2009-2010一学期微积分考卷B答案

第 1 页 共 5 页 北北 京京 交交 通通 大大 学学 2009 2010 学年第学年第一一学期学期 微积分微积分 B 期末考试试卷期末考试试卷 B 学院学院 专业专业 班级班级 学号学号 姓名姓名 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总分总分 得分得分 阅卷人阅卷人 请注意 本卷共十道大题 如有不对 请与监考老师调换试卷 请注意 本卷共十道大题 如有不对 请与监考老师调换试卷 一 一 填空题 每题填空题 每题 2 分 共分 共 10 分 分 1 3 0 lim 12sin x x x 6 e 2 设则 2 sin f xxxx fx sin2x fx 2 cosx 3 设则 y x xe 1x dy dx 4 函数的凸区间是 凹区间是 2 0 x yex 1 0 2 1 2 5 定积分 2 4 4 cosxxx dx 1 42 二 选择题 每题二 选择题 每题 3 分 共分 共 15 分 分 1 设则当时 是的 1 2sin 00 sin 1 xx t t xdtxtdt t 0 x x x D A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶无穷小但不等 价 第 2 页 共 5 页 2 函数的可去间断点是 B 2 2 1 xx f x x x A B C D 不存在 0 x 1 x 1x 3 设函数则在处 C 2 1 sin 0 0 0 xx f xx x f x0 x A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 4 函数的阶麦克劳林公式中 项的系数是 A x f xxe n n x A B C D 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 5 设则 B 0 sin x F xxt dt Fx A B C D 0 sin xsin x cos x 三 求极限 每题三 求极限 每题 6 分 共分 共 12 分 分 1 2 3 2 0 0 0 lim sin x x x t dt t tt dt 解 原式 432 0000 22612 limlimlimlim12 sinsin1 cossin xxxx xxxx x xxxxxx 2 2 1 ln 0 lim tan x x x 解 原式 2 2 0 00 2 sec tan lim 2lntan2 1 limlimsec 21 lntan x xx x x xx x xx x eeee 四 四 求积分 每题求积分 每题 6 分 共分 共 12 分 分 1 2 2 1 2 x x xe dx e 第 3 页 共 5 页 解 原式 222 22 11111 21ln 21 244 1 221 xxx xx dedeeC ee 2 2 2 2 1 4 x dx x 解 原式 22 222 2 666 2 6 2cos 2sin2coscotcsc1 4sin cot3 3 t xttdttdttdt t tt 五 每题 每题 6 分 共分 共 12 分 分 1 计算 2 0 x x e dx 解 原式 22 0000 000 22 2222 xxxx xxx x dex exe dxxde xee dxe 2 写出微积分基本定理 答 若是连续函数在区间上的原函数 则 F x f x a b b a f x dxF bF a 六 8 分 分 设函数由方程所确定 求 yy x 2 sin0 xyy 2 2 1 y d y dx 解 等式两边求导得 1 2 cos20 dydy yxyy dxdx 当时 代入上式得 1y 0 x 1 1 2 y dy dx 1 式再两边求导 得 22 2 2 22 2 2 2 2 sin2cos2 cos20 dydyd ydydy xyyy dxdxdxdxdx d y yy dx 第 4 页 共 5 页 把代入上式 得 1 1 0 1 2 y dy xy dx 2 22 1 1 4 y d y dx 七 8 分 分 根据的取值范围讨论方程在上有几个实根 c 3 300 xcxcc 0 1 解 令则 3 3 f xxcxc 2 33 fxxc 1 当时 在上 单调下降 所以1c 0 1 0fx f x 00 11 20 fcfc 此时方程在上只有一个实根 0 1 2 当时 在上 单调下降 在上 01c 0 c 0fx f x 1c 0fx 单调上升 在上的最小值为 f x f x 0 1 3 2 2 fccc 所以 当时 此时方程在上无实根 1 0 4 c 0fc 0 1 当时 此时方程在上只有一个实根 1 4 c 0fc 0 1 当时 当时 1 1 4 c 0fc 00 11 2 fcfc 11 42 c 所以此时方程在上有两个实根 当时 此时方程在 10 f 0 1 1 2 c 10 f 上有两个实根 当时 所以此时方程在上有一个实根 0 1 1 1 2 c 10 f 0 1 总之 时 无根 时 一个根 两个根 时 一个根 1 0 4 c 1 4 c 11 42 c 1 2 c 八 11 分 分 设曲线与曲线在公共点处有公共切线 求 1 2 2 0 x ya a 2x ye 00 xy 常数及点 2 两曲线与轴围成的平面图形的面积 3 平面图形绕轴旋a 00 xyyDDy 转而成的旋转体的体积 解 1 解方程组得或易验证不合题意 所以切点为 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 x x x e a x e a 0 0 x 0 1 x 0 0 x 第 5 页 共 5 页 进而 所以 2 1 e 2 2 1 e a 1 a e 2 2 1 222 0 1 62 x e See xdx 3 22 2 2 01 ln 42 ee yy Vdydy e 九 6 分 分 设函数在上连续 在内可导 求证 存在使得 f x 0 0 0 sincos0 ff 证明 令 其在上满足罗尔定理的条件 故得证 sing xf xx 0 十 6 分 分 设在上连续 f xg x a b xx aa f t dtg t dt xa b 求证 bb aa f t dtg t dt bb aa xf x dxxg x dx 证明 b bbxxbx aaaaaa a bbx aaa xf x dxxdf t dtxf t dtf t dt dx bf