高中数学1.1集合的含义与表示教学案新人教A必修1

备课资料 集合的含义与表示备选例题【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:(1)被3除余1的自然数组成的集合;(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;(4)设a、b是非零实数,求y=的所有值组成的集合.思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(nN).用描述法表示为x|x=3n+1,nN.(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为3,5,7,11,13,17,19.(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为(x,y)|y=x2+2x-10.(4)当ab0时,则a0,b0或a0,b0,b0,则有y=3;若a0,b5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.推进新课新知探究提出问题教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?(1)120以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(3)所有的安理会常任理事国;(4)所有的正方形;(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.引导过程:一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合常用大写字母A,B,C,D,表示,元素常用小写字母a,b,c,d,表示.集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“”和“”表示.元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么aA,要么aA.在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.提出问题(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.(2)你能写出不等式2-x3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？活动：学生回答后,教师指出:在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A=0,1,2,3,4.描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成x|p(x)的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用x|p(x)表示,点集常用(x,y)|p(x,y)表示.应用示例思路11.课本第3页例1.思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A=的形式.变式训练请试一试用列举法表示下列集合:(1)A=xN|且N;(2)B=y|y=-x2+6,xN,yN;(3)C=(x,y)|y=-x2+6,xN,yN.分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.(1)集合A中元素x满足均为自然数;(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.答案：(1)A=0,6,8;(2)B=2,5,6;(3)C=(0,6),(1,5),(2,2).2.课本第4页例2.思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“”内.点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A=|的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.变式训练课本P5练习2.思路21.下列所给对象不能构成集合的是( )A.一个平面内的所有点B.所有大于零的正数C.某校高一(4)班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.答案：C变式训练下列各组对象中不能构成集合的是( )A.高一(1)班全体女生B.高一(1)班全体学生家长C.高一(1)班开设的所有课程D.高一(1)班身高较高的男同学分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.答案：D2.用另一种形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数;(2)所有被3整除的数;(3)x|x=|x|,xZ且x0,y0,xZ,yZ.思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.答案：(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为x|x|3,xZ,也可表示为-3,-2,-1,0,1,2,3.(2)x|x=3n,nZ.(3)x=|x|,x0.又xZ且x5,x|x=|x|,xZ且x5还可以表示为0,1,2,3,4.(4)-2.(5)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).变式训练用适当的形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)所有被3整除的数组成的集合;(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案：(1)x|x|3,xZ或-3,-2,-1,0,1,2,3;(2)x|x=3n,nZ;(3),-2;(4)(x,y)|y=x+6.3.已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,若A中至少有一个元素,求a的取值范围.思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,aR的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.解：当a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;当a0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a0且a.综上所得a的取值范围是a|a.4.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.解：(1)(4,-2);(2)x|x=3k+2,kN且x1000;(3)(x,y)|x0;(4)正方形;(5)(x,y)|x.知能训练课本P5练习1、2.拓展提升1.已知A=xR|x=,abc0,用列举法表示集合A.分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:(1)a、b、c全为正时,x=7;(2)a、b、c两正一负时,x=-1;(3)a、b、c一正两负时,x=-1;(4)a、b、c全为负时,x=-1.A=7,-1.注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.2.已知集合C=x|x=a+b,aA,bB.(1)若A=0,1,2,3,B=6,7,8,9,求集合C中所有元素之和S;(2)若A=0,1,2,3,4,2 005,B=5,6,7,8,9,试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C=6,7,8,9,10,11,12,进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C=5,6,7,2 013,2 014,由此可得S=5+6+7+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+99+100=10150=5 050.本题(2)中S=5+6+7+2 013+2 014=2 0191 005=2 029 095.