数字电路基础-第1章-逻辑代数基础.ppt

数字电子技术 课程特点 数字电路是一门技术基础课程 它是学习微机原理 接口技术等计算机专业课程的基础 既有丰富的理论体系 又有很强的实践性 数字电路内容 基础内容 组合逻辑电路 时序逻辑电路 其他内容 学习重点 在具体的数字电路与分析和设计方法之间 以分析和设计方法为主 在具体的设计步骤与所依据的概念和原理之间 以概念和原理为主 在集成电路的内部工作原理和外部特性之间 以外部特性为主 数字电子技术 第1章逻辑代数基础1 1概述1 2数制与代码1 3二进制数的算术运算1 4逻辑代数中的逻辑运算1 5逻辑代数的基本定律和规则1 6逻辑函数及其描述方法1 7逻辑函数的化简 一 模拟信号和数字信号模拟信号 在时间和数值上连续变化的信号 时间上连续 幅值上也连续例如 温度 正弦电压 数字信号 在时间和数值上变化是离散的信号 时间上离散 幅值上整数化例如 人数 物件的个数 1 1概述 二 模拟电路和数字电路模拟电路 工作在模拟信号下的电子电路 数字电路 工作在数字信号下的电子电路 具体讲 数字电路就是对数字信号进行产生 存储 传输 变换 运算及处理的电子电路 三 数字电路的优点精确度较高 有较强的稳定性 可靠性和抗干扰能力 具有算术运算能力和逻辑运算能力 可进行逻辑推理和逻辑判断 电路结构简单 便于制造和集成 使用方便灵活 1 1概述 1 2数制与代码 一 数制的几个概念 位权 位的权数 在某一进位制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 权数是一个幂 进位计数制 表示数时 仅用一位数码往往不够用 必须用进位计数的方法组成多位数码 且多位数码每一位的构成及低位到高位的进位都要遵循一定的规则 这种计数制度就称为进位计数制 简称数制 基数 进位制的基数 就是在该进位制中可能用到的数码个数 1 2 1数制 1 2数制与代码 二 几种常用数制 结论 一般地 R进制需要用到R个数码 基数是R 运算规律为逢R进一 如果一个R进制数M包含 位整数和 位小数 即 M R an 1an 2 a1a0 a 1a 2 a m R 位置记数法 an 1 Rn 1 an 2 Rn 2 a1 R1 a0 R0 a 1 R 1 a 2 R 2 a m R m 按权展开法 1 2数制与代码 1 2数制与代码 例 数制转换 任意进制按权展开即可得到十进制数 1 任意进制数转换为十进制数按权展开 相加即可得 2 十进制数转换为任意进制数整数部分 除基数R倒取余法小数部分 乘基数R取整法例2 将十进制数 25 638 10转换为二进制数 1 2数制与代码 三 数制间的转换 25 10 11001 2 0 638 10 0 1010 2 25 638 10 11001 1010 2 1 2数制与代码 3 二进制数和八进制数 十六进制数间的转换 八进制数和十六进制数的基数分别为8 23 16 24 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数 四位二进制数相当一位十六进制数 它们之间的相互转换是很方便的 1 2进制数转换为8进制 16进制数 小数点 三 四 位一组 不足右补零 三 四 位一组 不足左补零 2 8进制 16进制数转换为2进制数 1 2数制与代码 例 求 1101111010 1011 2 8 16 二进制1101111010 1011 八进制1572 54 所以 01101111010 1011 2 1572 54 8 所以 01101111010 1011 2 37AB 16 00 00 例 求 375 46 8 2 678 A5 16 2 八进制375 46 二进制011111101 100110 十六进制678 A5 二进制011001111000 10100101 所以 375 46 8 011111101 100110 2 所以 678 A5 16 1100111100010100101 2 1 2数制与代码 1 2数制与代码 1 2 2代码 用一定位数的二进制数来表示十进制数码 字母 符号等信息称为编码 这一定位数的二进制数就称为代码 数字系统只能识别0和1 怎样才能表示更多的数码 符号和字母呢 用编码可以解决此问题 用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0 9十个数码 简称BCD码 有多种编码方式 一 二 十进制码 BCD码 对于N个信息 要用几位的二进制数才能满足编码呢 2n N 1 2数制与代码 8421BCD码和十进制间的转换是直接按位 按组 转换 如 36 10 00110110 8421BCD 