导数及其应用复习小结.ppt

第一章导数及其应用复习小结 1 本章知识结构 微积分 导数 定积分 导数概念 导数运算 导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值 最值 曲线的切线 变速运动的速度 面积 功 积分定义的含义 微积分基本定理的含义 微积分基本定理的应用 路程 定积分概念 微积分基本定理 最优化问题 2 函数的平均变化率 函数y f x 的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 函数的瞬时变化率 导数 3 返回 4 导数的运算法则 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 法则3 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函数的平方 即 返回 5 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ如果有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 返回 6 1 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递增 2 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递减 一般地 函数y f x 在某个区间 a b 内 定理 f x 0 f x 0 如果在某个区间内恒有 则为常数 返回 7 2 如果a是f x 0的一个根 并且在a的左侧附近f x 0 那么是f a 函数f x 的一个极小值 函数的极值 1 如果b是f x 0的一个根 并且在b左侧附近f x 0 在b右侧附近f x 0 那么f b 是函数f x 的一个极大值 注 导数等于零的点不一定是极值点 2 在闭区间 a b 上的函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 则它必有最大值和最小值 函数的最大 小 值与导数 返回 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两年北京导数题 感想如何 17 复合函数的导数 注 y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间关系为 或 返回 18 返回 过p x0 y0 的切线 1 p x0 y0 为切点 2 p x0 y0 不为切点 19 例1 已经曲线C y x3 x 2和点A 1 2 求在点A处的切线方程 解 f x 3x2 1 k f 1 2 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 20 变式1 求过点A的切线方程 例1 已经曲线C y x3 x 2和点 1 2 求在点A处的切线方程 解 变1 设切点为P x0 x03 x0 2 切线方程为y x03 x0 2 3x02 1 x x0 又 切线过点A 1 2 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0 化简得 x0 1 2 2x0 1 0 当x0 1时 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 解得x0 1或x0 k f x0 3x02 1 当x0 时 所求的切线方程为 y 2 x 1 即x 4y 9 0 21 变式1 求过点A的切线方程 例1 已经曲线C y x3 x 2和点 1 2 求在点A处的切线方程 变式2 若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y 11x 1 则P点坐标为 切线方程为 2 8 或 2 4 y 11x 14或y 11x 18 22 23 24 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 取近似求和 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 而宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似之 3 取极限 所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值 xi xi 1 xi 1 分割 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 25 一 定积分的定义 如果当n 时 S的无限接近某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 四步曲 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 26 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 27 积分下限 积分上限 28 说明 1 定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 29 2 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 30 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 S 上述曲边梯形面积的负值 定积分的几何意义 S 31 三 定积分的基本性质 性质1 性