导数的概念和应用陈杰

导数及其应用温州八中 陈杰一.设计立意及思路：导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，二.高考考点回顾：1.考试要求：(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。2.近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2000解答题114导数在实际中的应用2001解答题112利用导数求函数的单调区间2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003解答题112利用导数求曲线的切线方程2004(浙江卷)解答题112求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。理科2000解答题112导数在实际中的应用2001选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003选择、解答题各1题5+12导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间2004(浙江卷)选择、解答题各1题5+12导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。三.基础知识梳理：1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率。2.求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(mQ);(sinx)/=cosx;(cosx)/= -sinx ;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)0，则f(x)为增函数；如果f/(x)0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的求法。四.例题讲解：例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。 (1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量y与自变量的改变量x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。(2)解法一：f(x)= f(-x)，则f(x)= f(-x) 当时，有 。 解法二：f(x)= f(-x)，两边对x求导，得 。评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0)位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？例2. 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0解： 故选(C)评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修）第三章复习参考题B组第6题）解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系（如图），t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，则两汽车和气球的距离令t=1,故1h后它们彼此分离的速度为。yx汽车气球 （例3图）评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。例4.已知抛物线C：y=x2+2x，按下列条件求切线方程：(1) 切线过曲线上一点（1，3）。拓展：已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y= -x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，当a取何值时，C1和C2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科）(2) 切线过抛物线外的一点（1，1）。(3) 切线的斜率为2。拓展：点P为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为_。评析：本题考查曲线y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。例5.设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能是（ ） （2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题）答案：（C）评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：(1)求f(x)的极值；在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下列说法是否正确：极大值一定比极小值大；区间的端点一定是极值点；导数为0的点一定是极值点；极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。(2)求y=f(x)在x0,3上的最值；让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数最值的基本思路。(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。(4)解不等式f(x)1。导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。例6.设函数，其中a0。(1) 求f(x)的单调区间；(2) 解不等式f(x)1。 解：(1) 当a1时，有，此时f/(x)0，函数f(x)在区间上是单调递减函数。 当0a1时，解不等式f/(x)0得，f(x)在区间上是单调递增函数。(2)当a1时,函数f(x)在区间上是单调递减函数,由f(0)=1,当且仅当x0时f(x)1.当0a1时，f(x)在区间上是单调递减函数,f(x)在区间上是单调递增函数,由f(x)=1得x=0或，且,当且仅当时，f(x)1.综上可得：当a1时，f(x)1的解集为x|x0;当0a1时，f(x)1的解集为x|。评析：本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改动而得到。使学生在例5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。五.思维能力训练：（一）选择题： x2 x01.已知函数y=f(x)= 那么y/|x=0的值为（ ） x x0）为增函数，则( )A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c0 D.b2-3ac0（二）填空题：7.对函数f(x)，已知f(3)=2，f/(3)=-2，则_。8.某日中午12时整，6船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_km/h。（2004年全国高考湖北卷（理科）16题）（三）解答题：9.设抛物线C:y=x2(x0)上的点P0(x0,y0)，过P0做曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1,y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线交于P2(x2,y2)，仿此作出以下各点：P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3,Pn,Qn+1,已知x0=1。(1) 求过P0的切线方程；(2) 求的值。 10.如果f(x)=x2+1，g(x)=ff(x),设，问是否存在适当的，使f(x)在上是减函数，在上是增函数？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。 11.在半径为R的球