高考数学 第四章 第四节 平面向量应用举例课件 理 新人教A版.ppt

第四节平面向量应用举例 1 向量在平面几何中的应用 1 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 平移 全等 相似 长度 夹角等问题 2 用向量解决常见平面几何问题的技巧 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 3 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力f与位移s的数量积 即w f s f s cos 为f与s的夹角 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若 则a b c三点共线 2 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题都可以用向量解决 3 实现平面向量与三角函数 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 4 在 abc中 若 0 则 abc为钝角三角形 解析 1 正确 因为且有相同的起点a 故a b c三点共线 故正确 2 正确 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题可利用向量的共线 数量积 模等知识解决 故正确 3 正确 由于向量的坐标把数和形结合在一起 所以在向量的应用中 坐标运算起到 桥梁 的作用 4 错误 由 0得 0 可得角b为锐角 但三角形的形状不能判定 故不正确 答案 1 2 3 4 1 一质点受到平面上的三个力f1 f2 f3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知f1 f2成60 角 且f1 f2的大小分别为2和4 则f3的大小为 a 6 b 2 c 2 d 2 解析 选d f3 2 f1 2 f2 2 2 f1 f2 cos60 28 所以 f3 2 选d 2 若不重合的四点p a b c 满足 0 则实数m的值为 a 2 b 3 c 4 d 5 解析 选b 0 所以 故m 3 3 在 abc中 c 90 且ca cb 3 点m满足则等于 a 2 b 3 c 4 d 6 解析 选b 由题意可知 0 3cos45 3 4 在 abc中 已知向量与满足 0且 则 abc为 a 等边三角形 b 直角三角形 c 等腰非等边三角形 d 三边均不相等的三角形 解析 选a 由 0知 abc为等腰三角形 且ab ac 由知 60 所以 abc为等边三角形 故选a 5 在平面直角坐标系xoy中 若定点a 1 2 与动点p x y 满足 4 则点p的轨迹方程是 解析 由 4 得 x y 1 2 4 得x 2y 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 考向1向量在平面几何中的应用 典例1 1 平面上o a b三点不共线 设 a b 则 oab的面积等于 a b c d 2 若等边 abc的边长为2 平面内一点m满足 则 思路点拨 1 先求出cos a b 再求出sin a b 求出三角形的面积化简即可 2 一种方法是建立平面直角坐标系 将问题转化为向量的坐标运算即可 另一种方法是将用表示 然后用数量积的定义计算 规范解答 1 选c 由条件得cos a b sin a b s oab a b sin a b 2 方法一 以bc的中点为原点 bc所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 根据题设条件可知a 0 3 b 0 c 0 设m x y 则 x y 2 0 3 由得 2 x 0 y 2 点m的坐标为 0 2 0 1 2 方法二 由于 又因为 abc是边长为2的等边三角形 6 2 答案 2 拓展提升 平面几何问题的向量解法 1 坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中 就赋予了有关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法 适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解 提醒 用坐标法解题时 建立适当的坐标系是解题的关键 用基向量解题时要选择适当的基底 变式训练 1 如图 o a b是平面上的三点 向量 a b 设p为线段ab的垂直平分线cp上任意一点 向量 p 若 a 4 b 2 则p a b a 8 b 6 c 4 d 0 解析 选b 由 知 p b p a p b 2 p a 2 p2 2p b b2 p2 2p a a2 得2p a 2p b a2 b2 16 4 12 p a b 6 2 2013 佛山模拟 如图 在梯形abcd中 da ab bc cd 1 点p在阴影区域 含边界 中运动 则的取值范围是 a b c 1 3 d 解析 选b 由平面几何知识可得 adc 60 故 bad abc 120 abd adb 30 从而可得bd cbd 90 又 而 其中 cos 的几何意义即为向量在向量上的投影 根据图形易得 cos 0 故 0 3 从而的取值范围是 考向2向量在三角函数中的应用 典例2 1 已知向量a m n b cos sin 其中m n r 若 a 4 b 则当a b 2恒成立时实数 的取值范围是 a 或 b 2或 2 c d 2 2 2 2013 保定模拟 已知点a 1 1 b 1 1 c cos sin r o为坐标原点 若 求sin2 的值 若实数m n满足 求 m 3 2 n2的最大值 思路点拨 1 将a b表示为 的三角函数 然后求得a b的最值 转化为解不等式的问题 2 由得到关于 的关系式 两边平方可求解 用含 的关系式表示m n 然后转化为三角函数的最值问题求解 规范解答 1 选b 由已知得 b 1 所以 a 4 因此a b mcos nsin sin 4sin 4 由于a b 2恒成立 故 2 4 解得 2或 2 2 cos 1 2 sin 1 2 2 sin cos 4 2 sin cos 4 2 即sin cos 两边平方得1 sin2 sin2 