高考数学集合总复习-等比数列以及其前n项和

等比数列及其前n项和答案 自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4)递增递减常摆动6.qn自我检测1D2.B3.B4.C5.9课堂活动区例1解题导引(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得21616q2100.解得q24或q2.又数列an为正项数列，q2或.当q2时，可得a1，an2n12n2，Sn2n1；当q时，可得a132.an32n126n.Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或当a38，a52时，q2.q0，q，由a3a1q28，得a132，an32n126n.Sn6426n.当a32，a58时，q24，且q0，q2.由a3a1q2，得a1.an2n12n2.Sn2n1.变式迁移1解由题意得解得或若则Sn126，解得q，此时，an264n1，n6.若则Sn126，q2.an6422n1.n6.综上n6，q2或.例2解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：q (q为与n值无关的常数)(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法(1)证明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)，故总有an112(an1)，nN*，又a15，a110，从而2，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列(2)解由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6.变式迁移2(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例3解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度解由已知得2，a4，a32.若a32，设数列的公比为q，则22q2q28，即1qq2224.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.变式迁移3解(1)a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.课后练习区1Ban是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).2A由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则11.3C由题可设等比数列的公比为q，则211qq27q2q60(q3)(q2)0，根据题意可知q0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4Ca3a6a18aq2517(a1q8)3a，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值5D因为等比数列an中有S32，S618，即1q39，故q2，从而1q512533.6127解析公比q416，且q0，q2，S7127.7.解析S9930，即a1(2991)30，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a9930.84n1解析等比数列an的前3项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.9解(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列，得，(4分)解得d1或d0(舍去)故an的通项an1(n1)1n.(7分)(2)由(1)知2an2n，由等比数列前n项和公式，得Sn222232n2n12.(12分)10(1)证明设log2(an1)log2(an11)d (n2)，因为a13，a25，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，(3分)所以log2(an1)n，所以an12n，所以2 (n2)，所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列(6分)(2)解由(1)可得an1(a11)2n1，所以an2n1，(8分)所以1.(12分)11解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)(2分)an1(n1)22n1.(3分)又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，