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信号与系统教案(第18次课) 第六章离散系统的z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。 出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。 6.1z变换?从拉普拉斯变换到z变换?z变换定义?收敛域 一、从拉普拉斯变换到z变换?取样信号f S(t)?f(t)?T(t)?f(kT)?(t?kT)k?两边取双边拉普拉斯变换，得F Sb(s)?f(kT)e?kTsk?令z=e sT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)f(k)，得 二、z变换定义?k F(z)?f(k)z F(z)?f(k)z?kk?0k?若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。 今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z) 三、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即?f(k)z?k?k?时，其z变换才存在。 上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。 ?收敛域的定义f(k)z?k?对于序列f(k)，满足k?所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。 注意对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。 对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。 可以省略。 6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。 一、线性性质若f1(k)F1(z)?1 1、a2，则a1f1(k)+a2f2(k)a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 二、移位特性（单边、双边差别大！）双边z变换的移位若f(k)F(z),?0，则f(k?m)z?m F(z),?，且有整数m0,则?f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f(k-2)z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1m?1?mf(k?m)?z F(z)?f(k?m)z?k k?0前向移位f(k+1)zF(z)f (0)z f(k+2)z2F(z)f (0)z2f (1)z m?1mf(k?m)?z F(z)?f(k)zm?k k?0k 三、序列乘a(z域尺度变换)若f(k)F(z),? 四、卷积定理若f1(k)F1(z)?1 五、序列乘k（z域微分）若f(k)F(z),? 六、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k 它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。 如果序列在k (0)?lim F(z)z
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