sin()/()u u的副瓣电平高，根据向远副瓣方向移动零点位置可以降低副瓣电平的原理，泰勒构建了一个线源的方向图函数1211211(/)sin()(),cosh()1(/)nnnnnu uuS u CC Auu n?=?=?=?(2.146)该方向图函数的含义是把基本函数的前1n?个零点用改造的理想空间因子的零点取代，而第n个以后的零点保持为基本函数的零点。 即115阵列天线分析与综合讲义王建零点位置为22(1/2),1,nA n n nun n?+?=?1n?，20()21/BW AL4+(2.164b)用于阵列时取L Nd=。 二、半功率波瓣宽度()h BW123阵列天线分析与综合讲义王建由修改后的连续线源理想空间因子2()cosh(/)FuA u=?2，令其等于最大值的1/2，即2201cosh(/)cosh()22hRA uA?=得21201cosh()cos2h hRLu A?=?=210cos()cosh(/2)hA RL2?=?(2.165)设半功率波瓣宽度的一半为|/2h mh h=?=?，作运算sin()sin(/2)cosh hh=?=，且101cosh R?=，A得1121200()22sin(cosh)(cosh)2h hRBW RL?=?(rad)(2.166a)当L时，121200()2(cosh)(cosh)2hRBWRL?(rad)(2.166b)用于阵列时取LNd=。 在阵列长度和副瓣电平相同的情况下，泰勒阵列方向图的波瓣宽度(主瓣零点宽度和半功率波瓣宽度)与切比雪夫阵列波瓣宽度相比要大倍。 切比雪夫阵列的主瓣宽度可由均匀直线阵列的主瓣宽度乘上一个波束展宽因子f来表示，见式(2.31)。 则泰勒阵列的主瓣宽度也可由均匀直线阵列的主瓣宽度表示为o()51()sinhmBW fNd=?(2.167)式中，cosmkd=?，f由式(2.30)表示，由式(2.148)给出。 根据主副瓣比R0，可计算泰勒天线的主要参数。 如由式(2.141)可计算A，由式(2.148)和(2.149)可计算和n。 列于表2-5中。 表2-5泰勒天线主要参数表R0A2dB数值=2=3=4=5=6=7=8nnnnnnn155.623410.58951.18691.14711.11631.09531.08041.06951.0611xx0.90781.12591.12131.10271.0871.07491.06551.0582124阵列天线分析与综合讲义王建2517.78281.29181.09241.0871.07731.06831.06081.05463031.62281.74231.06931.06621.06081.05541.05053556.23412.25981.05371.05231.04921.0459401002.84431.0431.04241.04072.7.7泰勒综合法的设计准则 一、根据主副瓣比选择适当的n1n?n的含义是泰勒方向图的前个零点由修改的理想空间因子决定，使前1n?个副瓣接近相等。 它应该根据主副瓣比来选择，即由下式确定221/n A+2一般可取221/2n A1=+101cosh AR?=0R式中，为主副瓣幅度比。 如果给定的是主副瓣电平比0dBR(=020lgR)，则。 0/xx0dBRR=0dBR25dB40dB，38。 见前面表2-5。 n若 二、泰勒阵列单元数不能太少0dBR否则按主副瓣电平比设计的阵列其方向图副瓣电平，不能达到设计目的。 例如阵列单元数取N=7和N=8，单元间距取0dBSLL R?0.5d=0.6d=和计算并绘出的归一化方向图如图2-31所示。 由图2-31的变化趋势可看出，增加单元数如时，给定指标9N0dBR25dB，则阵列方向图的副瓣电平0dBSLL R=?。 这个问题是可以证明的。 (a)N=7，R=25dB(b)N=8，R0dB0dB=25dB图2-31单元数太少的泰勒阵列归一化方向图/2d=证明一个N单元阵列，当时，其方向图的零点个数为N1，主瓣两侧各有副瓣/21N?/21N n?，则个，应有2 (1)Nn+(2.168)125阵列天线分析与综合讲义王建3n25odBR dB=，得N8。 