110110 8421BCD 101000101111001 8421BCD 5179 10 1 2数制与代码 二 可靠性编码 1 格雷码 Gray码 格雷码是一种典型的循环码 循环码特点 相邻性 任意两个相邻码组间仅有一位的状态不同 循环性 首尾两个码组也具有相邻性 两位格雷码 0011 00001111 0000000011111111 三位格雷码 四位格雷码 00011110 10110100 01 10 100101111110010011001000 000001011010110111101100 1 2数制与代码 一种典型的格雷码 2 奇偶校验码代码 或数据 在传输和处理过程中 有时会出现代码中的某一位由0错变成1 或1变成0 奇偶校验码由信息位和一位奇偶检验位两部分组成 信息位 是位数不限的任一种二进制代码 检验位 仅有一位 它可以放在信息位的前面 也可以放在信息位的后面 编码方式有两种 使得一组代码中信息位和检验位中 1 的个数之和为奇数 称为奇检验 使得一组代码中信息位和检验位中 1 的个数之和为偶数 称为偶检验 1 2数制与代码 1 2数制与代码 8421BCD奇偶校验码 3 ASCII码 AmericanStandardCordforInformationInterchange ASCII码 即美国信息交换标准代码 采用7位二进制编码 用来表示27 即128 个字符 1 3二进制数的算术运算 一 基本算术运算 二进制数的运算规则 0 0 00 1 11 0 11 1 10 0 0 00 1 1 借位 1 0 11 1 0 0 0 00 1 01 0 01 1 1 例4 对两个二进制数 1011 2和 0101 2进行加 减 乘 除运算 解 加法运算1011 010110000 减法运算1011 01010110 即 1011 2 0101 2 10000 2 即 1011 2 0101 2 0110 2 算术运算 两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算 1 3二进制数的算术运算 乘法运算1011 010110111011 110111 即 1011 2 0101 2 110111 2 除法运算 即 1011 2 0101 2 10 001 2 注 乘数为2k 则小数点向右移k位 右边补零 即可得 除数为2k 则小数点向左移k位即可得商 如 1011 2 100 2 101100 2 1011 2 100 2 10 11 2 为了方便运算 计算机中对有符号数常采用3种表示方法 即原码 补码和反码 下面的例子均以8位二进制数码表示 1 原码最高位为符号位 用0表示正数 用1表示负数 数值部分用二进制数的绝对值表示 例 57 原 00111001 2 57 原 10111001 2 1 3二进制数的算术运算 二 带符号数的表示 2 反码正数的反码与原码相同 负数的反码为其原码除符号位外的各位按位取反 0变1 而1变0 例 57 反 00111001 2 57 反 11000110 2 3 补码正数的补码与其原码相同 负数的补码为其绝对值按位求反后在最低位加1 即反码加1 例 57 补 00111001 2 57 补 11000111 2 1 3二进制数的算术运算 三 带符号数的运算 例 利用二进制补码运算求 107 10 79 10的值 解 79 10 1001111 2 79 补 10110001 2 107 10 1101011 2 107 补 01101011 2 107 79 补 107 补 79 补 01101011 2 10110001 2 01101011 10110001100011100 自动丢弃 00011100 2 107 79 00011100 补 00011100 原 28 10 负数 正数 原码 反码 补码 1 4逻辑代数中的逻辑运算 一 逻辑代数 逻辑代数是英国数学家乔治 布尔 Geroge Boole 于1847年首先进行系统论述的 也称布尔代数 由于被用在开关电路的分析和设计上 所以又称开关代数 逻辑代数中的变量称为逻辑变量 用大写字母表示 逻辑变量的取值只有两种 即逻辑0和逻辑1 0和1并不表示数值的大小 而是表示两种对立的逻辑状态 功能描述方法有 1 真值表 即将自变量和因变量 输入变量和输出变量 的所有组合对应的值全部列出来形成的表格 2 逻辑符号 用规定的图形符号来表示 逻辑运算 两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算 1 4逻辑代数中的逻辑运算 二 基本逻辑运算 1 与运算 逻辑乘 AND 只有决定事件结果的全部条件同时具备时 