九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 2圆的对称性课件 华东师大版

2 圆的对称性 1 使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形 并能运用其特有的性质推出在同一个圆中 圆心角 弧 弦之间的关系 2 能运用这些关系解决问题 培养学生善于从实验中获取知识的能力 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 想一想 将一个圆沿着任一条直径对折 两侧半圆会有什么关系 解析 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 所以两侧半圆折叠后重叠 o 利用折叠的方法即可解决上述问题 圆也是旋转对称图形 用旋转的方法可解决下面问题 将图1中的扇形aob绕点o逆时针旋转某个角度 画出旋转之后的图形 比较前后两个图形 你能发现什么 b a 扇形aob旋转到扇形a ob 的位置 我们可以发现 在旋转过程中 aob a ob ab a b 图2 a b o 在一个圆中 如果圆心角相等 那么它所对的弧相等 所对的弦相等 在一个圆中 如果弧相等 那么所对的圆心角相等 所对的弦相等 在一个圆中 如果弦相等 那么所对的圆心角相等 圆心角所对的弧相等 解 2 1 45 例题 我们还知道 圆是轴对称图形 它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 1 试一试 我们如何十分简捷地将一个圆2等分 4等分 8等分 2 动手操作 观察猜想 操作 cd是圆0的直径 过直径上任一点e作弦ab cd 将圆0沿cd对折 比较图中的线段和弧 你有什么发现 猜想 3 指导论证 引申结论 已知 在 o中 cd为直径 ab为弦 且cd ab于点e 分析 直径cd所在直线既是等腰三角形oab的对称轴 又是 o的对称轴 把 o沿直径cd折叠 由图形的重合 即可得到所求证结论 c d e o 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 判断题 1 过圆心的直线平分弦 2 垂直于弦的直线平分弦 3 o中 oe 弦ab于e 则ae be 错 错 对 跟踪训练 证明 连结ao bo ao bo aob为等腰三角形 ae be cd ab cd是直径 例1 如图在 o中 直径cd交弦ab于点e ae be求证 cd ab o c d e 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于这条弦 并且平分弦所对的弧 五个条件 1 垂直于弦 2 过圆心 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 规律 知二 推三 规律方法 例2 已知 如图在 o中 弦ab的长是8cm 圆心o到ab的距离为3cm 求 o的半径 o a b e 解 连结oa 作oe ab于e 则oe 3cm ae be ab 8cm ae 4cm在rt aoe中有oa 5 cm o的半径为5cm 解后指出 从例2看出圆的半径oa 圆心到弦的垂线段oe及半弦长ae构成rt aoe 把垂径定理和勾股定理结合起来 解决这类问题就显得很容易了 1 在圆中某弦长为8cm 圆的直径是10cm 则圆心到弦的距离是cm2 在圆o中弦cd 24 圆心到弦cd的距离为5 则圆o的直径是 3 如图 ab为圆o的直径 弦cd ab于e ae 16 be 4 则cd 答案 3 答案 26 答案 16 跟踪训练 例3如图已知 o的直径为4cm 弦ab cm 求 oab的度数 解 过o作od ab于点d 则ad bd ab cm ad cm o的直径为4cm oa 2cm在rt oad中cos oab oab 30 你还有没有其他方法 1 安徽 中考 如图 o过点b c 圆心o在等腰直角 abc的内部 bac 90 oa 1 bc 6 则 o的半径为 答案 d 2 芜湖 中考 如图所示 在 o内有折线oabc 其中oa 8 ab 12 a b 60 则bc的长为 a 19b 16c 18d 20 答案 d 答案 b 3 烟台 中考 如图 abc内接于 o d为线段ab的中点 延长od交 o于点e 连结ae be 则下列五个结论 ab de ae be od de aeo c 正确结论的个数是 a 2b 3c 4d 5 4 湖州 中考 如图 已知 o的直径ab 弦cd于点e 下列结论中一定正确的是 a ae oeb ce dec oe ced aoc 60 答案 b 5 潍坊 中考 如图 ab是 o的弦 半径oc ab于d点 且ab 6cm od 4cm 则dc的长为 a 5cmb 2 5cmc 2cmd 1cm 答案 d 规律方法 运用垂径定理及推论解决一些数学问题 最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径 及过圆心作弦的垂线 构造直角三角形 利用勾股定理解决问题 1 对垂径定理的理解 1 证明定理的方法是典型的 叠合法 2 定理是解决有关弦的问题的重要方法 3 定理中反映的弦的中点 弦所对的两条弧的中