二重积分概念讲课教案

二重积分概念讲课教案 返回后页前页1二重积分概念二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质返回后页前页 一、平面图形的面积我们首先定义平面图形的面积.所谓一个平面图形P是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集,即存在一矩形R,使得.P R?设设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形(图图21-11),这时直线网T的网眼(小闭矩形)i?可分为三类:(i)i?上的点都是P的内点;i?;iP?(ii)上的点都是P的外点,即返回后页前页(iii)i?上含有P的边界点.将所有属于直线网的第(i)类小矩形(图图21-1中紫色部分)的面积加起来,记这个和数为(),Ps T则有()P RsT?R?(这里表示包含含P的那个矩形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的面积加起来来(图21-1中着色部分),记记(),PS T()().P PsTST?这个和数为则有OyxP211?图返回后页前页由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,sup(),inf(),PP P PTTI sTIST?显然有0. (1)PPII?PIP I通常称为P的的内面积,为为P的的外面积.PI P I定义1若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,并把共同值PP PI II?作为P的面积.定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是:数集()Ps T有上确界,有下确界.记()PS T返回后页前页返回后页前页12()(),()().P PP PsTsTSTST?于是由 (3)可得()()22PPP PsTI,STI.?从而对直线网T有()().P PSTsT?充分性设对任给的0,?存在某直线网T,使得()().P PSTsT?但但()(),P PP PsTI IST?所以返回后页前页()().PPPPII STsT?,PPI I?由由的任意性,得因而平面图形P可求面积.推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它0,PI?0,?的外面积即对任给的存在直线网T,使得(),PS T?或对任给的0,?平面图形P能被有限个面积总和小于?的小矩形所覆盖.返回后页前页定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.证由定理21.1,P可求面积的充要条件是:对任给0,?()().P PSTsT?的的存在直线网T,使得由于()()(),K PPSTSTsT?所以也有().KS T?由上述推论,P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为定义在,a b上的连续函数()f x的图像,则曲线K的面积为零.返回后页前页()f x,a b证证由于在闭区间上连续,所以它在,a b上一致连续.因而,0,?0,?当当01naxx xb?，1m ax|1,2,i i i xxxin?()f x1,i ix x?时时,可使在每个小区间上的振幅都成高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和立立.ib a?即若把曲线K按01,n xxxx?分成成n个小段,则每一小段都能被以ix?i?为宽,为返回后页前页,n ni i ii1i1x xba?因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.推论1参量方程(),()()xtyt t?所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.证证由光滑曲线的定义，,?均存在且不同时为零.由隐函数存在性定理,00,()0t xt?(或或0()0),yt?0(;),()Ut xxt?()y y t?因此(或)在0(;)U t?上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间返回后页前页01,ntt t?1,i itt?()x t?使得在每一段上，(或或)存在()yt?1,i itt?上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零.推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.分成n段:,?1()t x?1()t x?(或,于是在1,i itt?上上反函数1()y x?1().x y?(或所以在有连续的返回后页前页注平面中并非所有的点集都是可求面积的.例如?(,),Q0,1.Dxyxy01,DDI I?易知因此D是不可求面积的.返回后页前页 二、二重积分的定义及其存在性二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积.设(,)f xy为定义在可求面积的有界闭域D上的非负连续函数.求以曲面面(,)z fxy?为顶,D为为底的柱体(图21-2)的体积V.图图21-2xyzz f xy(,)?O返回后页前页采用类似于求曲边梯形面积的方法. (1)分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T把区域(1,2,ii?,)n D分成n个小区域(称T为区域D i?i?的一个分割).以表示小区域的面积.这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n个以i?为底的小曲顶柱体(1,2,).iVi n?(,)f xy (2)近似求和:由于在D上连续,故当每个i?(,),i i?相差无几,因而可在上任取一点用以(,)f xyi?的直径都很小时,在在上各点的函数值i?返回后页前页(,)i if?i?为高,为底的小平顶柱体的体积(,)i i if?iV作为的的体积iV?的近似值(如图图21-3),即即(,).i i i iVf?把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V的近似值?213图ii(,)?xyzO返回后页前页?11(,).n ni iiii iVV f? (3)取极限:当直线网T的网眼越来越细密,即分割T的细度1|maxii nTd?