结果才发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 与运算符 也有用 表示 与逻辑功能口诀 有 0 出 0 全 1 出 1 1 4逻辑代数中的逻辑运算 1 4逻辑代数中的逻辑运算 2 或运算 逻辑加 OR 决定事件结果的诸条件中只要有任何一个满足 结果就会发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 或运算符 也可用 表示 或逻辑功能口诀 有 1 出 1 全 0 出 0 1 4逻辑代数中的逻辑运算 1 4逻辑代数中的逻辑运算 3 非运算 逻辑反 NOT 只要条件具备了 结果就不会发生 而条件不具备时 结果一定发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 非逻辑运算符 1 4逻辑代数中的逻辑运算 1 4逻辑代数中的逻辑运算 三 复合逻辑运算 1 与非运算 NAND 与非逻辑功能口诀 有 0 出 1 全 1 出 0 或非逻辑功能口诀 有 1 出 0 全 0 出 1 2 或非运算 NOR 1 4逻辑代数中的逻辑运算 与或非门逻辑符号 3 与或非运算 AND OR NOT 1 4逻辑代数中的逻辑运算 异或逻辑功能口诀 同为 0 异为 1 4 异或运算 XOR 1 4逻辑代数中的逻辑运算 同或逻辑功能口诀 同为 1 异为 0 5 同或运算 XNOR 1 4逻辑代数中的逻辑运算 异或与同或互为反运算 1 5逻辑代数的基本定律和规则 一 逻辑代数的基本定律 0 1律 重叠律 互补律 还原律 分配律 结合律 交换律 反演律 吸收律 1 5逻辑代数的基本定律和规则 冗余律 在两个乘积项中 若有一个变量是互反的 那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的 可以消去 公式可推广 1 5逻辑代数的基本定律和规则 求证 A BC A B A C 证明 右边 AA AB AC BC 分配律 A A B C BC 分配律 重叠律 A 1 B C BC 分配律 A 1 BC 0 1律 A BC 0 1律 左边 证明 右边 AA AB AC BC 分配律 A A B C BC 分配律 A BC 吸收律 1 5逻辑代数的基本定律和规则 例 用真值表证明反演律 0001011 0111 1000 1100 1010 1000 证明 1 5逻辑代数的基本定律和规则 分配律 分配律 0 1律 右边 1 5逻辑代数的基本定律和规则 证明 1 5逻辑代数的基本定律和规则 二 逻辑代数的基本规则 1 代入规则 任何一个含有某变量的等式 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则此等式依然成立 得 由此反演律能推广到n个变量 利用反演律 1 5逻辑代数的基本定律和规则 2 反演规则 对于任意一个逻辑函数式F 做如下处理 运算符 与 互换 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式 1 5逻辑代数的基本定律和规则 法1 利用反演规则直接得到 法2 利用反演律 1 5逻辑代数的基本定律和规则 3 对偶规则 对于任意一个逻辑函数式F 做如下处理 运算符 与 互换 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式F 对偶规则 若两逻辑式相等 则它们对应的对偶式也相等 即若F1 F2 则F1 F2 注意 运算顺序不变 只变换运算符和常量 其变量是不变的 1 5逻辑代数的基本定律和规则 如 1 6逻辑函数及其描述方法 逻辑函数与普通代数中的函数相似 它是随自变量的变化而变化的因变量 因此 如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果 那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述 数字电路的输入 输出量一般用高 低电平来表示 高 低电平也可以用二值逻辑1和0来表示 同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系 因此它可以用逻辑函数来描述 并称为逻辑电路 对于任何一个电路 若输入逻辑变量A B C 的取值确定后 其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了 则可以称F是A B C 的逻辑函数 并记为 1 6 1逻辑函数 1 6逻辑函数及其描述方法 1 6 2逻辑函数的描述 