由得 m n m n cos sin 解得 m 3 2 n2 m2 n2 6m 9 3 sin cos 10 6sin 10 当sin 1时 m 3 2 n2有最大值16 互动探究 在本例题 2 的第 小题中 若将条件 改为 则如何解答 解析 由条件知 cos 1 sin 1 1 1 由 0 tan 1 sin2 2sin cos 1 拓展提升 向量与三角函数综合题的答题策略 1 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数并求有关三角函数的问题时 解题时首先利用向量相等 共线或垂直等将问题转化为三角函数的关系式 然后利用三角函数的知识解决 2 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数 并且求向量的模或其他向量的表达形式 解题时要通过向量的运算 将问题转化为三角函数的有界性 求得最值 或值域 变式备选 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则2sin cos 等于 a 3 b 3 c d 解析 选d 由a b得cos 2sin tan 2sin cos 备选考向 向量在解析几何中的应用 典例 1 已知两点m 3 0 n 3 0 点p为坐标平面内一动点 且 0 则动点p x y 到点m 3 0 的距离d的最小值为 a 2 b 3 c 4 d 6 2 2013 广州模拟 如图 已知圆c x 1 2 y2 8 定点a 1 0 m为圆c上一动点 点p在am上 点n在cm上 且满足 0 则点n的轨迹方程是 思路点拨 1 先判断点p的轨迹 然后根据点m的特点求解 2 将向量条件转化为几何条件 得出动点满足的等量关系 规范解答 1 选b 因为m 3 0 n 3 0 所以 6 0 6 x 3 y x 3 y 由 0得6 6 x 3 0 化简得y2 12x 所以点m是抛物线y2 12x的焦点 所以点p到点m的距离的最小值就是原点到m 3 0 的距离 所以dmin 3 2 连接an 0 np为am的垂直平分线 na nm 又 cn nm 2 cn an 2 2 动点n的轨迹是以点c 1 0 a 1 0 为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为2a 2 焦距2c 2 a c 1 b2 1 点n的轨迹方程为 y2 1 答案 y2 1 拓展提升 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 变式训练 已知点a 1 0 b 1 0 动点m的轨迹c满足 amb 2 cos2 3 求的值 并写出轨迹c的方程 解析 设m x y 在 mab中 ab 2 amb 2 根据余弦定理得 4 4 4 而 3 4 3 4 4 又 4 2 ab 因此点m的轨迹是以a b为焦点的椭圆 去掉x轴上的两点 a 2 c 1 所以轨迹c的方程为 1 y 0 满分指导 向量在平面几何中的应用问题的规范解答 典例 13分 2013 潮州模拟 已知向量 2 k 1 1 k 1 若 abc为直角三角形 求k值 2 若 abc为等腰直角三角形 求k值 思路点拨 规范解答 1 2 k 1 1 k k 1 k 1 1分 若 a 90 则 2 k 1 1 k 0 解得k 1 若 b 90 3分则 2 k 1 k 1 k 1 0 得k2 2k 3 0 无解 若 c 90 5分 则 1 k k 1 k 1 0 得k2 2k 1 0 解得k 1 综上所述 当k 1时 abc是以a为直角顶点的直角三角形 当k 1 时 abc是以c为直角顶点的直角三角形 7分 2 当k 1时 1 1 1 1 当k 1 时 9分 得 当k 1 时 11分 得 12分 综上所述 当k 1时 abc是以bc为斜边的等腰直角三角形 13分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 惠州模拟 已知o是 abc内部一点 0 2 且 bac 60 则 obc的面积为 a b c d 解析 选b 由 0 o为 abc重心 又 2 bccos bac 2 bac 60 bc 4 s abc bcsin bac 且重心o与 abc各顶点的连线将 abc面积三等分 s obc 选b 2 2013 茂名模拟 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 则实数t的取值范围是 解析 f x a b x2 x 1 1 x t x3 x2 tx t f x 3x2 2x t f x a b在区间 1 1 上是增函数 f x 3x2 2x t 0在 1 1 上恒成立 t 3x2 2x在 1 1 上恒成立 而当x 1 1 时 3x2 2x 5 当且仅当x 1时等号成立 t 5 即所求实数t的取值范围是 5 答案 5 3 2012 江苏高考 如图 在矩形abcd中 ab bc 2 点e是bc的中点 点f在边cd上 若 则的值是 解析 以a点为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则 0 1 设f t 2 t 2 t 1 所以 答案 4 2013 东莞模拟 设a a1 a2 b b1 b2 定义一种向量运算 ab a1b1 a2b2 已知m 2 n 0 点p x0 y0 在函数g x sinx的图象上运动 点q x y 在函数y f x 的图象上运动 且满足 m n 其中o为坐标原点 则函数f x 的最大值是 解析 由 m n得 x y x0 2sinx0 即消去x0 得y 2sin 2x 即f x 2sin 2x 2cos2x 函数f x 的最大值是2 答案 2 1 设向量a与b的夹角为 定义a与b的 向量积 a b是一个向量 它的模 a b a b sin 若a 1 b 1 则 a b a b 2 c 2 d 4 解析 选c cos 0 sin a b a b sin 2 2 2 2 已知o是坐标原点 点a 1 1 若点m x y 为平面区域上的一个动点 则的取值范围是 a 1 0 b 0 1 c 0 2 d 1 2 解析 选c 由题意 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 由向量