高考数学二轮复习 6.3 多面体与旋转体课件 理.ppt

第3讲多面体与旋转体重点知识回顾1 棱柱正棱柱的定义 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 棱柱的体积公式 v sh s为底面积 h为棱柱的高 2 棱椎正棱锥的定义 如果一个棱锥的底面是正多边形 且顶点在底面的射影是底面的中心 这样的棱锥叫正棱锥 正棱锥的性质 各侧棱相等 侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高 斜高 相等 棱锥的体积公式 v sh s为底面积 h为棱锥的高 3 球 球面距离 球的表面积与体积公式 设球的半径为r 则s球 4 r2 v球 r3 主要考点剖析考点一空间几何体命题规律简单几何体主要包括棱柱 棱锥和球 高考对棱柱 棱锥的考查主要有两个方面 一是考查棱柱 棱锥的有关概念和性质 面积 体积的计算等 二是将棱柱 棱锥作为载体考查立体几何的综合问题 如线面位置关系的论证 空间角与距离的求解 折叠与展开问题 最值与定值问题等 考查棱柱 棱锥的概念和性质以及面积 体积的计算时 一般以选择题 填空题的形式出现 而作为载体考查综合问题时 一般以解答题的形式出现 例1正四棱锥的高为 侧棱长为 求该四棱锥的斜高为 解析 如图所示 在正棱锥s abcd中 高os 侧棱sa sb sc sd 在rt soa中 oa 2 ac 4 ab bc cd da 2 作oe ab于e 则e为ab的中点 连结se 则se即为斜高 则so oe 在rt soe中 oe bc so se 即该四棱锥的斜高为 答案 点评 本类问题的求解通常需要用到下面的几个三角形 棱锥的高和斜高及斜高在底面上的射影构成的直角三角形 棱锥的高和侧棱及侧棱与底面上的射影构成的直角三角形 棱锥的侧棱 斜高及底边构成的直角三角形 棱锥侧棱的射影 斜高的射影及底边构成的直角三角形 互动变式1 2011海口一中二模 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点p在棱bb1上运动 不含b b1两点 则 apc1的周长c的最小值为 解析 设pb1 t 0 t 1 则 pc1 pa ac1 得 apc1的周长为c 下面求c 的最小值 c 在平面直角坐标系中 它表示x轴上的动点m t 0 0 t 1 到两定点e 0 1 与f 1 1 的距离之和 又点e关于x轴的对称点e 0 1 当f m e 三点共线时 即t 时 c有最小值 p为bb1的中点时 apc1的周长c有最小值 答案 例2如图所示 长方体abcd a b c d 中 用截面截下一个棱锥c a dd 求棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比 分析 将剩余部分的体积转化为两个规则几何体的体积之差求解 解析 已知长方体可以看成直四棱柱add a bcc b 设它的底面add a 面积为s 高为h 则此长方体的体积为v sh 而棱锥c a dd 的底面面积为s 高是h 因此 棱锥c a dd 的体积为vc a dd sh sh 余下的体积为sh sh sh 所以棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比为1 5 点评 本题利用体积的常见求法 割补法 考查了转化思想 互动变式2如图所示 四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 pd 平面abcd pd ab 2 e f g分别为pc pd bc的中点 1 证明 pa 平面efg 2 求三棱锥p efg的体积 解析 1 法一 如图 取ad的中点h 连接gh fh e f分别为pc pd的中点 ef cd g h分别为bc ad的中点 gh cd ef gh e f h g四点共面 f h分别为dp da的中点 pa fh pa 平面efg fh 平面efg pa 平面efg 法二 e f g分别为pc pd bc的中点 ef cd eg pb cd ab ef ab 又ef 面pab ab 面pab ef 面pab 同理eg 面pab ef eg e 平面efg 平面pab pa 平面pab pa 平面efg 2 pd 平面abcd gc 平面abcd gc pd 四边形abcd为正方形 gc cd pd cd d gc 平面pcd pf pd 1 ef cd 1 s pef ef pf gc bc 1 vp efg vg pef s pef gc 1 考点二球及其接切问题命题规律球在高考中基本以客观题的形式出现 并且考查方式十分灵活 其中涉及球的截面 球面距离 面积 体积以及球与其他几何体的接 切等方面 解决与球有关的问题时 常常将其转化为圆的问题来解决 例3如图所示 在等腰梯形abcd中 ab 2dc 2 dab 60 e为ab的中点 将 ade与 bec分别沿ed ec向上折起 使a b重合 求形成的三棱锥的外接球的体积 分析 要求外接球体积关键是求球的半径 可通过正四面体的线段关系或构造一个正方体进行求解 解析 由已知条件得 平面图形中ae eb bc cd da de ec 1 折叠后得到一个正四面体 法一 作af 平面dec 垂足为f 点f即为 dec的中心 取ec的中点g 连接dg ag 过球心o作oh 平面aec 则垂足h为 aec的中心 外接球半径可利用 oha gfa求得 ag af ah 在 afg和 aho中 根据三角形相似可知 oa 外接球体积为 oa3 法二 如图所示 把正四面体放在正方体中 显然 正四面体的外接球就是正方体的外接球 正四面体的棱长为1 正方体的棱长为 外接球直径2r r 外接球的体积为 点评 多面体之间或多面体与球之间的内切 内接 或外接 外切 关系 是一种三维的 空间的简单几何体间的位置关系 处理这类问题时 一般可以采用两种转化的方法 一是转化为平面图形之间的内切或外接关系 二是利用分割的方式进行转化 使运算和推理变得更简单 这是体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法 互动变式3如图 四棱锥a bcde中 ad 底面bcde 且ac bc ae be 1 求证 a b c d e五点都在以ab为直径的同一球面上 2 若 cbe 90 ce ad 1 求b d两点间的球面距离 解析 1 因为ad 底面bcde 所以ad bc ad be 又因为ac bc ae be 所以bc cd be ed 故b c d e四点共圆 bd为此圆的直径 取bd的中点m ab的中点n 连结m n 则mn ad 所以mn 底面bcde 即n的射影是圆的圆心m 有an bn cn dn en 故五点共球且直径为ab 2 若 cbe 90 则底面四边形bcde是一个矩形 连结dn ce ad 1 bd mn bn 1 bnm bnd 所以b d两点间的球面距离是l r 例4如图所示 半径为r的圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴 旋转一周得到一几何体 求该几何体的表面积 其中 bac 30 及其体积 分析 将几何体分解为几个规则的几何体 再求表面积的和或体积的和 差 解析 如图所示 过c作co1 ab于o1 在圆中可得 bca 90 bac 30 ab 2r ac r bc r co1 r s球 4 r2 s圆锥ao1侧 r r r2 s圆锥bo1侧 r r r2 s几何体表 s球 s圆锥ao1侧 s圆锥bo1侧 r2 r2 r2 旋转所得到的几何体的表面积为 r2 又v球 r3 v圆锥ao1 ao1 co12 r2 ao1 v圆锥bo1 bo1 co12 r2 bo1 v几何体 v球 v圆锥ao1 v圆锥bo1 r3 r2 ao1 bo1 r3 r2 2r r3 点评 在解决球的内接正多面体问题时 一方面要充分利用好轴截面 即正多面体的高一般要经过球的球心 有时高的中点就是球心 另一方面要注意构造直角三角形 一般球的半径 球心到截面的距