(id为i?的直径)趋于零时,就就有?1(,).ni iiif V?这类问题在物理学与工程技术中也常遇到,如求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.这些都是所要讨论的二重积分的实际物理背景.返回后页前页上面叙述的问题都可归为以下数学问题.可求面积的小区域12,.n?以i?表示小区域i?的面积,这些小区域构成D的的1|maxii nTd?为分割T的细度.在每个i?上任取一点(,),ii?作作一个分割T,以以id表示小区域i?的直径,称称设设D为xy平面上可求面积的有界闭域,(,)f xy为定义在D上的函数.用任意的曲线网把D分成n个返回后页前页(,).ni iii1f?称它为函数f在在D上属于分割T的一个积分和.定义2设设(,)f xy是定义在可求面积的有界闭域D上的函数.J是一个确定的实数,若对任给的正数,?总存在某个正数,?使对于D的任何分割T,当它的细度|T?时时,属于T的所有积分和都有和式返回后页前页?1(,), (4)ni iiif J?则称(,)f xy在在D上可积,数J称为函数(,)f xy在D上二重积分,记作?(,)d, (5)DJ fxy?其中(,)f xy称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.当(,)0fxy?时时,二重积分(,)dDf xy?在几何上返回后页前页就表示以(,)z fxy?为曲顶,D为底的曲顶柱体的体积.当当(,)1fxy?时时,二重积分?(,)dDf xy?的值就等于积分区域D的面积.注注1由二重积分定义知道,若若(,)f xy在区域D上上可积,则与定积分情形一样,对任何分割T,只要当|T?时时, (4)式都成立.因此为方便计算起见,常选取一些特殊的分割方法,如选用平行于坐标轴的直线网来分割D,则每一小网眼区域的?的面积返回后页前页.xy?此时通常把?(,)dDf xy?记作?(,)dd. (6)Dfxyxy注注2如定积分那样类似地可证明:函数(,)f xy在可求面积的D上可积的必要条件是它在D上有界.设函数(,)f xy在在D上有界,T为D的一个分割,它它把把D分成n个可求面积的小区域12,.n?令返回后页前页(,)(,)sup(,)(1,2,).inf(,)iiixyixyM f xyi nmf xy?别称为(,)f xy关于分割T的上和与下和.二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质,这里就不再重复.下面列出有关二元函数的可积性定理,这里只证明其中的定理21.7.作和式(),(),n niiiii1i1ST MsT m?它们分返回后页前页定理21.4(,)f xy在在D上可积的充要条件是:00lim()lim().T TSTsT?定理21.5(,)f xy在在D上可积的充要条件是:对对于任给的正数,?存在D的某个分割T,使得()().STsT?定理21.6有界闭域D上的连续函数必可积.定理21.7设设(,)f xy是定义在有界闭域D上的有界函数.若若(,)f xy的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则则(,)f xy在在D上可积.返回后页前页证证不失一般性,可设(,)f xy的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上上,并记L的长度为l.于是对任给的0,?把把L等分成?1n l?段段:12,.nLL L在每段iL上取一点,iP使iP与其一端点的弧长为.2ln以iP为中心作边长为?的正方形,i?则.i iL?记设?1,nii从而?.L?的面积为W,那么返回后页前页?22211().Wnl l l?现在把区域D分成两部分:第一部分1,DD?第二部分21.D DD?由于(,)f xy在2D上连续,根据定理21.6与定理21.5,存在2D的分割2,T使得22()().STsT?又记(,)(,)sup(,),inf(,),xyxyMfxym fxy?以以T表示由2T与多边形?的边界所组成的区域D的的返回后页前页分割,则有?22()()()()STsTSTsTMWmWW?() (1),ll?其中?是(,)f xy在在D上的振幅.由于(,)f xy在在D上有界,故故?是有限值.再由定理21.5,这这就证得了(,)f xy在在D上可积.返回后页前页 三、二重积分的性质二重积分与定积分具有类似的性质,现列举如下:上也可积,且且(,)d(,)d.D Dkfxykfxy?2.若若(,),(,)fxygxy在在D上都可积,则则(,)(,)fxygxy?1.若若(,)f xy在在D上可积,k为常数,则则(,)kf xy在D在在D上也可积,且返回后页前页?(,)(,)d(,)d(,)d.D D Dfxygxy fxy gxy?3.若若(,)f xy在1D和2D上都可积,且且1D与2D无公共内点,则则(,)f xy在12DD上也可积,且且(,)(,),(,),fxygxyxyD?1212(,)d(,)d(,)d.DD D Dfxy fxyfxy?4.若若(,)f xy与(,)g xy在D上可积,且且则有返回后页前页(,)d(,)d.D Dfxy gxy?5.若若(,)f xy在D上可积,则函数|(,)|f xy在D上上也可积,且且?(,)d(,)d.DDfxyfxy?6.若若(,)f xy在D上可积,且且(,),(,),mfxyMxyD?则有返回后页前页(,)d,D DDmSfxy MS?这里DS是积分区域D的面积.7.(积分中值定理)若若(,)f xy在有界闭域D上连续,则存在(,),D?使得?(,)d(,),DDfxy fS?积分中值定理的几何意义:在在D上,以以(,)z fxy?为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底(,)0)fxy?返回后页前页的平顶柱体的体积,这个平顶柱体的高等于(,)f xy在D中某点(,)?处的函数值(,).f?*例1设设?(,),0(),Dxyaxbyx?(,(),;Lxxxab?G是2R中有界闭域,int;D GG?(,)f xy是G上可积函数.则则0,?存在顶点在L上的折线l,使得(,)dd(,)dd.Dfxy xyfxy xy?返回后页前页其中?是由,0xaxby l?与折线所围成的多证设设(,),(,).xyGfxy M?0,?令.2()M ba?,xxabxx?时,就有()().xx?取分割01:nTaxx xb?，使得边形.由于?在,a b上一致连续,因此存在0,?使对返回后页前页?1max:1,i ixxi n?直线(1,2,)ixxin?将D分割为,1,iDi n?又将?分割为,1,.ii n?则(,