由前面表2.5查得当时，4n30odBR dB=，得N10。 当时，35odBR dB=，得N12。 5n当时，6n40odBR dB=，得N14。 当时， 三、余量设计原则在阵列天线设计中，往往会给出副瓣电平这一指标要求。 副瓣电平SLL的定义是20lg|SLL=副瓣最大场强值主瓣最大场强值0dBR0dBR SLL=?它与主副瓣比电平的关系为。 由给定副瓣电平综合的泰勒阵列，各单元的激励分布是理想的分布。 但实际加工制作出来的功分器馈电网络总是存在误差，不仅有激励幅度误差，而且还存在相位不一致的相位误差，实际上还存在单元天线之间互相耦合的互耦误差等。 这些误差都将导致方向图副瓣电平的升高。 因此应该有余量设计思想。 例如给定25SLL dB?，则实际应该再降低710dB进行设计，即以为余量指标进行设计。 3335()SLL dB=? 四、同一泰勒阵列实现单脉冲如果要使泰勒阵列实现单脉冲雷达体制，即要实现和、差方向图，则其实现差方向图的条件为阵列单元数为偶数，阵列一分为二时，一半单元与另一半单元的馈电相位相差。 2.7.8泰勒综合法设计实例【例2.10】设计一个单元数为N，等间距为d的泰勒直线阵列。 该阵列要列实现扫描，侧射时的半功率波瓣宽度为，副瓣电平为-26dB，同时实现和、差方向图。 要求o30o5 (1)确定N和d； (2)确定扫描角最大时对应的相位;max (3)计算侧射时的方向性系数D;nI (4)确定单元激励幅度分布，并写出排列顺序； (5)写出和、差阵因子表示，计算并绘出和、差方向图。 解已知扫描角，o030=o()5hBW=26SLL dB=?，要同时实现和、差方向图，则N应取偶数。 126阵列天线分析与综合讲义王建 (1)主副瓣比026dBR SLLdB=?=0/xx020dBRR?=1200011cosh ln (1)1.1733AR RR?=+?=221/n A+2取221/214.25n A=+=3取整4n?=22(1/2)nA n=+?1.0836121200()2(cosh)(cosh)0.994451802hRBW RNdNd?=由12.35Nd=(*)0110.661|cos|1|sin|md=+由抑制栅瓣条件得N=18.7取N=200.6d=再回代入(*)式计算得-或由式(2.167)o()51()sinhmBW fNd=?212xx10.636cosh(cosh)f RR?=+?切比雪夫阵列波瓣展宽因子1.079侧射时/2m=，则()511.0791.08365hBWNd=12Nd=得(*)0110.661|cos|1|sin|md01R0()NT x?=0R，为主副瓣比)。 其过程是分奇数和偶数阵列分别写出阵因子函数和并展开成只含co的形式，同时分奇数和偶数阶把切比雪夫多项式和也展开成只含的形式，并令()oS u()eS u()oS usucosu21()NT u+2()NT u129阵列天线分析与综合讲义王建或，比较展开式系数即可得直线阵列的激励幅度分布。 ()eS u1()NeT u?1()NoT u?泰勒综合法原理及过程是首先构建泰勒方向图函数1211211(/)sin()()1(/)nnnnnu uuSu Cuun?=?=?=?并将其写作归一化和阶乘形式2121 (1)!()1() (1)! (1)!nnnnn uSununuu?=?=?+?然后对一个沿方向放置的长为L的连续线源假定其为对称分布且展开成傅立叶形式()4jkreA Sr?=02()cos()mmmI BL=u由此连续线源求得其矢量位，其中为()Su/2000,022()2cos()cos()/2,1,2,1LmmmB Lmm uSu BdB LmnLL=?=?=?，um令可解出()()|n uSuSu=()I的表达式中，得mB代入m1112() (0)2()cos()nn nmmISSmL L?=+然后将此连续的电流分布离散化，可得离散阵列的激励幅度分布。 二、综合结果的比较/2d=设一个等间距为，单元数为N=32的直线阵列，若要求方向图的副瓣电平为-30dB，采用切比雪夫和泰勒综合方法可得阵列的激励幅度分布nI和归一化方向图()F如图2-35所示。 130阵列天线分析与综合讲义王建