一 真值表描述 A B C 输入变量Y 输出变量1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 1 6逻辑函数及其描述方法 二 逻辑式描述 1 一般形式 任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式 分析得 1 6逻辑函数及其描述方法 2 逻辑式两种标准形式 1 最小项之和式 标准与或式 在n变量逻辑函数中 由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的乘积项 与项 最小项 Minterm n变量逻辑函数的最小项有2n个 最小项通常用符号mi来表示 下标i的确定 把最小项中的原变量记为1 反变量记为0 当变量顺序确定后 按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最小项的下标i 在一个与或逻辑式中 若所有的乘积项均为最小项 则该逻辑式称为最小项之和式 1 6逻辑函数及其描述方法 只有一种输入组合使对应的最小项为1 而其他的组合都使它为0 1 6逻辑函数及其描述方法 例 写出的最小项之和式 最小项之和式为 解 1 6逻辑函数及其描述方法 2 最大项之积式 标准或与式 在n变量逻辑函数中 由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的或项 和项 最大项 Maxterm n变量逻辑函数的最大项有2n个 最大项通常用符号Mi来表示 下标i的确定 把最大项中的原变量记为0 反变量记为1 当变量顺序确定后 按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最大项的下标i 在一个或与逻辑式中 若所有的或项均为最大项 则该逻辑式称为最大项之积式 1 6逻辑函数及其描述方法 三变量逻辑函数的最大项 只有一种输入组合使对应的最大项为0 而其他的组合都使它为1 1 6逻辑函数及其描述方法 3 最小项和最大项的性质 n变量的全部最小项之和恒为1 全部最大项的之积恒为0 任意两个最小项之积恒为0 任意两个最大项之和恒等于1 n变量的每一个最小 大 项有n个相邻项 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量 其余因子均相同 又称为逻辑相邻项 若给定 则 1 6逻辑函数及其描述方法 4 最小项和最大项的关系 互为反函数 则 求反函数 求对偶式 求最大项之积式 1 6逻辑函数及其描述方法 解 例 写出的最大项之积式 解 已知 则 1 6逻辑函数及其描述方法 1 6逻辑函数及其描述方法 三 卡诺图描述 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来 所得到的图形叫做n变量的卡诺图 KarnaughMap 1 卡诺图的构成 AB 00 01 10 11 m0 m1 m2 m3 A B A B 1 0 1 0 m0 m1 m2 m3 mi AB 二变量K图 建立多于二变量的卡诺图 则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线 或底线 为对称轴作一对称图形 对称轴左面 或上面 原数字前增加一个0 对称轴右面 或下面 原数字前增加一个1 卡诺图是上下 左右闭合的图形 1 6逻辑函数及其描述方法 几何相邻 一是相接 即紧挨着 二是相对 即任意一行或一列的两端 三是相重 即对折起来位置重合 三变量K图 四变量K图 1 6逻辑函数及其描述方法 2 卡诺图描述逻辑函数 给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可 填入Y 1的项即可 例 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 6逻辑函数及其描述方法 给出逻辑函数的最小项之和式 标准与或式 将逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1 其余的方格填0 或不填 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和 例 用卡诺图分别描述下列逻辑函数 解 1 6逻辑函数及其描述方法 给出逻辑函数一般与或式 确定使每个与项为1的所有输入变量取值 并在卡诺图上对应方格填1 其余的方格填0 或不填 也可化为标准与或式 再填入 例 用卡诺图分别描述下列逻辑函数 A BC 0 