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大自然的语言 分形几何简介 1 分形的概念 1973年 曼德勃罗 B B Mandelbrot 在法兰西学院讲课时 首次提出了分维和分形几何的设想 曼德勃罗 1986年 对分形几何的定义是 分形是指由于各个部分组成的形态 每个部分以某种形式与整体相似 2 分形的特点 按照分形几何的观点理解 一个复杂对象虽然是杂乱无章的 但他们具有无标度性或相似性 无标度性是一个图像经过放大或缩小 它具有形态 复杂程度 不规则性等均不发生变化的特性 自相似性与无标度性有相同之处 它具有一个对象的局部与整体在形状 结构或功能等方面成比例缩小的性质 3 4 分维的计算 在欧氏空间中 人们习惯把空间看成三维的 平面或球面看成二维 而把直线或曲线看成一维 也可以梢加推广 认为点是零维的 还可以引入高维空间 但通常人们习惯于整数的维数 分形理论把维数视为分数 这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念 为了定量地描述客观事物的 非规则 程度 1919年 数学家从测度的角度引入了维数概念 将维数从整数扩大到分数 从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限 5 我们首先画一个线段 正方形和立方体 它们的边长都是1 将它们的边长二等分 此时 原图的线度缩小为原来的1 2 而将原图等分为若干个相似的图形 其线段 正方形 立方体分别被等分为2 1 2 2和2 3个相似的子图形 其中的指数1 2 3 正好等于与图形相应的经验维数 一般说来 如果某图形是由把原图缩小为r的相似的N个图形所组成 有 1 r D N D lnN ln 1 r 的关系成立 则指数D称为相似性维数 D可以是整数 也可以是分数 6 7 分形图片欣赏 8 9 10 11 12 自然界中的分形 自然界中的许多研究对象在形态 功能和信息三方面或其中某一方面具有相似性 就认为该对象具有分形特征 自然界中的分形具有两个明显的特征 一 自然界中的分形仅在一定尺度范围 一定层次中才表现出分形特征 二 自然界的分形行为只有有限层次的嵌套 且是具有自相似分布特征的随机对象 必须从统计的角度考虑 分析和处理 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 著名理论物理学家惠勒说过这样的话 在过去 一个人如果不懂得 熵 是什么 就不能说是科学上有
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