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 解 A 当ABC 1 表示可以为0 也可以为1 时该与项为1 在卡诺图上对应四个方格 m4 m5 m6 m7 处填1 当ABC 10时该与项为1 在卡诺图上对应两个方格 m2 m6 处填1 1 6逻辑函数及其描述方法 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB CD D 当ABCD 1时该与项为1 对应八个方格 m1 m3 m5 m7 m9 m11 m13 m15 处填1 当ABCD 001 时该与项为1 对应两个方格 m2 m3 处填1 当ABCD 101 时该与项为1 在卡诺图上对应两个方格 m10 m11 处填1 解 AD 当ABCD 1 1时该与项为1 对应四个方格 m9 m11 m13 m15 处填1 某些最小项重复 只需填一次即可 1 6逻辑函数及其描述方法 给出逻辑函数的最大项之积式 标准或与式 将逻辑函数的最大项在卡诺图上相应的方格中填0 或不填 其余的方格填1 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最大项之积 例 用卡诺图描述逻辑函数 解 1 6逻辑函数及其描述方法 给出逻辑函数一般或与式 确定使每个或项为0的所有输入变量取值 并在卡诺图上对应方格填0 其余的方格填1 也可化为标准或与式 再填入 例 用卡诺图分别描述逻辑函数 A BC 0 1 00 01 11 10 0 0 0 0 1 0 1 1 解 A 当ABC 0 表示可以为0 也可以为1 时该或项为0 在卡诺图上对应四个方格 m0 m1 m2 m3 处填0 当ABC 01时该与项为0 在卡诺图上对应两个方格 m1 m5 处填0 1 6逻辑函数及其描述方法 四 逻辑图描述 将逻辑函数中各变量之间的与 或 非等逻辑关系用图形符号表示出来 就可画出表示函数关系的逻辑图 例 用逻辑图描述函数 1 从真值表 卡诺图列出逻辑函数式 找出真值表和卡诺图中取值为 1 的最小项 各与项相或 即得与或逻辑函数式 1 6逻辑函数及其描述方法 五 各种描述方法间的相互转换 例 2 从逻辑函数式列出真值表 1 6逻辑函数及其描述方法 3 从逻辑函数式画出逻辑图 1 6逻辑函数及其描述方法 用图形符号代替逻辑式中的运算符号 例 用逻辑图描述逻辑函数 4 由逻辑图列出逻辑函数式 1 6逻辑函数及其描述方法 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式 即可得到对应的逻辑式 例 1 7逻辑函数的化简 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式 逻辑函数式越简单 它所表示的逻辑关系越明显 也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数 最简 与或 式的标准 含的与项最少 门最少 各与项中的变量数最少 门的输入端最少 以后主要讨论 与或 式的化简 其中 最常用的为 与或 逻辑表达式 1 7逻辑函数的化简 一 代数化简法 1 并项法 例 用并项法化简下列逻辑函数 解 1 7逻辑函数的化简 解 解 1 7逻辑函数的化简 2 吸收法 消项法 例 用吸收法化简下列逻辑函数 解 1 7逻辑函数的化简 3 消元法 例 用消元法化简下列逻辑函数 解 1 7逻辑函数的化简 4 配项法 例 用配项法化简下列逻辑函数 解 解 解 1 7逻辑函数的化简 1 7逻辑函数的化简 解法1 解法2 代数化简法优点 不受变量数目的限制 缺点 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验 有时很难判定化简结果是否最简 由上例可知 逻辑函数的化简结果不是唯一的 1 7逻辑函数的化简 二 卡诺图化简法 在卡诺图中 凡是几何位置相邻的最小项均可以合并 任何一个合并圈 即卡诺圈 所含的方格数为2n个 必须按照相邻规则画卡诺圈 几何位置相邻包括三种情况 一是相接 即紧挨着的方格相邻 二是相对 即一行 或一列 的两头 两边 四角相邻 三是相重 即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻 2n个方格合并 消去n个变量 1 卡诺图中最小项合并规律 1 7逻辑函数的化简 1 7逻辑函数的化简 1 7逻辑函数的化简 2 用卡诺图化简逻辑函数 画出逻辑函数的卡诺图 圈 1 合并相邻的最小项 将每一个圈对应的与项相或 即得到最简与或式 尽量画大圈 但每个圈内只能含有2n n 0 1 2 3 个相邻项 要特别注意对边相邻性和